现代控制理论 刘豹 PPT课件

1、第二章第二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解主要内容 线性定常连续时间齐次状态方程的解 状态转移阵及其求解 线性定常连续时间非齐次状态方程的解线性连续时间系统的离散化线性离散系统状态空间表达式的解 第1页/共41页第二章第二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2-1 线性定常齐次状态方程的解系统的唯一解00)(00,.)()()(0ttxetxxtxAxtxttA.)(10kktbtbbtx证明: 假设x(t)为矢量幂级数形式第2页/共41页2-2-1 1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解同幂次项系数相等.)(2210kktbtbtbb

2、tx证明: 假设x(t)为矢量幂级数形式.).(.32)(221012321kkkktbtbtbbAtkbtbtbbtx 01021201!11.! 2121bAkAbkbbAAbbAbbkkknkkkbbb.1第3页/共41页2-2-1 1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解方程的解可写为022.)!1.!21()(xtAktAAtItxkkt=0, b0=x0.)!1.2122kkAttAktAAtIe0)(xetxAt0()0000( ),.0,(),. ( )()A ttx tAxtx txx tex t第4页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩

3、状态转移矩阵阵)(0220)(.!1.21)(ttAkkAtetttAktAAtIet000)()()()(xtttxxttx状态转移矩阵状态转移阵是nxn的状态转移阵的概念、性质、求法第5页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵10)0(, 00 xt)(2)()(2)()(2)()(2)()(0000000002222ttttttttttttttttttAeeeeeeeee状态转移阵的性质)0()2 . 0(11xexxAt52.03.015.097.0,2.01Atet23. 044. 022. 089. 0, 4 . 022Atet)0()4 .

4、0(22xexxAt)(1)(212txexttA第6页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移阵的性质00.050.10.150.20.25-0.200.20.40.60.811.200.2s0.4s第7页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵002220)()(xtttxtt)()()(011202tttttt)()(0)0(tt00112211220011210)()()()()()()()(,xtttttxtxtttxxtttxttt状态转移阵的性质)()()()(tAAAteeett性质1分步走跃步走第

5、8页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵AttAt)()()(Itt)0()(状态转移阵的性质)()()0()0()()()(1ttttttItt性质2性质3性质4从定义得证从定义得证第9页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移阵的性质tttttttteeeeeeeet22222222)(问题1：已知某状态转移阵如下，求其逆阵问题2：已知某状态转移阵如上，求其A阵提示：AttAt)()()(第10页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵特殊矩阵的状态转移阵1 A为对角型2

6、001ttttneeee.21第11页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵第12页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵1.)(21TeeeTtetttAtnttteee2003210A特殊矩阵的状态转移阵2 可化为对角型ATTT1,21112001?Ate第13页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵011001.,.,.xTTexTzxxTzxexzezzzAxxTzxATzTztAtt证明以上结论第14页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转

7、移矩阵)()(11AsILteAt011010)()()()()()()()0()(xAsILtxxAsIsXxsXAsIsAXxssX状态转移阵的计算方法1方法2.!1.21)(2kkAttAkAtAtIet第15页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移阵的计算例题:方法1解第16页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵例题:第17页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵)2)(1(321AI3210A2111T例题：方法2特征值：1200TeeTettAt第18页/共4

8、1页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵211121111211111TT例题21110021112ttAteee第19页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵例题第20页/共41页2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵ItAtAtAttAntAntAntAAtIennnnnnnnnnAt)()(.)()(.)!1(1!1)!1(1.! 210122111111220.)(0111IAAAAfnnn凯莱-哈密顿定理:方阵A满足其自身的特征方程,即IAAAnnn0111.它会产生什么结论？第21页/共

9、41页2-3 2-3 线性定常非齐次方程的解线性定常非齐次方程的解0000.)()()()()()(0ttdButxttxxtxBuAxtxtt证明第22页/共41页2-3 2-3 线性定常非齐次方程的解线性定常非齐次方程的解例题2-8第23页/共41页2-3 2-3 线性定常非齐次方程的解线性定常非齐次方程的解例题2-8第24页/共41页2-4 2-4 连续时间状态方程的离散化连续时间状态方程的离散化)()()()()()()()() 1(kDukxTCkykUTHkxTGkx连续时间系统 K-KT u(K)=constant)()()()()()(tDutCxtytHutGxtx000.)

