高中数学合情推理与演绎推理

1、优秀学习资料欢迎下载13.2合情推理与演绎推理一、填空题1下列表述正确的是_归纳推理是由部分到整体的推理归纳推理是由一般到一般的推理演绎推理是由一般到特殊的推理类比推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理解析 归纳推理是由个别到一般的推理，故错答案 已知数列an满足 an log(n 1)(n2)(n *，定义使 a1· a2·a3·· ak 为整2N)数的数 k( kN* ) 叫做幸运数，则k1,2011 内所有的幸运数的和为 _lg 3lg 4lg 5k解析a1· a2 ·a3·· ak lg 2&

2、#183;lg 3·lg 4··kk log 2( k2) 为整数，所以 k2t 2( t N* ) ，又 k1,2 011 ，lg 2所以 k2,2 2, 23 ， 210，和为 2(2 101) 2 046.答案2 0463观察 (x2)x，x4)x3，(cosxsinx，由归纳推理可得：若2(4)定义在 R 上的函数fx)满足f(x)fx)，记 gx为 f(x的导函数，则()g x) _.(解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f ( x) 是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g( x) g( x) 答案 g( x)4在平面上，若两个正三角形

3、的边长比为 1 2，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为 _解析 两个正三角形是相似的三角形， 它们的面积之比是相似比的平方 同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为 1 8.答案185. 设等差数列 an 的前n 项和为Sn则 S4S8S4S12S8S16S12 成等差数列. 类优秀学习资料欢迎下载比以上结论有 : 设等比数列 bn 的前 n 项积为 Tn 则 T4 ,T16成等比数T12列 .解析 由于等差数列与等比数列具有类比性 , 且等差数列与和、差有关 , 等比数列与积、商有关 , 因此当等差

4、数列依次每 4 项之和仍成等差数列时 , 类比到等比数列为依次每 4 项的积成等比数列 . 下面证明该结论的正确性 :设等比数列 bn 的公比为 q, 首项为 b1则 T4b14q6 T8b18q1 27b18q28T12b112q1 211b112q66 T8422 T124 38T82T12T8T12成等比数列 .T4b1 qT8b1 q即 (T4)T8T4 故T4T4T8答案T8T12T4T86我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A3,4)，且法向量为 n(1 ， 2) 的直线 ( 点法式 ) 方程为 1×

5、(x 3) ( 2) ×(y4) 0，化简得 x2y 110. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A且法向量为(1,2,3)n ，2,1) 的平面 ( 点法式 ) 方程为 _(请写出化简后的结果 )；(1解析类比可得x1) ×(y2)z3) ，即 xy z 1×(2(022 0.答案xyz 0227已知 5×5数字方阵a11a12a13a14a15a21a22a23a24a251j 是i 的整数倍，a31a32a33a34a35中， aijj 不是 i 的整数倍a41a42a43a44a45a51a52a53a54a555a 4则a _.3ji4j

6、 2i 254解析a3j ai4 (a 32a33a34a35) (a 24a34 a44)i 2j 2 ( 1111) (1 11) 1.优秀学习资料欢迎下载答案 118. 已知 an ( 3) n，把数列 a n 的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9记 A(s ，t) 表示第 s 行的第 t 个数，则 A(11,12) _.解析 由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，可得前10 行10(1 19)共有2100 个数， A(11,12)表示第11 行的第 12 个数，则A(11,12)是数列 a n 的第10012112 个数，即可得A(11,12

7、)1 112( 3)，故应选D.答案(1) 11239观察下列等式： cos 2 2cos2 1； cos 4 8cos4 8cos2 1； cos 6 32cos6 48cos4 18cos21； cos 8 128cos8256cos6 160cos432cos2 1； cos 10 mcos10 1 280cos 81 120cos 6 ncos4 pcos2 1.可以推测 mn p _.解析m29512， p5×10 50.又 m1 280 1 120 np11， n 400.答案96210如图是一个数表， 第一行依次写着从小到大的正整数， 然后把每行相邻的两个数的和写在这两

8、个数的下方， 得到下一行， 数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第 13 行，第 10 个数为 _优秀学习资料欢迎下载1234567357911138 12162024 解析观察数表可知， 每行数分别构成公差为20, 21, 22, 23，的等差数列， 所以第13 行的公差为 212.又每行第一个数分别为0,232,41,3 21×28 22×2,20 23×2 48 2 3,54行第一个数为2121112个数4×22562 5×2，故第 1312×2 7×2 ，第 1012121216为 7×2 9&

9、#215;2 16×2 2 .答案216( 或 65 536)已知1427mm ，不等式 x ， x 2 ， x3 ，可推广为 x nn ，110x2x3x4x1则 m的值为 _解析4xx427xxx27，x 2 2，x33 ，易得其展开后各项之积为定值x22xx333x1xmx xxmmnn所以可猜想出xnn1，于是. n n nx ，也满足各项乘积为定值答案nn12已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若 D是 BC的中点，点 G是 ABCAG外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长GD都相等的四面体ABCD中，若点 M是 BCD的三边中线交点， O为四面

