阶线性偏微分方程的分类

1、数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型一、一、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式fcuububuauauayxyyxyxx212212112(2.1.1) fcbbaaa,21221211其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。 引入下面二阶常系数线性偏微分算子22211122212221122122Laaabbcxxxxxx则(2.1.

2、1)可简单地表示为Luf数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型1 两个自变量方程的化简两个自变量方程的化简一般形式：022122222122211fcuyubxubyuayxuaxua （2.1.1） 则在非奇异变换下方程（2.1.1）变为0221221211FCuuBuBuAuAuA （2.1.2） Jacobi 行列式目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。),(),(yxyx非奇异非奇异0yxyx数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型3),

3、(),(yxyx),(yxu),(u复合求导xuxuxuyuyuyu2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxuyxuyxuyxuyxyxuyxuyxu22222222)(数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型422211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy 22211122212222uuuuuAAABBCuF 系数之间的关系2211111222()2()Aaaaxxyy2222111222()2()Aaaaxxyy121112

4、22()Aaaaxxxyxyyy（2）（1）（3）数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型5其他系数之间的关系222111122212222,Baaabbxx yyxy ( ( , ), ( , )Cc xy （3*）222211122212222,Baaabbxx yyxy 数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 （2.1.3） 可以看出，如果取一阶偏微分方程0222212211yyxxzazzaza（2.1.4） 的一个特解作为 ,则 0222212211yyxxa

5、aa2211111222()2()Aaaaxxyy2222111222()2()Aaaaxxyy12111222()Aaaaxxxyxyyy数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型从而A11=0。如果取（2.1.4）的另一个特解为 ,则A22=0，这样方程（2.1.2）就可以简化。 一阶偏微分方程（2.1.4）的求解可以转化为常微分方程的求解，将（2.1.4）改写成：0)(2)(2212211azzazzayxyx如果将 cyxz),(看作定义隐函数 )(xyy 的方程，则yxzzdxdy从而有：0)(2)(2212211adxdy

6、adxdya （2.1.5） 0dyzdxzdzyx数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型80)(2)(22212211yzayzxzaxza假设是方程),(yxz的特解，则关系式是常微分方程（2.1.4）Cyx),(0)(2)(22212211dxadxdyadya（2.1.5）的一般积分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（2.1.4）的解，只须求出常微分方程（2.1.5）的一般积分。数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型9定义定义称常微分方程（2.1.5）为

7、PDE（2.1.1）的 特征方程。特征方程。称（2.1.5）的积分曲线为PDE（2.1.1）的 特征曲线。特征曲线。0)(2)(22212211dxadxdyadya11221121212aaaaadxdy（2.1.6）（2.1.5）（2.1.5）的解为：数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型1),(cyx和 2),(cyx11221121212aaaaadxdy当 21211220,aa a二阶线性偏微分方程为双曲型方程 当 21211220,aa a二阶线性偏微分方程为抛物型方程 当 21211220,aa a二阶线性偏微分方

8、程为椭圆型方程 记记2211212),(aaayx数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型当 02211212aaa时,(2.1.6）式给出一族实的特征曲线1),(cyx2),(cyx取 ),(yx),(yx则02211 AA，这时方程变为212112FCuuBuBAu若再作 ,则上述方程变为： 2)()(1212112FCuuBBuBBAuu（2.1.7）右端为两相异的实函数右端为两相异的实函数双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型双曲型双曲型PDEPDE11221121212aaaaadxdy数学物理方程数学物理方程第第2

9、 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型抛物型抛物型PDEPDE0),(2211212aaayx1112aadxdy由此得到一般积分为,),(Cyx),(),(yxyx由此令其中,),(yx为独立的任意函数。取与 ),(yx函数无关的 ( , )x y作为另一个新的变量数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型由于0),(yx221112aaa2211111222()2()Aaaaxxyy022211yaxa12111222()Aaaaxxxyxyyy022112211yaxayaxa由此推出数学物理方

10、程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型因此，方程（2.1.1）可改写为抛物型方程的标准型2222111222()2()0Aaaaxxyy而22uuuABD u数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型当 02211212aaa时,(2.1.6）式各给出一族复特征线),(yx， ),(yx在该变换下： 0, 02211AA且方程化为：212112FCuuBuBAu令 ii,则有：2)()(1122112FCuuiuBBAuu（2.1.9）椭圆型椭圆型PDEPDE右端为两相异的复数右端

11、为两相异的复数11221121212aaaaadxdy数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型5-1 5-1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类由前面的讨论可知，方程(2.1.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。若方程(2.1.1)的主部系数 在区域中某一点(x0，y0)满足221211,aaa则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在中, 02211212aaa, 02211212aaa, 02211212aaa则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。则称方程在点(x0，y0)是抛

