第八章多元函数微分学

1、第一次月考考点第一次月考考点: :1.1. 讨论多元函数在某点处的连续性；讨论多元函数在某点处的连续性；2.2. 求多元函数在某点处的偏导数；求多元函数在某点处的偏导数；3.3. 讨论多元函数在某点处的可微性；讨论多元函数在某点处的可微性；4.4. 隐函数求偏导；隐函数求偏导；5.5. 求二元函数的二阶混合偏导；求二元函数的二阶混合偏导；6.6. 求多元函数的全微分；求多元函数的全微分；7.7. 求多元函数的极值、最值、条件极值；求多元函数的极值、最值、条件极值；8.8. 求曲线的切线和法平面；求曲线的切线和法平面；9.9. 求多元函数的方向导数；求多元函数的方向导数；10.10.求多元函数的

2、梯度；求多元函数的梯度；11.11.直角坐标系下二重积分的计算；直角坐标系下二重积分的计算；12.12.极坐标系下二重积分的计算；极坐标系下二重积分的计算；13.13.交换累次积分顺序；交换累次积分顺序；14.14.二重积分的分区域积分；二重积分的分区域积分； 15.15.二重积分的对称性二重积分的对称性第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 知识总结知识总结1 1多元函数的基本概念多元函数的基本概念2 2多元函数的偏导数、微分与方向导数多元函数的偏导数、微分与方向导数3 3多元函数微分法多元函数微分法4 4多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用5 5多元函数的极值和最值多元函数

3、的极值和最值一一. . 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1. 区域区域2. 多元函数概念多元函数概念3. 多元函数的极限多元函数的极限4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 函数函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在

4、点在点 (0, 0) 的极限的极限.),(yxf故则有则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .例例. 讨论函数讨论函数 例例. 证明证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数为初等函数 , 故连续故连续.又又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续故函数在全平面连续 .由夹逼准则得由夹逼准则得二二.多元函数的偏导数、微分与方向导数多元函

5、数的偏导数、微分与方向导数1.多元初等函数的偏导函数多元初等函数的偏导函数0(, )( , ) ( , )limxxf xx yf x yfx yx 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.补补: 六类基本初等函数的求导公式六类基本初等函数的求导公式 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xa

6、axln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 2. 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法 先代后求先代后求: 先求后代先求后代: 利用定义利用定义:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000000(,)(,) ( , )|xxxyfxyfx y0),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy例如：分段函数分段点例如：分段函数分段点例如：初等函数定义区域的内点例如：初等函数定义区域的内点例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂法一:

7、例例: :0,00,),(222222yxyxyxyxyxfzd(0, 0)( , 0)0dxff xxxd(0, 0)(0,)0dyffyyy00函数在原点各偏导数都存在,但在该点不连续不连续.注意：注意：: (0,0) (0,0)xyff求和0(,0)(0,0) (0,0)limxxfxffx 000lim=0 xx 0(0,)(0,0) (0,0)limyyfyffy 000lim=0yy 法二:例例 . 求求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点在点(1 , 2) 处的偏导数处的偏导数. .) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82

8、312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)dxyzffxfyfz例例. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: ( ,0,0)3cosxf xx(0,0,0)03cosxxfxx41利用轮换对称性 , 可得1(0,0,0)(0,0,0)4yzff)dd(d41zyx3.3. 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法 逐次求导法逐次求导法注注: 混合偏导数在连续的条件下相等混合偏导数在连续的条件下相等.) (y

9、1: nnzxy例11nnxz4. 微分00( , )(,)zf x yxy在点是否可微的步骤：z( , )( , )xyfx yxfx yy zd( , )d( , )dxyfx yxfx yy22)()(yx)( o判断二元函数判断二元函数00000(,)(,)(3) 0 xyzfxyxfxyy 看是否成立0000(2) (,) (,)xyfxyfxy求、注：若有一个不存在则一定不可微(1) 检验函数是否连续,若不连续一定不可微例：如果例：如果( , )f x y在（在（0,0）处连续，那么下列命题）处连续，那么下列命题( , )(0,0)22( , )(0,0)( , )(0,0)2(

