高中数学教程双曲线的几何性质

1、优秀学习资料欢迎下载高中数学教程双曲线的几何性质（ 1）目标： 1能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2掌握双曲线的渐近线的概念和证明；3明确双曲线方程中a,b, c 的几何意义；4能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。（一）复习：1双曲线的定义和标准方程；2椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程x 2y2a1为例进行说明。2b21范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线注意：从双曲线的方程如何验证？x a 的外侧。22222从标准方程 x2y21可知 x21y

2、2，由此双曲线上点的坐标都适合不等式x2 1ababa即 x 2a2 ， xa 即双曲线在两条直线xa 的外侧。2对称性：双曲线x 2y 21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a 2b2是双曲线 x 2y 21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2b 23顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 x 2y 21的方程里，对称轴是x, y 轴，所以令 y 0得 xa ，因此双曲线和x 轴有两个交点a 2b 2x 22A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线y1的顶点。a 2b 2令 x0 ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1

3、）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。4渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x 2y 21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。b 2a 2k在初中学习反比例函数y时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。x高中

4、三角函数ytanx，渐近线是 x k(k Z ) 。2所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？距离。只要证明什么？距离趋向于0.下面证明，取第一象限内的部分进行证明。（见课本 P）109求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1 为 0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程。5等轴双曲线：定义式： a b1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。2）等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为：yx ；（ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其

5、他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab ，则等轴双曲线可以设为：x2y 2(0)优秀学习资料欢迎下载当0 时交点在 x 轴，当0 时焦点在 y 轴上。6注意 x 2y21与 y2x21的区别：三个量 a, b, c 中 a,b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标169916轴也变了。共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为 1。x223）共用同一对渐近线 ykx

6、的双曲线的方程具有什么样的特征？可设为y(0)，1k20 时交点在 x 轴，当0时焦点在 y 轴上。当x2y2(0) ，当0 时交点在x4）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为b20 时焦点在 y 轴上。a2轴，当（三）例题分析：例 1求双曲线 9 y216x2144 的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。解：把方程化标准方程：y2x21，由此可知，实半轴长 a 4 ，虚半轴长 b3 ；4232ca2b242325 ，焦点的坐标是(0,5),(0,5)渐近线方程为x3 y ，即 y4 x 。y43例 2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转CC所成的曲面 （如左图），

7、它的最小半径为12m，上口半径为 13m ，下口半径为 25m ，高 55m ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1m ）。解：如图（右图） ，建立坐标系xOy ，使小圆的直径 AA 在 x 轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径CC , BB 平行于 x 轴，且|CC |13 2( m) ， | BB |25 2(m)；设曲线的方程为：x2y21(a 0, b 0)a2b2令点 C 的坐标为 (13, y) ，则点 B 的坐标为 (25, y55) ，A AOxBB252( y55)21(1)122b2因为点 B,C 在双曲线上，所以132y21(2)122b2化简，得 19

8、b2275b181500解得 b 25(m)所求双曲线的方程为：x2y21。144625例 3求与双曲线 4x2y24 有共同渐近线，且过点M (2,2)的双曲线的方程。解：与双曲线 4x2y24 有共同渐近线故设所求双曲线的方程为4x2y 2k(k0)又过点 M (2,2) k4222212所求双曲线的方程为4x2y 212 即 x2y21 。补充：求与双曲线 4x2y 23124 有共同渐近线，且过点M (2,2)的双曲线的方程。优秀学习资料欢迎下载2 课题：双曲线的几何性质（2）目标： 1.巩固双曲线的几何性质；2. 能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。重、难点：几何性质的运用。

9、教程：（一）复习：1双曲线的几何性质：范围；对称性；顶点；渐近线；离心率。2练习： 双曲线 25x216 y2400 的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于（若方程改为 16 y225 x2400 呢？）（二）新课讲解：例 1求证：双曲线x2y2（0）与双曲线x2y 21有共同的渐 近线。a2b2a2b2解：若0，则双曲线方程可化为x2y21，a2b2渐近线方程为ybxb x ，双曲线 x2y21 的渐近线方程为yb x ，aaa2b2a两双曲线渐近线相同；若0 ，则双曲线方程可化为y2x21，b2a2渐近线方程为 xaxa y ，即 yb x ，bba又双

