2019年北京市高考数学试卷(理科)

1、2019年北京市高考数学试卷（理科）题号一一三总分得分、选择题（本大题共 8小题，共40.0分）1. 已知复数z=2+i,则z?=（）A. 一B. 一C. 32.执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4第17页，共18页3.已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是A.-B.-C. -D.-4 . 已知椭圆一+=1 （a>b>0）的离心率为一，则（）D.）D. 7两颗星的星等与亮度满足A.B.C.5 . 若x, y满足|x| &y,且yX1,则3x+y的最大值为（A.B. 1C. 56 .在天文学中，天体的明暗程度可

2、以用星等或亮度来描述.m2-m尸Tg一,其中星等为 mk的星的亮度为Ek （ k=1 , 2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.B.C.D.7 .设点A,B,C不共线，则“与 的夹角为锐角”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8 .数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过一；曲线C所围成的 心形”区域的面积小于 3.其中，所

3、有正确结论的序号是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共 6小题，共30.0分)9 . 函数f (x) =sin22x的最小正周期是 .10 .设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-3, S5=-10,则%=, S的最小值为11 .某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 .12 .已知l, m是平面“外的两条不同直线.给出下列三个论断： llm；m/a; l,a.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:13 .设函数f (x) =ex+ae-x (a为常数).若f (x)为奇函数，则

4、a=;若f (x) 是R上的增函数，则 a的取值范围是 .14 .李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水 果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.三、解答题(本大题共 6小题，共80.0分)15 .在GABC 中，a=3, b-c=2, cosB=-.(I )求

5、b, c的值；(n )求 sin (B-C)的值.16 .如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA*面 ABCD, AD1CD, AD/BC, PA=AD = CD=2,BC=3. E为PD的中点，点 F在PC上，且一=-.(I )求证：CD，平面PAD ;(n )求二面角F-AE-P的余弦值；(出)设点G在PB上，且一=-.判断直线 AG是否在平面AEF内，说明理由.17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A, B两种支付方式都不使用的有 5

6、人，样 本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付赋(0, 1000(1000, 2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(I )从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A, B两种支付方式都使用 的概率；(n)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上 个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(m)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于 2000元.根据抽查结果，能 否认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于 2000元的人

7、数有变化？说明理由.18 .已知抛物线 C: x2=-2py经过点(2, -1).(I )求抛物线C的方程及其准线方程；(n)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0的直线i交抛物线c于两点m , N,直线y=-1分别交直线OM, ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过 y 轴上的两个定点.19 .已知函数 f (x) =-x3-x2+x.(I )求曲线y=f (x)的斜率为l的切线方程；(n)当 xQ-2, 4时，求证：x-6号(x) <x;(出)设F (x) =|f (x) - (x+a) | (aCR),记F (x)在区间-2, 4上的最大值为 M (a).当M (a)最小

8、时，求a的值.20 .已知数列an,从中选取第i1项、第i2项、第im项(i1 <i2<vim),若a <a va，则称新数列a , a ，a为an的长度为m的递增子列.规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列.(I)写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(n)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为a ,长度为q的递增子列的末项的最小值为 a .若pv q,求证：a < a ;(出)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子

9、列恰有2s-1个(s=1, 2,)，求数列an的通项公式.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题.直接由二-二- |二|求解.【解答】解：.z=2+i,z?: = |：;=（*.如 + I= 5 .故选D.2 .【答案】B【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：横以程序的运行，可得k=1, s=1,s=2,不满足条件k>3,执行循环体，

10、k=2,s=2,不满足条件k>3,执行循环体，k=3,s=2,此时，满足条件k>3,退出循环，输出s的值为2.故选B.3 .【答案】D【解析】1+3fy ? + * t为参数），消去，可得4x-3y+2=0.|4 x 1 - 3 x 2| _ G则点1,0）到Ml l的距离是d= 八上+ .：7 5 .故选：D.消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题.4 .【答案】B【解析】解：他意，= 得:,则士 = ， H" -L rr 1.4a2-4b2=a2,即3a2=4b2.故选：B.由椭圆离心

11、率及隐含条件a2=b2+c2得答案.本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题.5 .【答案】C【解析】解：由（"作出可行域如图，1 V 2 T工廿 1 =0 zc-y+l=OX、联立 j Tg 1 IP 解得A 2，-1），令 z=3x+y,化为 y=-3x+z,由图可知，当直线y=-3x+z过点A时，z有最大值为3>2-1=5.故选:C.由约束条件作出可行域，令z=3x+y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.6 .【答案】A【解析】【分析】本题考查对数的运算性质

12、，是基础的计算题.把已知数值代入m2-m产：lg亮，化简后利用对数的运算性质求解.【解答】解：设太阳的星等是m1=-26.7,天狼星的星等是m2=-1.45,由题意可得：15（州刃一,2 " /?2.也郎=喈=1也1,则4 =心E士5'故选A.7 .【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.工S与较的夹角为锐优？ ”1B+N1>I加T； '工8+充>1请I? 你与T的夹角为锐角”，由此能求出结果.【解答】解：点A,B,C不共线，若 E与.的夹角为锐角”，则RT充>u

