中考培优班复习函数与方程思想专题讲解

1、学习必备欢迎下载中考培优班复习函数与方程思想专题讲解知识梳理方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容课堂典型例题讲解【例 1】如图：在 ABC中， BA=BC=20 cm， AC=30 cm，点 P 从点 A 出发，沿AB以每秒 4 cm 的速度向点B 运动；同时Q点从 C 点出发，沿CA以每秒 3 cm 的速度向点A 运动设运动的

2、时间为x 秒(1) 当 x 为何值时， PQBC?(2) APQ能否与 CQB相似 ?(3) 若能求出 AP的长；若不能请说明理由【解】 (1) 根据题意AP=4xcm， AQ=ACQC=(3030x)cm ，若 PQ BC，则4x30 3x1010则30，解得 x所以当 xs 时， PQ BC2033APAQABAC(2) 因为 A= C，所以当 APAQ 或APAQ 时， APQ能与 CQB棚以CQCBCBCQ当 APAQ 时，4x303x ，解得 x10CQCB3x209当 APAQ4x303x12= 10(舍去 ) 所以 AP=4x=20CB时，20，解得 x =5，xCQ3x40所以

3、当 AP9cm 或 20 cm 时， APQ与 CQB相似【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏【例 2】某企业投资100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万元，该生产线投产后，从第1 年到第 x 年的维修、保养费用累计为y( 万元 ) ，且 y= a x2+bx，若第1 年的维修、保养费为2 万元，第2 年的维修、保养费为 4 万元(1)求 y 的解析式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资?【解】 (1)由题意，把 x=1 时， y=2 和

4、 x=2 时， y=2+4=6，代入 y= a x2+bx，得ab2，解得a1，所以 y=x 2+x4a2b6b1(2) 设 y =33x 100 x2x，则 y= x2+32x100= (x 16) 2 +156由于当 1 x 16 时， y随 x 的增大而增大，且当 x=1、2、3 时， y的值均小于 0，当 x=4 时， y = 12 2+156>0，已知投产后该企业在第 4 年就能收回成本【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第 1年到第 x 年的维修、保养费用总和【例 3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，

5、该村实行合作医疗制度，村委会规定：学习必备欢迎下载(一 ) 每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二 ) 村民个人当年治疗花费的医疗费( 以医院的收据为准) ，年底按下列办法处理村民个人当年花费的医疗费医疗费的处理办法不超过 b 元的部分全部由村集体承担( 即全部报销 )超过 b 元不超过5000 元的部分个人承担c，其余部分由村集体承担超过 5000 元的部分全部由村集体承担设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用( 包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金) 为 y 元(1) 当 0 x b 时， y=_；当 b<x5000 时， y=_( 用含 a

6、、 b、 c、x 的代数式表示 )(2) 下表是该村3 位村民 20XX 年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据， 求 a 、b、 c 的值；写出 y 与 x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元村民治疗花费的医疗费x( 元 )个人实际承担的费用 y( 元 )甲4030乙9050丙15080(3) 下表是小强同学一家 20XX 年治疗花费的医疗费用：家庭成员爷爷奶奶爸爸妈妈小强治疗花费的医疗费( 元 )200100103020请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用a40b c 0030(1)【解】 (1) aa +(x b)c (2

7、)假设 b40，则 a90b c 0050(2)a150b c 0080(3)得， c=40，得，c=50，结果矛盾，b>40，这样不成立，应为a =30，代入和中，解得 c=50， b=50当 0 x 50 时， y=30；当 50<x5000 时， y=30+(x 50)50 =0 5x+5；当 x>5000时， y=2505，村民个人一年最多承担医疗费为2505 元；(3) 全家医药费合计 200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和 (0 5× 200+5) +(0 5× 100+5)+30+30+30=250 ，集体为他们家承

8、担的药费 360 250=110( 元) 【解题反思】本题的关键是确定a 的范围，这里采用了反证法来说明b>40举一反三综合训练1如果关于 x 的方程ax23无解，则 a 的值为 _ x 1x12如图， 已知矩形 ABCD中， E是 AD上一点， F 是 AB上一点， EF EC，且 EF=EC，DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32 cm，求 AE的长3 如图， ABC中， AC=4，AB=5，D 是线段 AC上一点 ( 点 D 不与点 A 重合，可与点 C重合 ) ，E 是线段(1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 写出 y 的取值范围4如图，某农场要用总长24 m

9、的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙( 墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；学习必备欢迎下载(1) 求 S 关于 x 的函数关系式；(2) 若鸡场的面积为 45 m2 ，试求出鸡场的宽 AB的长；(3) 鸡场的面积能否达到 50 m 2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由5某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1 吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2 吨，加油时间为t 分钟， Q1、Q2 与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1) 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?