12、物型的;相应地， (2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。2 方程的分类方程的分类yyxyxxuauaua2212112数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型如果方程在所讨论的区域如果方程在所讨论的区域内每点都是内每点都是双曲型双曲型（抛物型或椭圆型），则称方程在区域内也是（抛物型或椭圆型），则称方程在区域内也是双曲型（抛物型或椭圆型）。双曲型（抛物型或椭圆型）。 标准形式fyuxu2222fyuxu2222fyuxu22弦振动方程（双曲型）描述波的传

13、播现象，特性：对时间可逆；一维热传导方程（抛物型）反映热的传导、物质的扩散等不可逆现象；调和方程（椭圆型）描述平衡或定常状态；数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型2.R 讨论Tricomi方程的类型例例1 1 设0 xxyyyuu解解 判别式( , )x yy 由此可得：在上半平面Tricomi方程为椭圆型，下半平面Tricomi方程为双曲型, 而在x轴上Tricomi方程为抛物型.数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型例2：判断下面偏微分方程的类型并化简 0623

14、2yxyyxyxxuuuuu解： 111a112a322a故 042211212aaa故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程032)(2dxdydxdy3dxdy1dxdy或 故有 13Cxy或 2Cxy取新变量 yx 3yx 则数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型uxu3， uyu222222269uuuxu22222222uuuyu代入原方程得：0412162uuu即：uuu414323144uuu数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型对常系数二阶PDE可进一步

15、化简，消掉一阶偏导数项或常数项3144ststuuu令 ( , )stuV s t e()()()stssstttstststtsuVV euVV euVVVV e代入上述方程得：1331()()()04444sttsVVVV取：133,.4416stVV数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型例题例题3：把方程：把方程分类并化为标准形式分类并化为标准形式 5-1 5-1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类解：该方程的解：该方程的故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。特征方程：特征方程：从而得到方程的一族特征线为：从

16、而得到方程的一族特征线为：作自变量代换作自变量代换( (由于由于和和必须函数无关必须函数无关, ,所以所以宜取最宜取最简单的函数形式简单的函数形式, ,即即= =x 或或= =y) )于是，原方程化简后的标准形式为：于是，原方程化简后的标准形式为：特征的解：特征的解：2220 xxxyyyx uxyuy u222()0 xyx y 222()2()0dydyxxyydxdxdyydxxdydxyxlnlnyCx/y xC;yyx0.u数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型0)sin3(cos22yyyxyxxyuuxxuux)(x

17、, a, aa2221211sin3cos104sin3cos22xx例题例题4 4：判断下面偏微分方程的类型并化简：判断下面偏微分方程的类型并化简解：解：0)sin3(cos2)(22xdxdyxdxdy2cos , 2cosxdxdyxdxdy212sin ,2sinCxx-yCxxyxx-yxxy2sin ,2sin0)(32uuu-ts ,特征方程特征方程特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：令：令：双曲型方程双曲型方程数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型222242(1)(2)01( ,0)( ),( ,0)(

18、),0.xxxyyyxyyyy uy uuuuyu xx uxx xR y221112224(1)1.ay , ay, a 210y 例题例题5 5：求初值问题的解：求初值问题的解解：解：211,22dydydxdxy 31222,3yxyC xC322 , .3yxyx特征方程特征方程特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：令：令：双曲型方程双曲型方程方程化为0.u依次对两个变量进行两次积分，得通解为32( )( )(2 )()3yuFGF xyG x数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型由初始条件得3322321( , )

19、()( ).32xyyxyu x yxt dt求出( )( ,0)( )( ),( )( ,0)2( ).yxu xF xG yxuxF x从而原方程的解为0011( )(0)( ),( )( )(0)( ).22xxF xFt dt G xxFt dt数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型例6：判定下列二阶方程的类型（1） 06234yxyyxyxxuuuuu（2） 0)1 ()1 (22yxyyxxyuxuuyux（3） 0yyxxxuu例7：补充例题数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线

20、性偏微分方程的分类与标准型2.22.2、多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型 n n个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(2.2.1) 12( ,), , ,nijixx xxa b c f其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。 2111( )( )( )( )nnnijijiiijiuuaxb xc x uf xx xx ( )( ).ijjiaxax记（2.2.1）中二阶导数項 系数所构成的n阶矩阵为 ( ).ijn nAax数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型通过合同变换，有120000( )00Tijn nniiAaxBABi其中，矩阵B可逆，1,0, 1ki 正惯性指标p：1 , kii含1的个数负惯性指标q：1 , kii含-1的个数0,0.0.pqnpq数学物理方程数学物理方程第第2 2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型章二阶线性偏微分方程的分类与标准型0,0.0.pqnp