13、,| . +|2=| . -|2+4 .=|2+4 .>| . |2, "8与铲的夹角为锐角"？ 鹏+”|>|那|，若 I TS + k，|> I 乔 I,则 1Tg+ .7|2> lA-J/? I2,化简得而.刀>。，即工S与飞的夹角为锐角， “初+而I>I前I ?%&与而的夹角为锐优;设点a, b, C不共线，则 方与飞的夹角为锐角”是TTg+NAI乔I的 充分必要条件.故选:C.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了命题的真假判断与应用，属于中档题.将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可

14、得.【解答】解：将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1,y二士，即修经过 0, 1) , 0,(-1)；当 x>0 时，方程变为 y2-xy+x2-1=0,所以A=x2-4 x2-1)>Q 解得 x C0,2,所以x只能取整数1,当x=1时，y2-y=0,解得y=0或y=1,即嗨经过1,0),1.1) ,根据对称性可得曲线还经过-1,0) , -1(, 1),故曲线一共经过6个整点，故正确.当 x>0 时，由x2+y2=1+xy 得 x2+y2-1=xy V'翼"，(生二y 时取等)，. x2+y,即曲线C上y轴右边的点到原点

15、的距离不超 过6，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超 过金；匐 正确.在x轴上图形面积大于矩形面积=1X2=2, x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=：x 2x 1=1 ,因此曲线C所围成的 心形”区域的面积大于2+1=3,故错误.故选C.9 .【答案】一【解析】解：，f X)=sin2 Rx),.f x)= :mN4出 + ；,. f X)的周期T=；,故答案为：；.用二倍角公式可得f x)=-(卬+：,然后用周期公式求出周期即可.本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基 础题.10 .【答案】0 -10 【解析】解：设等差数列an的前n项和为Sn,

16、a2=-3, S5=-10,(fjj + d = -3 5x4r)(l | tf - -|H '解得 a1=-4, d=1,. a5=a1+4d=-4+4 X=0,it(n 1)=-4n+J n-")2n=4或n=5时,Sn取最小值为S4=S5=-10.故答案为：0, -10.利用等差数列an的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a1=-4,d=1 , 由此能求出a5的Sn的最小值.本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求 法,考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础 题.11 .【答案】40【解析】【分析】本题考查由三视图

17、求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.由三视图还原原几何体，然后利用一个 长方体与一个棱柱的体 积作和求解.【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱 长为4的正方体去掉一个四棱柱, 则该几何体的体 KV=4x2x2+(2 + -I)x2x-I = 4O.故答案为40.12 .【答案】 若l，a, l",则m/“答案不唯一）【解析】【分析】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.【解答】解：由l,m是平面a外的两条不同直线，可知：由线面平行的判定定理，得：若 lL, l!m,贝 m

18、/a,故答案为若U% l",则m/a .（答案不唯一）13 .【答案】-1（-8, 0【解析】解：根据题意，函数f X）=ex+ae-x,若 f X）为奇函数，则 f -x）=-f X） , ie-x+ae<=- ex+ae-x）变形可得 a=-1,函数 f <）=3+2百X,导数 f 'X）=eX-a'X若f X）是R上的增函数，则f X）白得数f'X）=ex-ae-x方mR上恒成立， 变形可得：a&2x恒成立，分析可得awq即a的取值范围为-00, 0 .故答案为：-1, -3, 0.对于第一空：由奇函数的定义可得f -x）=-f X）

19、 , ie-x+aex=- ex+ae-x）变形可得分析可得a的值，即可得答案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f X） 的导数f'X）=eX-ae-XO& R上包成立，变形可得：20含恒成立，据此分析可得 答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题.14 .【答案】130 ； 15【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题.由题意可得顾客一次购买的总金额，减去X,可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得m-X） X 80%>mx 70%不等式,结合包

20、成立思想，可得X的最大值.【解答】解：当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140 （元），即有顾客需要支付140-10=130 （元）；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-X ）X80喉 mx 70% 即有x< -,由题意可得m> 120,可得x<=15,则x的最大值为15元.故答案为：130, 1515 .【答案】 解：(I ) .a=3, b-c=2, cosB=.，由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=-，. b=7, .c=b-2=5；(n )在 AABC 中，1.CosB=-,sinB=一, 由正弦定理有:,.b>c

21、, . B>C, .C 为锐角,.cosC=一，. sin (B-C) =sinBcosC-cosBsinC=.【解析】(I)利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,代入已知条件即可得到关于b的方 程，解方程即可；(Hsin B-C)=sinBcosC-cosBsinC,根据正弦定理可求出sinC,然后求出cosC, 代入即可得解.本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基 础题.16 .【答案】证明：(I )下人，平面ABCD,二. PA 工D,.AD1CD, PAAAD=A,p. CD "面 PAD.解：(n)以A为原点，在平面 ABCD内/ ： XX.过