10、将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2) 求加油过程中，运输飞机的余油量Q1( 吨 ) 与时间 t( 分钟 ) 的函数关系式；(3) 运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10 小时到达目的地，油料是否够用?说明理由6 近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作， 24 天可以完成，需费用 120 万元；若甲队单独做 20 天后，剩下的工程由乙队做，还需 40 天才能完成，这样需要费用 110 万元问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2) 甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万

11、元?7 已知，关于x 的一元二次方程mx2 (3m+2)x+2m+2=0(m>0)(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；(2) 设方程的两个实数根分别为 x1、 x2( 其中 x1<x2) ，若 y 是关于 m的函数，且 y=x2 2x1，求这个函数的解析式；(3) 在 (2) 的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y m+3?8 已知：ABC中， A、 B、 C 的对边分别是a 、 b、c，若关于x 的方程x2 2(b+c)x+2bc+a 2=0 有两个相等的实数根，且ABC的面积为8， a42 (1) 试判断 ABC的形状并求 b、 c 的长；(2) 若点 P 为

12、线段 AB边上的一个动点， PQ AC交 BC于点 Q，以 PQ为一边作正方形 PQMN，使得点 B 与线段 MN不在线段 PQ的同侧，设正方形 PQMN与 ABC的公共部分的面积为 S， BP的长为 x试写出S 与 x 之间的函数关系式；当 P 点运动到何处时，S 的值为 39已知抛物线y= a x2+bx+c 经过 A( 1， 0) ， B(3 ， 0) ， C(0 ，3) 三点(1)求此抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线学习必备欢迎下载(2) 若点 (x 0， y0) 在抛物线上，且 0 x0 4，试写出 y0 的取值范围(3)设平行于y 轴的直线x=t

13、交线段 BM于点 P( 点 P 能与点 M重合，不能与点四边形 AQPC的面积为S求 S关于 t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围求 S取得最大值时，点P 的坐标设四边形OBMC的面积为 S，判断是否存在点P，使得 S=S若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由B重合)，交x 轴于点Q，10已知动点 P(2m 1， 2m+3)和反比例函数 yk(k<0) x(1) 若对一切实数 m，动点 P 始终在一条直线 l 上，试求 l 的解析式(2)设 O为坐标原点，直线两点 ( 点 A在第四象限 ) 证明： OAM OBN；l 与 x 轴相交于点M，与 y 轴相交于点N，与反比例函数的

14、图象相交于A， B如果 AOB的面积为6，求反比例函数解析式学习必备欢迎下载参考答案1 2和 32 6cm 3 (1)y4x 5(2)9y 5 4 (1)S=x(24 3x)= 3x2+24x(x 4) ； （ 2）255 3x1=3(2鸡场的宽 AB的长为5 米+24x=45，解得： x舍去 ) ， x =5，(3) 3x2+24x=50， 3x 2 24x+50=0， =242 4× 3× 50<0此方程无实数解，鸡场的面积不能达到50米25 (1) 由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30 吨的油，全部加给运输飞机需10 分钟(2)设40bk2.9Q=2 9t+

15、40(0 t 10) Q1 =kt+b ，则10k b，69b40(3) 根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟01 吨，10 小时的耗油量为10× 60× 0 1=60( 吨 )<69( 吨 ) ，油料够用6 (1)30 120 (2)135 607 (1) =(3m+2) 2 4× m× (2m+2)=m2+4m+4=(m+2)2m>0，(m+2) 2 >0，即 A>0，方程有两个不相等的实数根(2)x1=1， x2 22y x22x12，mm(3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出y2和 y= m+3的图象，观察图象得：m当

16、1m 2 时， y m+38 (1) ABC是等腰直角三角形， b=c=4；(2)当 0<x 2 时， S=x2；当 2<x4 时， S=x2+4x3 、39 (1)y= x2+2x+3， M(1，4) ，图略(2) 5 y0 4(3) St29t3932(1 t<3)4，22不存在15S '，若 S=S，2则t 29t315，整理得 t 29 t60 222281240 ，此方程没有实数根，不存在点 P，使得 S=S43k ' b10 (1) 设 l ：y=k x+b，当 m=0时，P1 ( 1，3) ，当 m=1时，P2(1 ，1) ，带入 l ：y=k x+b 得，1k ' bk '1l ： y= x+2，经检验满足条件解得，b2yk，得 x