10、曲线 x2y2 1的渐近线方程为yb x ，a2b2a两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立。说明：与双曲线x2y21（ mn0 ）有共同渐近线的所有双曲线方程为x2y2（0）mnmn【练习】与双曲线y 2x21 有共同的渐近线且经过点M (3,x2y2432) 的双曲线方程是168例 2求中心在原点，一条渐近线方程为2x3y0，且一焦点为 ( 4,0)的双曲线标准方程。解：（方法一）设双曲线的标准方程为x2y21(a0, b0) ，a2b2双曲线准线方程为y2 x b23，又焦点 (4,0) ， c4a3144 , b264 c2a2b2 ，由得 a2。1313双曲线方程为：x2y21。1

11、44641313方法二：由题意，可以设双曲线方程为：x2y2k( k0)9 4焦点为 ( 4,0) ， c2 16 9k 4k 13k ，优秀学习资料欢迎下载16x2y21 。 k，双曲线方程为 3已知双曲线的渐近线方程为y212，求它的标准方程。x ，实轴长为3解：由题意，可以设双曲线方程为y 2x21(kR, k0)4k9k当 k0 时， 4k36 ， k9 ；当 k0 时， 9k36 ， k4 。所求双曲线方程为：y2x21或x2y21。36813616五小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。补充： 1已知双曲线的中心在坐标原点，焦点F1, F2 在坐标轴上，离心

12、率为2 ，且过点 (4,10) ，（ 1）求双曲线方程；（ 2）若点 M (3, m) 在双曲线上，求证：MF1MF2 ；（ 3）求F1 MF2 的面积。3 课题：双曲线的几何性质（ 3）目标： 1能熟记双曲线的离心率、明确e 的几何意义；2知道双曲线的另一定义和准线的概念，能正确写出双曲线的准线方程。重、难点：双曲线的离心率和双曲线的第二定义。教程：（一）复习：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。（二）新课讲解：1离心率：1）概念：双曲线焦距与实轴长之比；2）定义式： ec；a3）范围： e1；4）考察双曲线形状与e 的关系：kbc 2a 2e21 ，因此 e越大，即渐近线的斜率

13、的绝对值aa就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2双曲线的第二定义：例 1点 M (x, y)与定点 F (c,0) 的距离与到 l : xa2的距离之比为常数c (c a 0) ，求 M 的轨迹方程。ca解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求点轨迹是集合PMMFc由此得：(xc)2y2cdaa2a| x|c化简得： (c2a2 )x2a2 y2a2 (c2a2 ) .设 c2a2b2 b 0，就可化为：x2y21 (a0, b 0)a2b2这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a,2 b 的双曲线

14、。优秀学习资料欢迎下载说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤。双曲线的第二定义：平面上到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数c (c a 0) 的点的轨迹是双曲a线。说明： 1）其中定点焦点，定直线准线。对于 x2y 21来说，相对于左焦点F1(,0)对应着左准线l 1 : xa 2a2b2cca 2相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : xc对于 y 2x 2a21来说，相对于下焦点F1( 0,c) 对应着下准线 l1 : ya 2b2a 2c相对于上焦点 F2 (0, c) 对应着上准线 l2: y2c2）位置关系： xaa0c3）焦点

15、到相应准线的距离：b2c96 ）练习：已知双曲线y2x21上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。 （答案：643653例题分析：例 2双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程为 x1，求双曲线的方程。2c4x2y2a解：设双曲线的方程为0, b解得 a2, c8a2b21(a0) ，由题意得1a2c2 b2c2a264460 ，双曲线的方程为x2y21。460例 3双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过 A(26,3),求双曲线的方程。解：若焦点在x2y21(a0, b0) ，x 轴上，则双曲线的方程设为b2a22491a2b2222249由已知，有2a

16、2， a2c ， bc2c ，代入 a2b21 ，4c整理得 c214c330 ， c3或 c 11 ， a26,b23或 a222,b299，双曲线的方程为x2y2x2y261或221，399若焦点在 y 轴上，则设双曲线的方程为y2x20, b0) ，a2b21(a由已知， 得 9241 a22c ，b2c22c 代入得 2c213c66 0 ，此方程无实数解 (0) 。a2b2x2y21或x2y21 。双曲线的方程为322996说明：当双曲线的焦点位置不定时，必须进行分类讨论。五课堂小结：方程图象a, b, c 关 系范围顶点对称性渐近线离心率焦点准线补充 ：优秀学习资料欢迎下载x2y2y2x2a2b21（ a0, b 0 ）a2b21 （ a0, b 0 ）a2b2c2| x | a, y R| y | a, x R(a,0)(0,a)关于 x, y 轴成轴对称、关于原点成中心对称yb xyaabe c (