10、()()()(0ttdButxtttxtt)()1()()()1()1(,)1(0kuBdTkkTxTkxTktkTtTkkT第25页/共41页2-4 2-4 连续时间状态方程的离散化连续时间状态方程的离散化)()()()() 1()(tButAxtxTkTxTkxkTxATeTTG)()(连续时间系统 近似离散化BdTkTHTkkT) 1()()1(BdteTHTAt0)(Tktset) 1(.第26页/共41页2-4 2-4 连续时间状态方程的离散化连续时间状态方程的离散化)()()() 1(kTBukTAxTkTxTkx近似离散化)()()()1(kTBukxITAkx第27页/共41页

11、2-4 2-4 连续时间状态方程的离散化连续时间状态方程的离散化)(102010tuxx例题: 2-13 离散化状态方程TTATeeeTG220)1 (211)(2121(21)(22TTeeTTH分析选择不同的采样周期T.的影响第28页/共41页2-4 2-4 连续时间状态方程的离散化连续时间状态方程的离散化00.511.522.533.544.500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5continousdiscrete 1discrete 0.5第29页/共41页2-4 2-4 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解应用matlab函数G,H=c2

12、d(A,B,T)实现从连续时间到离散时间的模型转换10,.3210BA第30页/共41页2-52-5离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解.)2() 1 ()0()2()2()3(, 2) 1 ()0() 1 () 1 ()2(, 1)0() 1 (, 0203020HuGHuHuGxGHuGxxkHuGHuxGHuGxxkHuGxxk)()()()() 1(kuTHkxTGkx线性定常系统0)0()()() 1(xxkHukGxkx用迭代法解矩阵差分方程第31页/共41页2-52-5离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解)()()(,11juHGhxGkxkhkkhjjk

13、hkK时刻的状态只与此时刻以前的输入采样值有关，与该时刻的输入采样值无关第32页/共41页2-6 2-6 应用Matlab的系统运动分析方法1： matlab函数来实现（1）expm(A*t)计算给定时刻t的状态转移阵； 函数调用格式：fait=expm(A*t);（2）step(sys) 求取阶跃输入时系统状态响应； 函数调用格式： y, t, x=step(sys)（3）lsim(sys) 求取任意输入时系统状态响应 函数调用格式： y, t, x=lsim(sys,u,t)（4）initial(sys) 求取零输入时系统状态响应 函数调用格式： y, t, x=initial(sys,x

14、0)第33页/共41页2-6 2-6 应用Matlab的系统运动分析02,.3120BA matlab的m文件文本如下：A=0 -2 ;1 -3; B=2; 0;fait02=expm(A*0.2)fait04=expm(A*0.4)求下列系统在t=0.2,0.4秒时的状态转移阵第34页/共41页2-6 2-6 应用Matlab的系统运动分析201,210,.404040202119201921CBA matlab的m文件文本如下：A=-20, 19, -20; 19, -21, 20; 40 -40 -40; B=0 1 2; C=1 0 2; D=0;sys=ss(A,B,C,D);y,t

15、,x=step(sys); plot(t,x),gridfgure(2); plot(t,y),grid求下列系统在u=1(t)时的状态响应和输出响应第35页/共41页2-6 2-6 应用Matlab的系统运动分析 matlab的m文件文本如下：A=-20, 19, -20; 19, -21, 20; 40 -40 -40; B=0 1 2; C=1 0 2; D=0; sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.02:4;u=1+exp(-t).*cos(5*t);y,t,x=lsim(sys,u,t); plot(t,x),gridfigure(2);plot(t,y),grid求上例系统

16、在 时的状态响应和输出响应tetut5cos1)(x0=1 0 0;y,t,x=initial(sys,x0);plot(t,x)第36页/共41页2-6 2-6 应用Matlab的系统运动分析方法2：应用matlab的simulink中的模型库建立mdl文件求下列系统的状态响应201,210,.404040202119201921CBAtetut5cos1)(第37页/共41页2-6 2-6 应用Matlab的系统运动分析方法2：应用matlab的simulink中的模型库建立mdl文件求下列非线性系统的状态响应uxxxxxx22221112x1x2Sx2Sx1Sine WaveProduct1Product1sIntegrator11sIntegrator2Gain第38页/共41页第二章第二章 作业（习题）作业（习题）2-3， 2-4 （2）， 2-52-6，第39页/共41页大作业大作业1 1（1）.推导倒立摆系统的状态空