高中数学不等式典型例题解析

1、学习必备欢迎下载概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质 ：1同向不等式可以相加； 异向不等式可以相减 ：若 a bc, d，则 a c b d（若 ab, cd ，则 acbd ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ，但不能相除； 异向不等式可以相除，但不能相乘：若 a b 0, c d 0 ，则 ac bd （若 a b 0,0 c d ，则 a b ）； c d3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 a b0 ，则 anbn 或n an b ；4若 ab 0， ab ，则 11 ；若 ab 0 ， ab ，则 1

2、1 。如abab（1）对于实数 a, b, c 中，给出下列命题： 若 ab, 则 ac 2bc 2 ； 若 ac 2bc 2 , 则 ab ； 若 ab 0, 则 a 2abb 2 ； 若ab 0,则 11 ；b 0, 则 ba ；ab 若 a 若 ab 0,则 ab ；ab 若 ca b 0, 则aab； 若 ab, 1 1 ，则 a 0, b 0 。ccba b其中正确的命题是 _（答：）；（2）已知1 xy1，1x y3 ，则 3xy 的取值范围是 _（答： 1 3xy7）；（3）已知 abc ，且 abc0, 则 c 的取值范围是 _a1（答：2,）2二不等式大小比较的常用方法：1作

3、差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设 a0且 a 1, t0，比较 1log a t和log at 1 的大小22学习必备欢迎下载（答：当 a1时， 1loga tt1（ t1时取等号） ；当0a 1时，1 log a t log a t1 （ t2log a21时取等号）；221（2）设 a2 ， pa， q2 a24 a 2 ，试比较 p, q 的大小（答： pq ）；a 2（3）比较 1

4、+log x3 与2 log x2( x 0且 x1)的大小（答：当 0x1或 x4 时，1+log x3 2log x 2 ；当1 x4 时，1+log x 3 332log x 2 ；当 x4 时， 1+ log x 3 2log x2）3三利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到： “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这 17 字方针。 如（ 1）下列命题中正确的是A、 yx1 的最小值是 2x、x23的最小值是 2B yx22C、 y23x4 ( x0) 的最大值是 243xD、 y23x4 (x0) 的最小值是 243x（答： C）；（ 2）若 x2 y1，则 2x4y 的

5、最小值是 _（答：22）；（ 3）正数 x, y 满足 x 2 y1，则 11 的最小值为 _xy（答： 322）；4. 常用不等式 有：（1） a22b2abab21(根据目标不等式左右21的运算结构选用 ) ；（2）a、b、cR，a2b2c2ababbcca（当且仅当 abc时，取等号）；（ 3）若 a b0, m0 ，则 bbm （糖水的浓度问题） 。如aam如果正数 a 、 b 满足 abab3 ，则 ab 的取值范围是 _（答： 9,）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、 配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出

6、结论。 ).常用的放缩技巧有： 1111111n n 1 n(n 1) n2n(n 1) n 1 n学习必备欢迎下载k 1k111kk1k1k2kk1k如（ 1）已知 abc ，求证： a 2bb 2cc 2 aab 2bc 2ca2 ；(2)已知 a, b, cR，求证： a2 b2b2 c2c2 a 2abc(abc) ；（3）已知 a,b, x, yR，且 11, xy ，求证：xayy；abxb(4)若 a、 b、 c是不全相等的正数，求证：abbccal gl gl gl g ab l cg； l g222（5）已知 a,b,cR ，求证： a2 b2(6)若 n N *，求证： (

7、 n 1)2 1(7)已知 | a |b | ，求证： | a | b | ab |111（8）求证： 132n222b2c2c2 a2abc( a b c) ；(n1)n21 n ；| a |b | ；| ab |2 。六简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上， 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线； 并注意 奇穿过偶弹回；（ 3）根据曲线显现 f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式 (x 1)(x 2) 2 0 。（答： x | x1或 x2 ）；（

8、2）不等式 ( x2) x22x 30 的解集是 _（答： x | x3或 x1 ）；（3）设函数 f ( x) 、g (x) 的定义域都是 R，且 f ( x) 0 的解集为 x |1x 2 ，g( x) 0 的解集为，则不等式 f ( x) g ( x)0 的解集为 _（答： (,1) 2,) ）；（4）要使满足关于 x 的不等式2x 29xa 0（解集非空） 的每一个 x 的值至少满足不等式 x24 x 30和 x26x80 中的一个，则实数 a 的取值范围是_.81（答： 7,) ）七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每

9、一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。 解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式5xx212x 3（答： ( 1,1)(2,3) ）；（ 2 ） 关于 x 的不等式 ax b0的解集为 (1,) ，则关于 x 的不 等式axb的解集为 _x02（答：( , 1)(2, ) ）.学习必备欢迎下载八绝对值不等式的解法 ：1分段讨论法（ 最后结果应取各段的并集 ）：如解不等式 | 23 x |2 | x1 |42（ 2）利用绝对值的定义；（答： xR ）；（ 3）数形结合； 如解不等式 | x | x 1| 3（答： (,1) (2,) ）（ 4

10、）两边平方： 如a |对 xR恒成立，则实数 a 的取值范围为 _。若不等式 | 3x 2 | | 2x（答：4）3九含参不等式的解法 ：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上： “综上，原不等式的解集是” 。 注意：按参数讨论， 最后应按参数取值分别说明其解集； 但若按未知数讨论， 最后应求并集. 如（1）若 loga 21 ，则 a 的取值范围是 _32 ）；（答： a1 或0 a（2）解不等式 ax 23x(aR)ax 11 或1（答：a0 时， x | x0 ；a0时，x 0；时， x | xaa 0 x |x 0或 x0 ）a提醒：（ 1）解

11、不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （ 2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 axb 0 的解集为 ( ,1) ，则不等式x2的解集为ax0_（答：（ 1,2）b十一含绝对值不等式的性质：a、b 同号或有 0| ab | | a | b| a | b | | ab | ；a、b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | .如设 f (x) x2x13 ，实数 a 满足 | x a| 1 ，求证： | f ( x)f (a) |2(| a | 1)十二不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立

12、等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式 f xA 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fxminA若不等式 f xB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fx maxB如（ 1）设实数 x, y 满足 x2( y 1)21，当 x y c 0 时， c 的取值范围是_（答：2 1,）；学习必备欢迎下载（2）不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 _（答： a1 ）；（3）若不等式2x1m( x21) 对满足 m2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围 _711 ）；（答：（, 3( 1) n 122（4）若不等式 ( 1) n a2对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _n（答： 2,3) ）；（5）若不等式 x222mx2m 1 0 对 0x1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .（答： m1 ）2). 能成立问题2x 使不等式 f若在区间 D 上存在实数xA 成立 , 则等价于在区间D 上f