10、, )(0,0)( , )( )lim( , )(0,0)|( , )( )lim( , )(0,0)( , )( )( , )(0,0)lim|( , )()( , )(0,0)limx yx yx yx yf x yAf x yxyf x yBf x yxyf x yCf x yxyf x yDf x yx若极限存在，则在处可微若极限存在，则在处可微若在处可微，则极限存在若在处可微，则极限2y存在正确的是（正确的是（ ）答案：答案：B（2012考研题）考研题）0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0

11、,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因(0,0)(0,0)0 xyff所以知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 例例. 证明证明:而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1)故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 例: 证明函数222yx 所以(0,0)0.yf 2)221sin

12、,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y2210sinxyxyxy( , )(0,0)lim( , )0(0,0)x yf x yf( ,0)0,(0, )0f xfy(0,0)0(0,0)0.xyff在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.3)( , )(0,0),x y 当时22222 32211( , )sincos()xx yfx yyxyxyxy( , )(0,0),P x yyx当点沿射线趋于时( ,)(0,0)330lim( , )11lim(sincos)2 |2 2 |2 |xx xxfx yxxxxx( , )x

13、fx y( , )yfx y4) 下面证明可微 :( , )(0,0)f x y 在(0,0)(0,0)xyffxfy 01sin0 xyx ( , )(0,0).f x y在可微5. 5. 方向导数与梯度方向导数与梯度 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP方向导数为方向导数为:coscoscosffffxyzlr 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxPcoscosfffxylrzfyfxff,grad梯度为梯度为:方向导数为方向导数为:梯度为梯度为:grad,fffxy 关系关系:0gradff llu u rr例例. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指

14、向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而PxuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn8,1414PPuuyz 6. 重要关系:偏导存在偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续方向导数存在偏导数存在 可微函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),

15、()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .例. 选择题D三三. 多元函数微分法多元函数微分法1.1.多元复合函数一阶偏导数多元复合函数一阶偏导数2.2.多元复合函数高阶偏导数多元复合函数高阶偏导数3.3.隐函数微分法隐函数微分法自变量个数自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定自变量与因变量由所求对象判定注注: 一定要分清楚谁是自变量一定要分清楚谁是自变量 1.1.多元复合函数一阶偏导数多元复合函数一阶偏导数(1). 根据函数结构的示意图分析复合结构根据函数

16、结构的示意图分析复合结构,确定自确定自变量、中间变量及其关系变量、中间变量及其关系(2). 正确使用链式法则正确使用链式法则,写出求导公式写出求导公式“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”(3).注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号 例例. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1

17、 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (2001考研考研),1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy例. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf则称它为 k 次齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足),(),(),(),(321zyxkfzyxf zzyxf yzyxf x证:两边对 t 求偏导.( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z例. 若f (x, y, z) 恒满足关系式1123( , ,)( , ,)

18、( , ,)( , , )kxf u v wyfu v wzf u v wktf x y z同乘以 t, 得123( , ,)( , ,)( , ,)( , , )kuf u v wvfu v wwf u v wk t f x y z得及由条件,),(),(tzwtyvtxuzyxfttztytxfk123( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)uf u v wvfu v wwf u v wkf u v w( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z ,utx vty wtz记2.2.多元复合函数高阶偏导数多元复合函数高阶偏导数注：注： 考察重点是内层具体、外层抽象的

19、函数考察重点是内层具体、外层抽象的函数 一阶偏导数仍然是复合函数一阶偏导数仍然是复合函数 混合偏导数在连续的条件下可以合并混合偏导数在连续的条件下可以合并 为书写简便可以采取记号简记为书写简便可以采取记号简记(,( )zf xy yg x例例. 设 偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求其中函数 f 具有二阶连续21,1xyzx y 解解:由由g(x)可导且在可导且在x=1处取极值所以处取极值所以 (1)0g,( )uxy vyg x设( )uvzyfyg x fx2( )uvzzyfyg x fx yy 21,1(1,1)(1,1)(1,1)xyuuuuvzfffx

