二次函数——取值范围

1、专题十一：二次函数之取值范围坐标相关的取值范围例题 1 ：如图所示，抛物线 y ax2+bx+c与 x轴交于 A、B两点， A（ 5，0）， 与 y 轴交于 C（0，5），并且对称轴 x 3（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过 P的直线 y x+m与直线 AC交于点 M，与 y 轴交于点 N，求 PM+MN 的最大值；（3）点 D 为抛物线对称轴上一点，当 ACD是以 AC为直角边的直角三角形时，求 D点坐标；若 ACD是锐角三角形，求点 D的纵坐标的取值范围13例题 2 ：A是直线 x1上一个动点，以 A为顶点的抛物线 y1a（x1）2+t 和 抛物线 y2ax2交于点

2、B（A，B不重合， a是常数），直线 AB和抛物线 y2ax2交于点 B，C，直线 x1 和抛物线 y2ax2交于点 D（如图仅供参考）1）求点 B的坐标（用含有 a，t 的式子表示）；2）若 a<0，且点 A 向上移动时，点 B 也向上移动，求 的范围；3）当 B，C 重合时，求 的值；4）当 a>0，且 BCD的面积恰好为 3a 时，求 的值练习 1. 抛物线 y=x2+bx+c经过点 A、B、C，已知 A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，P为线段 BC上一点，过点 P作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当 BDC的面积最大时，求点 P 的坐标；（

3、3）如图 2，抛物线顶点为 E，EFx轴于 F点，M（m，0）是 x轴上一动点，N 是线段 EF 上一点，若 MNC=90°，请指出 M 点横坐标的变化范围，并说明 理由练习 2 . 已知抛物线 yax2+bx+3与 x 轴交于 A（1，0）、 B（3，0）两点（1）求抛物线解析式；（2）抛物线与 y 轴交于点 C，在抛物线上存在点 P，使 SBAPSCAP，求 P 点坐 标；（3）已知直线 l：y2x1，将抛物线沿 y2x1 方向平移，平移过程中与 l 相交于 E、F两点设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为 m，在 x 轴上存在一 点 P，使 EPF90°，求 m 的范围角

4、度相关取值范围 例题 1 ：已知抛物线经过 A（ 3，0），B（1，0），C（2，25）三点，其对称轴 交 x 轴于点 H，一次函数 y=k x+b（ k 0）的图象经过点 C，与抛物线交于另一点D（点 D在点 C的左边），与抛物线的对称轴交于点 E2）如图 1，当 SEOC=S EAB时，求一次函数的解析式；3）如图 2，设 CEH=， EAH=，当>时，直接写出 k 的取值范围练习 1 . 已知在平面直角坐标系 x O y中， O为坐标原点，线段 AB的两个端点 A（0，2），B（1，0）分别在 y轴和 x轴的正半轴上，点 C为线段 AB的中点， 现将线段 BA绕点 B 按顺时针方向

5、旋转 90°得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c（a 求点 D 的坐标及该抛物线的解析式； 连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得 POB与 BCD互余？若存在， 请求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 E（1，1），点 Q 在抛物线 上，且满足 QOB与 BCD互余若符合条件的 Q点的个数是 4 个，请直接写 出 a 的取值范围动点相关的取值范围 例题 1 ： 已知二次函数 ?= ?2?+ ?+? ?的图像如图，顶点坐标 D 为（3，43 ）。它与 x轴交于 A，B两点（点 A在 B的

6、左侧），与 y轴交于 C点，且AB的长为 12. 动点 P从A点出发，沿 AB方向以 1个单位长度 /秒的速度向点 B（2）当 PDB为等腰三角形时，求 t 的值；（3）若动点 Q与 P同时从 A点出发，点Q沿折线 AC- CD- DB运动，在AC，CD， DB上运动的速度分别为 3， 3 ，2 （个单位长度 /秒）当 P，Q中的一点到达 B 点时，两点同时停止运动连结 PQ.当 PQ 的中点恰好落在 y 轴上时，求 t 的值；在 P，Q的运动过程中， 若线段 PQ的垂直平分线与线段 BD有交点时， 请直接 写出 t 的取值范围 .练习 1 . 如图抛物线 y = -（x - 1）2 + c