10、体 ABCD外AO接球的球心，则_”OM解析如图，设四面体ABCD的棱长为 a，则由 M是 BCD的重心，3得 BM 3 a，66AM 3 a，设 OAR，则 OBR，OM 3 aR，优秀学习资料欢迎下载6于是由 R2 3a 26aR 2 ，解得 R6AO4 a3.a，所以66334OM3a 4a答案313. 将正 ABC分割成 n2( n2，nN* ) 个全等的小正三角形 (1) ，(2) 分别给出了n2,3 的情形 ) ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数 ( 当数的个数不少于 3 时) 都分别依次成等差数列， 若顶点 A，B，C 处的三个数互

11、不相同且和为 1，记所有顶点上的数之和为 f ( n) ，则有f(2) ，f(3)，2f ( n) .解析 当 n3 时，如图所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abc ，x1 x2 a b， y1 y2bc，1z1 z2 ca，x1x2y1 y2 z1z2 2( abc) 2,2gx1y2 x2 z1 y1z2， 6gx1 x2 y1y2 z1 z2 2( abc) 2，1即 g3110而 f (3) ab c x1 x2y1 y2z1z2 g123 3 ，进一步可求得 f(4)5.由上知 f (1)中有三个数， f (2) 中有 6 个数， f (3) 中共有10 个数相加，

12、f (4)中有 15个数相加，若 f ( n1) 中有 an 1( n1) 个数相加，可得fn中有an 1n1)个数相加，且由( )(36333f (1) 13，f (2)3 3f (1)3，f104 f5(3) f(2) ， f(4)(3) ，3353优秀学习资料欢迎下载可得 f(nf(n1)n1，)3所以 f(nf(n1)n1f(n2)n1n )333n 1nn 13 3 3 3 3f (1)n 1 n n 13211 3 3 3 3336( n1)( n2) 答案101( n1) ·(n2)36二、解答题14. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长： 1 个空心圆点到下一行仅生

13、长出 1个实心圆点， 1 个实心圆点到下一行生长出1 个实心圆点和 1 个空心圆点 .(1) 求第 n 行实心圆点个数与第 n1，n2 行实心圆点个数的关系 .(2) 求第 11 行的实心圆点的个数 .【解题指南】设出第n 行实心圆点的个数an，空心圆点的个数bn，则它与第 n1 行的关系由题意不难得出，整理可得解.【解析】 (1) 设第 n 行实心圆点有 an 个，空心圆点有 bn 个，由树形图的生长规律bn an1可得，an an1 bn 1 anan 1bn 1an 1 an 2，即第 n 行实心圆点个数等于第n 1 行与第 n2 行实心圆点个数之和 .(2) 由 (1) 可得数列 a

14、n 为 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，第 11 行实心圆点的个数就是该数列的第11 项 55.【方法技巧】解决“生成”数列的方法解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法优秀学习资料欢迎下载来猜想结论，另一方面也可以通过第n 项与第 n1 项的关系来分析与处理 . 此类问题是高考的热点 .15平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：1(1) 三角形两边之和大于第三边； (2) 三角形的面积 S2×底×高； (3) 三角形的1中位线平行于第三边且等于第三边的2；请类比上述性质，写出空间中四面体的

15、相关结论解析由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1) 四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积 V1×底面积×高；31(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的4.如图所示， D，E，F 分别是 BC， CA，AB 上的点， BFD A，且 DE BA16.求证： EDAF( 要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来) 证明(1) 同位角相等，两条直线平行，( 大前提 ) BFD与 A 是同位角，且 BFD A，( 小前提 )所以 DFEA.( 结论 )(2) 两组对边分别平行的

16、四边形是平行四边形， ( 大前提 ) DEFA且 DFEA，( 小前提 )所以四边形 AFDE为平行四边形 ( 结论 )(3) 平行四边形的对边相等， ( 大前提 ) ED和 AF为平行四边形的对边， ( 小前提 )所以EDAF结论).( ?BFDADF EA上面的证明可简略地写成：? 四边形 AFDE是平行四边DEFA优秀学习资料欢迎下载形 ? ED AF.17定义“等和数列”： 在一个数列中， 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做该数列的公和 已知数列 an 是等和数列，且 a1 2，公和为 5，(1) 求 a18 的值； (2) 求该数列的前

17、 n 项和 Sn. 解析 (1) 由等和数列的定义，数列 an 是等和数列，且 a1 2，公和为 5，易知a2n 12，a2n3( n 1,2 ， ) ，故 a18 3.(2) 当 n 为偶数时，Sn a1 a2 an ( a1a3 an 1) ( a2a4 an)nn5 2 2 2333 n；当 n 为奇数时，22个22个 3551Sn Sn 1an2( n1) 22n 2.52nn为偶数，综上所述： S n5n1n2 2为奇数18某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图 (1) 、(2) 、(3) 、(4) 为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成， 小正方形数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律刺绣 ( 小正方形的摆放规律相同 ) ，设第 n 个图形包含 f ( n) 个小正方形(1) 求出 f (5) 的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出 f ( n1) 与 f ( n) 之间的关系式，并根据你得到的关系式求出 f ( n) 的表达式；1111 f1(3) 求 ff1fn 1的值解析(1) f (5) 41.(2) 因为 f (2) f (1) 44×1，f (3) f (2) 84×2，优秀学习资料欢迎下载f (4) f (3) 124×3，f (5) f (4) 164