ch5(大字)二次型

1、 第五章 二次型本章利用矩阵工具来研究一般的二次齐次多项式，即二次型的问题。主要讨论实二次型化为只含平方项的二次型的方法和一种重要的二次型正定二次型以及与之相应的正定矩阵。 第一节 二次型及其矩阵表示一、二次型的概念定义5.1含n个变量的二次齐次函数称为二次型 取，则 于是（5-1）式可写成 （5-2）当为复数时，f称为复二次型；当 为实数时，f称为实二次型。下面，我们仅讨论实二次型。由（5-2），利用矩阵，二次型可表示为，记A=，x=，则二次型可记作 （5-3）其中A为对称矩阵，称A为二次型的矩阵。称r（A）为二次型的秩。这样实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的关系。例5.1 已知二次

2、型 f（x，y）=,写出该二次型的矩阵A，并求出二次型的秩。解 设f=，则 ，x=，显然，r（A）=2。例5.2 已知二次型写出二次型的矩阵A，并求出二次型的秩。解 设f=，则 A=不难求出r（A）=4.定义：设 x=， y=， P=， （5-5）其中P是可逆矩阵，称x=P y为变量到变量的非退化的线性变换。如果对二次型（5-3）施行由（5-5）式确定的非退化线性变换x=P y，则 （5-6）显然也是对称矩阵，二次型f 关于新变量也是二次型。这可归结为下面的定理：定理5.1 二次型=经非退化线性变换x=P y后，仍为二次型 , 二次型的矩阵为 ，其中x ， y，P如（5-5）式所示。记关于变量

3、的二次型的矩阵为B，则两个二次型的矩阵有下述关系： （5-7）我们称具有这样关系的两个n阶矩阵为合同矩阵。 二、矩阵的合同关系定义5.2 设A，B为两个n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 B=则称矩阵A和B合同。合同反映了矩阵之间的一种关系，显然它具有如下的性质 ：（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性。第二节 化实二次型为标准形定义5.3 如果一个二次型只含变量的平方项，则称这个二次型为标准形（或法式）由于实二次型的矩阵A为实对称矩阵，由第四章定理4.7知必存在正交矩阵Q，使得，其中为对角矩阵。从而，我们只要取Q为线性变换的矩阵，令x=Q y，就可以将二次型化为标准形。矩阵Q非奇异，因而x

4、=Q y为非退化的线性变换，由于Q是正交变换，也称变换为正交变换。从而我们有：定理5。2 对任何实二次型，必存在非退化的线性变换x=P y，使得关于新变量的二次型为标准形。下面我们介绍三种化二次型为标准型的方法。一、正交变换法我们已经知道，对任一个n阶实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得 ，其中为A的特征值。正交变换法就是找这样的一个正交矩阵Q，并作相应的线性变换x=Q y，则就可以将二次型化为标准形。下面我们通过具体的例子来说明其具体的步骤。例5.3 求一正交变换x=Q y，把二次型化为标准形解 （1）写出二次型的矩阵 A= .（2）求出矩阵A所有的特征值和对应的特征向量，并将每一个特征值

5、对应的特征向量正交单位化。A的特征多项式为| |=.A的特征值为 .对，齐次线性方程组（AE）X=0 的基础解系为。先正交化，再单位化得。对于，齐次线性方程组（A+3E）X=0 的基础解系为，单位化得 。（3）写出变量的正交变换，化二次型为标准形 令Q=，则有正交变换x=Q y使二次型化为。由于矩阵Q为正交矩阵，所以所作的线性变换为正交变换。由定理4.7可知，用正交变换化二次型为标准形时，标准形的系数为二次型矩阵A的特征值，即 ，是矩阵A的n个特征值.二、配方法用正交变换化二次型成标准形，具有保持集合形状不变的优点。如果不限于用正交变换，那么还可以有多种方法。配方法就是其一。配方法就是初等数学

6、中的完全平方的方法。我们仍通过例子来说明这种方法。 例5.4用配方法把二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。解 由于二次型中含有变量的平方项，故针对某个平方项如，先集中含的项，并配方可得：。令 即 。该线性变换的变换矩阵为 C=这是一个非奇异矩阵，所以该变换是可逆线性变换，在此变换下，二次型化为下列标准形 例5.5 用配方法将例5.3中的二次型 化为标准形，并求出所用的非退化的线性变换。解 由于二次型中没有变量的平方项，故针对某个交叉乘积项，如，作如下的非退化的线性变换以产生变量的平方项： （5-8）则原二次型变为 =。由于新的变量的二次型中含有平方项，如或，并注意到，二次型中除了外无其