20、y (2011考研考研)( )( )( )vvuvvg x fyg x xfg x f( )uuuuvfy xfg x f隐函数求导方法：隐函数求导方法：方法方法1. 利用复合函数求导法则方程两边直接关于利用复合函数求导法则方程两边直接关于自变量求导自变量求导 ,要把因变量看成自变量的函数要把因变量看成自变量的函数方法方法2. 利用隐函数定理的求导公式利用隐函数定理的求导公式3.3.隐函数微分法隐函数微分法注：两种求导方法中方程所确立的隐函数中因注：两种求导方法中方程所确立的隐函数中因变量的地位是不一样的变量的地位是不一样的例例. 设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzx

21、zzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导解法解法2 利用公式设zzyxzyxF4),(222则xzFzxF 两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx2方法1.方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0两边对 x 求偏导. 其中 z 是 x 的函数, y看作常量.F 1 (2x+2z zx ) + F2 cosxy y = 0,2cos2121zFxyFyxFzx解得:,2cos2121zFxyFxyFzy例. 设方程F(x2+y2+z2, si

22、nxy)=0, FC1, 求. ,yzxz解：方法2: 方程左边是x, y, z的复合函数，令从而,2cos2121zFxyFyxFxz1212cos2zFxyFxyFyz222( , , )(,sin)G x y zF xyzxy122cosxGxFyxyF 122cosyGyFxxyF 12zGzF 练习：练习：设, ),(zyxzyxfz求.zx ( , , )(,)F x y zzf xyz xyz设xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 解法解法1 利用隐函数求导解法解法2 利用公式xzFzxF 21fzyf211fyxf,)(xuuf例例:设设, )(u

23、fz 方程方程)(uuxytdtp )(确定确定 u 是是 x , y 的函数的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续连续, 且且, 1)( u求求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0)()(xzzxyy及,2 yxeyx例：例：.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 , 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x

24、0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此2. 求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面(关键关键: 抓住切向量抓住切向量) 1. 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线四四. .多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用(关键关键: 抓住法向量抓住法向量)空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点2) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM1. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyzr空间光滑

25、曲面),(:yxfz 1) 显式情况.法向量法向量(, 1)xynffr 例例. 证明曲面证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为,m,1)n则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒(n(l,0nl上求一点 , 使该点处的法线垂直于例例. 在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程 .解解: 设所求点为, ),(000zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx

26、平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上2. 2. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 1) 参数式方程.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量:空间光滑曲线( ):( , )yf xzg x y2) 与柱面交线.空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF3) 面交式曲线.000( ),( ),( )Stttu r切向量:12Snnu ru r u u r1. 1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 ., ),(yxfz ( , )0( , )0 xyfx yfx y例如对二元

27、函数五五. .多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值例例. 求 222,xyf x yxe的极值。解：先求函数的驻点.2222222,(1)0,0 xyxyxyfx yx efx yxye 解得函数为驻点为 1,01,0或222222322222(3 ),(1),(1)xyxxxyxyxyyyAfxx eBfy xeCfx ye20,0BACA121,0fe在1,0 点：取极大值20,0BACA12( 1,0)fe 在1,0点：取极小值（2012考研题）考研题）例例. 求 的极值。（2013考研题）考研题）3,()3x yxf x yye答案答案:134 (1,).3fe 有极小值2.2.

28、最值应用问题最值应用问题 最值可疑点: 驻点和 边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )第二步 根据问题的实际意义确定最值:唯一的驻点一定是最值点第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 实际问题的最值实际问题的最值:3. 3. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法转化为无条件极值问题条件极值问题.(2) 一般问题用拉格朗日乘数法求一元函数的无条件极值问题)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz求法求法：( , )0,x y例如在条件下的极值求函数),(yxfz 引入辅助函数( , )( , )( , )0 xxxL x yfx yx y( , )( , )( , )0yyyLx yfx yx y( , )0 x y( , )( , )( , )L x yf x yx y推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx( , , )( , , )( , , )( , , )L x y zf x y zx y zx y z( , , )( , , )( ,