7、与 x 轴交于点 A、B （点 A、B 分别 在 y 轴的左右两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C ,顶点为 D ，已知点 A（-1,0） .（ 1）求点 B、C 的坐标；（ 2）判断 CDB 的形状，并说明理由；（ 3）将 COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位（ 0 < t < 3 ）得到 QPE . QPE 与 CDB 重叠部分（如图中阴影）面积为 S ,求 S 与 x 的函数关系式，并写 出自变量 t 的取值范围 .面积相关的取值范围 例题 1 ：如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，已知二次函数 yax2+bx+c（a>0， b<0，c<0）与 x

8、轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点（ x1<x2），与 y轴交于 点 C，一次函数 yax+a 交 y 轴于点 D，交二次函数 yax2+bx+c于 E、F两点（1）若 A（ 1，0），B（4，0），C（0，2），回答下列问题： 请写出二次函数的解析式 ，请判断 ABC的形状：（ 2）如果 ABC是直角三角形且 ACB90°问： ac 是定值吗？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由； 若点 D在ABC外接圆 M 上，AB3，试确定 a，b，c的值； 已点 P（2，c4）关于原点的对称点 Q 在二次函数的图象上，记以 E、F、 O 三点为顶点的三角形面积为 s，求

9、s 的取值范围例题 2 ：已知二次函数 yax2+bx+c，点 P（x0，y0）为此抛物线上的一点，若函数 ym x+n满足以下两个条件：（ I）m2ax0+b；（）函数 ym x+n的图象 经过点 P（x0，y0）；我们就称函数 ym x+n 为二次函数 yax2+bx+c上关于 P （x0，y0）的“锦鲤函数”（1）已知二次函数 y x22x+3，点 P（2，y0）为此抛物线上一点，求二次函数 yx22x+3 关于点 P（2，y0）的“锦鲤函数”解析式；（2）若 P（x0，y0）为二次函数 yax2+bx+c任意一点，函数 ym x+n为二次函 数 yax2+bx+c上关于 P（x0，y0

10、）的“锦鲤函数”，请判断函数 ym x+n 与二 次函数 yax2+bx+c 图象交点个数，请说明理由；（3）已知 P（k，y0）为抛物线上 yx2+（k2+1）x+（k2 2k+2）上的一点，若常 数 k 满足 6k25k+1 0，求二次函数 yx2+（k2+1）x+（k22k+2）上关于 P（k， y0）的“锦鲤函数”图象与坐标轴所围成三角形面积 s 的取值范围练习 1 . 如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y x2+bx+c与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0）P 为该抛物线上一动点，设点 P的横坐 标为 m（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿

11、y轴向下平移 AB个单位，点 P的对应点为 P'，若 OPOP'， 求 OPP的' 面积； （3）连结 AP，BP，设 APB的面积为 S，当 2m2 时，求 S的取值范围；（4）若二次函数的自变量 x 的取值范围是 mxm+1，且最大值为 ，直接写 出 m 的值练习 2 . 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系 x O y 中，二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）的图象顶点为 P（不与坐标原点重合）， 以 OP为边构造正方形 OPMN，则称正方形 OPMN 为二次函数 yax2+bx+c的关 联正方形，称二次函数 yax2+bx+c 为正方形 OPMN 的关联二次函数若关联正 方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点（1）如图，直接写出二次函数 y（x+1）22的关联正方形 OPMN顶点 N的坐 标 ，并验证点 N 是否为伴随点 （填“是“或“否“）： （2）当二次函数 yx2+4x+c的关联正方形 OP