7、它项中不含变量，所以，将所有含的项集中并配成完全平方得：配平方后，剰余的项中不再含有和，但含有和的平方项，故可继续使用上面的配完全平方法，将含的项配成完全平方：令 （5-9）则二次型化为标准形 。由（5-9）中解出，代入（5-8），得到所作的线性变换为 （5-10） （5-8），（5-9），（5-10）中的线性变换可以用矩阵的形式表示如下：令x=， y=，z= ，C=, D=,则x=C y， y =D z ，故x=（CD）z，若记P=CD ，则 P=.不难看出，矩阵P非奇异，因而，所作的线性变换是非退化的。一般地，任意一个二次型都可以用例5.4及5.5的方法找到某一个可逆线性变换，把二次型化为

8、标准形。上面我们介绍了两种化二次型为标准形的方法，所用的非退化的线性变换不同，得到的二次型的标准形的形式也不同。后一种非退化线性变换的矩阵P未必是正交矩阵，所得到的标准形的平方项的系数也不一定是二次型矩阵的特征值。 第三节 惯性定理与正定二次型 一、实二次型的正惯性指数二次型的标准形是不唯一的。例：为标准形。令 ，则得另一标准形。下面我们引入规范形的概念。定义5.4 形如 的二次型标准形称为规范形。定理：（惯性定理）对任何实二次型，必存在非退化的线性变换化二次型为规范形，一个二次型的规范形是唯一的。这个定理这里不予证明。由惯性定理可知，实二次型的标准形中，系数为正的平方项的个数p与化二次型为标

9、准形时所用的非退化线性变换无关，它是由二次型唯一确定的。同样，系数为负的平方项的个数r-p也是二次型唯一确定的。定义： 实二次型的标准形中,系数为正的平方项的个数p称为二次型的正惯性指数；系数为负的平方项的个数r-p称为的负惯性指数。其中r为的秩。P-（r-p）=2p-r称为的符号差。由惯性定理可得下面的结论：定理： 设A为n阶实对称矩阵，则A一定合同于下列对角矩阵，其中r = r（A）。二、正定二次型下面我们讨论一种重要的实二次型正定二次型。定义： 设为n个变量的实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有 ,则称二次型为正定二次型。称正定二次型的矩阵为正定矩阵。例如，实二次型为正定二次型

10、，而与就不是正定二次型了。因，。如何判断一个二次型是否是正定二次型呢？我们有下面的定理： 定理： n个变量的实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正，亦即二次型的正惯性指数为n。 证明 设可逆变换使 =， 先证充分性。设。任给，则，故=>0。再证必要性。用反证法。假设有，则当（单位坐标向量）时，。显然，这与为正定相矛盾。这就证明了。 由此定理可见，要判断n个变量的实二次型=是否为正定二次型只要看它的标准形（或规范标准形）是否为正定二次型即可。 将上述结果应用于正定矩阵的判别，则有下述的定理：定理：设矩阵A为实对称矩阵，则下列的四个命题等价：（1） A为正定矩阵（2）A合

11、同于单位矩阵（3）A合同于对角元素全为正的对角矩阵（4）存在非奇异实矩阵M，使得A=MM定理：正定矩阵的行列式大于零。实际上，还常用下面的方法判定二次型的正定性。定义5。7 设为n阶矩阵，称子式 为矩阵A的k阶顺序主子式，。定理： n个变量的实二次型=为正定二次型的充分必要条件是A的顺序主子式全大于零。这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。例5.8 设,判断是否为正定二次型。解法一、二次型的矩阵为。计算各阶顺序主子式知，顺序主子式都大于零，从而是正定二次型。 解法二、 由配方法得 .的正惯性指数等于3，因此，它是正定二次型。例5.9 判定二次型的正定性。解 二次型矩阵为A的顺序主子式为,它们

12、全大于零。因此，二次型为正定二次型。定义5.8设为n个变量的实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有 ,则称为 负定二次型。如果对于任意一组不全为零的实数，都有 ,称为半正定（负）二次型；如果既不是半正定的，又不是半负定的二次型，则称它为不定二次型负定二次型，半正定二次型及半负定二次型的矩阵分别称为负定矩阵，半正定矩阵及半负定矩阵。我们可以像正定二次型（正定矩阵）那样讨论负定二次型（负定矩阵），半正定（负定）二次型（半正定（负定）矩阵）的判别方法及性质，这里不再展开。 课外习题五1 写出下列二次型的矩阵，并求出二次型的秩。（1）；（2）；（3）。2 求一个正交变换，把下列二次型化成标准形。（1）；（2）3 用配方法化下列二次型为标准形，并求出所作的非退化线性变换。（1）；（2）。4 已知二次型通过正交变换x=Q y可化为标准形 ，求参数a及正交矩阵Q。5 设矩阵A与矩阵B合同，矩阵C与矩阵D合同，证明 与合同。6 判断下列二次型是否为正定二次型。（1）；（2）；（3）。7 判断下列矩阵是否为正定矩阵：（1） ； （2）。8 证明：二次型时的最大值为矩阵A的最大特