22、A作CD的平行线为x轴，/； /AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标a,A (0, 0, 0) , E (1, 0, 1) , F (-,cX-),P (0, 0, 2),二 (1,0,1),=(-，-，-)：平面AEP的法向量 二(1, 0, 0), 设平面AEF的法向量 =(x, y, z),，取 x=1 ,得=(1 , 1 , -1 ),设二面角F-AE-P的平面角为0,贝U cos o =一.二面角F-AE-P的余弦值为一.(出)直线AG不在平面 AEF内，理由如下:,.点 G 在 PB 上，且= , G (-，0，= (-，0, 一)，平面AEF的法向量 二(1, 1, -1),

23、=-=-wq故直线 AG不在平面 AEF内.【解析】(I )指出PA/D, AD/D,由此能证明CD。面PAD.(II)队为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-AE-P的余弦值.1"h 4(m)求厮”(，0),平隙EF的法向量M = 1, 1, -1),瘠-彳”=/4,1l!>:父从而直线AG不在平面AEF内.本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础 知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.17 .【

24、答案】解：(I )由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的 100人中，A, B两种支付方式都不使用的有 5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，. A, B两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40 ,.从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A, B两种支付方式都使用的概率 p=0.4.(n )从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月 支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0, 1, 2,样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在(0, 1000的有18人，超过1000元的 有12人，样本仅使用B的学生有25人，其

25、中支付金额在(0, 1000的有10人，超过1000元的 有15人，P (X=0)=-=P (X=1)= =,P (X=2)=-X的分布列为:X012P数学期望E (X) 二 1.(m )不能认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用 A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于 2000元，有3人月支付 金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p=虽然概率较小，但发生的可能性为.故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.【解析】(I)从全校所有的1000名学生中随机抽取的1

26、00人中，A, B两种支付方式都 不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A, B两种 支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估 计该学生上个月A , B两种支付方式都使用的概率.(R)册本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金 额大于1000元的人数，则X的可能取值为0, 1,2,分求出 相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E X) .(m)册本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金 额都 大于2000元的概率为p=

27、4 =,不育湫为认为样本仅使用A的学生中本 月支付金额大于2000元的人数有变化.本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基 础知识，考查推理能力与计算能力，是中档 题.18 .【答案】解：(I )抛物线C： x2=-2py经过点(2, -1).可得4=2p,即p=2,可得抛物线C的方程为x2=-4y,准线方程为y=1 ；(n)证明：抛物线x2=-4y的焦点为F (0, -1),设直线方程为y=kx-1,联立抛物线方程，可得 x2+4kx-4=0,设 M (xi, yi) , N(X2, y2),可得 xi+x2=-4k, xix2=-4,

28、直线OM的方程为y=x,即y=-x,直线ON的方程为y=x,即y=-x,可得 A ( 一, -1) , B ( , -1),可得AB的中点的横坐标为 2 (-+-) =2?=2k,即有AB为直径的圆心为(2k, -1),半径为 =-|-1=2?=2,可得圆的方程为(x-2k) 2+ (y+1) 2=4 (1 + k2),化为 x2-4kx+ (y+1) 2=4,由x=0,可得y=1或-3.则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0, 1) , ( 0, -3).【解析】(I)代入点2(-1),解方程可得p,求得抛物线的方程和准线方程；(H)抛恢x2=-4y的焦点为F 0,-1)段直线方程为y=

29、kx-1 ,联立抛物线方 程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A,B的坐标，可得AB为直 径的圆方程，可令x=0,解方程，即可得到所求定点.本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物 线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档 题.19 .【答案】解：(I ) f' (x)=-,由 f' (x) =1 得 x (x-)=0,得 又 f (0) =0, f (-)=,- y=x 和 一,即 y=x 和 y=x-一;(n )证明：欲证 x-64 (x) <x,只需证-6< (x) -x<0,令 g (x) =f (x

30、) -x=_, xq-2, 4, 则 g' (x)=- 可知g' (x)在-2, 0为正，在(0, 一)为负，在一，为正, . g (x)在-2, 0递增，在(0, -)递减，在-，递增, 又 g (-2) =-6, g (0) =0, g (-)=>-6, g (4) =0, -6q(x) WQ. x-6 号(x)土；(出)由(n)可得，F (x) =|f (x) - (x+a) |二|f (x) -x-a|=|g (x) -a|,.在-2, 4上,-6为(x) wq令 t=g (x) , h (t) =|t-a|,则问题转化为当tq-6, 0时，h (t)的最大值M (a)的问题了,当 a<3 时，M (a) =h (0) =|a|=-a,此时-a当a=-3时，M (a)取得最小值 3；当 a及3 时，M (a) =h (-6) =|-6-a|=|6+a|,-6+a>3, .M (a) =6+a,也是a=-3时，M (a)最小为3,综上，当M (a)取最小值时a的值为-3.【解析】 本题考查单数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及导数的综合应用, 构造法，转