高中数学论文线性规划问题最优整解的解法探求

1、线性规划问题最优整解的解法探求对于线性规划问题的最优整解， 若借助于多媒体课件，特别是使用几何画板，作出相关的动态图形，打出网格，找出最优解，这样既直观又清楚。但在日常教学中，受条件的限制，很难找出最优解。经两次教学后，现对教材中此类例题的解法作适当的改正。例 1（必修本）第二册上 P63例 4）要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型A规格B规格C规格钢板类型第一种钢板211第二种钢板123今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为、27块，问各截这两种钢板1518多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析：设需截

2、第一种钢板x 张，第二种钢板 y 张，根据题意可得：2xy15,x2 y18,x 3y 27, x 0,y 0.作出可行域：其目标函数为z=x+y，作出在一组平行直线x+y=t （ t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x y和直线x y的交点 A（ 1839 ），由+3 =372+=155,5于 18 和 39 都不是整数，故可行域内点( 18 , 39 ) 不是最优解 . 但我们可以把问题5555转化为：在可行域内的求整点P（m,n）, 使 P（ m,n）到直线 x+y= 57 的距离最小。5于是，得到如下的解答。解：P（m,n）到直线x y57 的距离d=|

3、5m5n 57 |=5(mn)57 ，由于+ =5222m12m15m，n 都是整数，则当 m+n=12时，d 最小，此时（m,n）满足 m2(12m)18（ mm3(12m)27是自然数） 得， 3 m9(mN ) ，所以 m=3或 4，则最优解是（3，9），（4，8）。2例 2 （必修本）第二册上 P65 第 4 题）某人有楼房一幢， 室内面积共 180m2，拟分隔成两类房间作为客房，大房间每间面积为 18，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积 15，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元；装修大房间每间需 1000 元，装修小房间每间需 600 元。

4、如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，则x ， y 满足18x15y1801000x600y8000，x 0 y 06x5y60即 5x 3y 40x 0y 0z=200x+150y作出可行域：作直线 L：200x+150y=0即 L： 4x+3y=0, 求得 A（ 20 ， 60 ），过 A 平行于 L 的直线为：777(4x+3y)=260 ，设可行域内的点P（ m,n）到直线7(4x+3y)=260 的距离d= | 7(4 m 3n) 260 | = 2607(4 m3n

5、) ，要使 d 最小。35355m374m40当 4m+3n=37时，5(374m)，得 2.5 m36m603经检验，无整数解。5m364m40当 4m+3n=36时，5(364m)，得 0 m 46m603经检验，整数解为（ 0，12），（3，8）答：应隔出小房间12 间，或大房间3 间和小房间 8 间，能获得最大收益。例 3求平面上的整点（横、纵坐标均为整数的点）到直线y3x2 的距57离的最小值。解 设 m,n Z，则点 (m,n) 到 l 的距离为d=| 7(3m 5n)10|。34因为 7(3m-5n)是 7 的倍数，要使 d 最小，只要看 7 的倍数中离 -10 最近的整数，显然是 -7 。此时 m=-2,n=-1,d 的最小值是733 34。34238例 4 （2005 湖北卷）某实验室需购某种化工原料106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元，在满足需要的条件二，最少要花费_元。解：设二种原料各需x 袋， y 袋。x 0则y 035 x24 y106设 z=140x+120y过点（ 106 ，0）的直线 L:5(7x+6y)-106=0 ，35可行域内的点P（m,n） (m,n 都是整数 ) 到直线 L 的距离为d= | 5(7m6n)106 | =