带电粒子在磁场中运动的极值问题

1、带电粒子在磁场中运动的极值问题带电粒子在磁场中运动的极值问题 【例例1 1】 如图如图7 7所示所示, , 匀强磁场匀强磁场的磁感应强度为的磁感应强度为B B, ,宽度为宽度为d d, ,边界边界为为CDCD和和EFEF. .一电子从一电子从CDCD边界外边界外侧以速率侧以速率v v0 0垂直匀强磁场射入垂直匀强磁场射入, ,入射方向与入射方向与CDCD边界间夹角为边界间夹角为. .已知电子的质量为已知电子的质量为m m, ,电荷量为电荷量为e e, ,为使电子能从磁场的另一侧为使电子能从磁场的另一侧EFEF射射出出, ,求电子的速率求电子的速率v v0 0至少多大至少多大? ?图图7 7思维

2、导图思维导图解析解析 当入射速率当入射速率v v0 0很小时很小时, ,电子会在磁场中转动电子会在磁场中转动一段圆弧后又从一段圆弧后又从CDCD一侧射出一侧射出, ,速率越大速率越大, ,轨道半径轨道半径越大越大, ,当轨道的边界与当轨道的边界与EFEF相切时相切时, ,电子恰好不能从电子恰好不能从EFEF射出射出, ,如图所示如图所示. .电子恰好射出时电子恰好射出时, ,由几何知识可由几何知识可得得: :r r+ +r rcoscos= =d d又又r r= =由得由得v v0 0= =故电子要射出磁场时速率至少应为故电子要射出磁场时速率至少应为答案答案Bem0v)cos1 (mBed)c

3、os1 (mBed)cos1 (mBed规律总结规律总结1.1.解决此类问题的关键是解决此类问题的关键是: :找准临界点找准临界点. .2.2.找临界点的方法是找临界点的方法是: :以题目中的以题目中的“恰好恰好”“”“最大最大”“”“最高最高”“”“至少至少”等词等词语为突破口语为突破口, ,借助半径借助半径R R和速度和速度v v（或磁场（或磁场B B）之间的约）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析束关系进行动态运动轨迹分析, ,确定轨迹圆和边界的关确定轨迹圆和边界的关系系, ,找出临界点找出临界点, ,然后利用数学方法求解极值然后利用数学方法求解极值, ,常用结论常用结论如下如下: :（1

4、 1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切动的轨迹与边界相切. .（2 2）当速度）当速度v v一定时一定时, ,弧长（或弦长）越长弧长（或弦长）越长, ,圆周角越圆周角越大大, ,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. .（3 3）当速率）当速率v v变化时变化时, ,圆周角大的圆周角大的, ,运动时间越长运动时间越长. .SvvBPSvSQPQQ量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态PovBdabcvB量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨

5、迹与边界相切）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）V0OabcdV0Oabcd300600MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.2RR2RMNO变式练习变式练习2 2 电子质量为电子质量为m m, , 电荷电荷量为量为e e, ,从坐标原点从坐标原点O O处沿处沿xOyxOy平面平面射入第一象限射入第一象限, ,射入时速度方向不射入时速度方向不同同, ,速度大小均为速度大小均为v v0 0, ,如图如图8 8所示所示. .现在某一区域加一方向向外且垂直于现在某一区域加一方向向外且垂直于xOyxOy平面的匀平面的匀强磁场强

6、磁场, ,磁感应强度为磁感应强度为B B, ,若这些电子穿过磁场后都若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏能垂直射到荧光屏MNMN上上, ,荧光屏与荧光屏与y y轴平行轴平行, ,求求: :（1 1）荧光屏上光斑的长度）荧光屏上光斑的长度. .（2 2）所加磁场范围的最小面积）所加磁场范围的最小面积. .图图8 8解析解析 （1 1）如右图所示）如右图所示, ,求光斑的长度求光斑的长度, ,关键是找关键是找到两个边界点，到两个边界点，初速度方向沿初速度方向沿x轴正方向轴正方向的电子的电子沿弧沿弧OBOB运动到运动到P P, ,初速度方向沿初速度方向沿y y轴轴正方向的电子正方向的电子,沿弧沿弧

7、OCOC运动到运动到Q Q. .设粒子在磁场中运动的半径为设粒子在磁场中运动的半径为R R, ,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: :q qv v0 0B B= =m m , ,即即R R= =从图中可以看出从图中可以看出PQPQ= =R R= =R20vBem0vBem0v（2 2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏后都能垂直打到荧光屏MNMN上上, ,所加最小面积的磁场所加最小面积的磁场的边界是以的边界是以O O为圆心、坐标为（为圆心、坐标为（0,0,R R）、半径为）、半径为R R的圆的一部分的圆的一部分, ,如图中实线包围

8、面积如图中实线包围面积. .所以磁场范所以磁场范围的最小面积围的最小面积S S= = R R2 2+ +R R2 2- - R R2 2= =（ +1+1）（）（ ）2 2答案答案 （1 1）（2 2）（ +1+1）（）（ ）243412Bem0vBem0v2Bem0v 一匀强磁场，磁场方向垂直于一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，一平面，一个质量为个质量为m、电荷量为、电荷量为q的带电粒子，由原的带电粒子，由原点点O开始进入磁场运动，初速度为开始进入磁场运动，初速度为v，方向，方向沿沿x正方向。后来，粒子经过正方向。后来，粒子经过y上的上的P点，此点，此时速度方向与时速度方向与y轴的夹角为轴的夹角为30，P到到O的距的距离为离为L，如图所示。不计，如图所示。不计 重力影响。求磁场的磁感应重力影响。求磁场的磁感应 强度强度B的大小和