等差数列练习

1、等差数列练习、选择题1. 等差数列an中，ai+ a5= 10, a4= 7,则数列a*中的公差为()A. 1B. 2C. 3D . 42. 设Sn为等差数列a*的前n项和，若ai= 1,公差d= 2, Sk+ 2 Sk= 24,则k =()A. 8B. 7C. 6D . 53. 设等差数列an的前n项和为Sn.若ai= 11, a4+ ae= 6,则当Sn取最小值时，n 等于()A. 6B . 7C . 8D . 94. 设等差数列an的前n项和为Sn,若S3= 9, Se= 36,则a?+ as+ ag等于()A . 63B . 45C . 36 D . 276. 在等差数列an中，a1=

2、 2 012，其前n项和为Sn,若辔粤=2,则S2 012的值等于()A. 2 011B. 2 012C. 2 010D. 2 0137. 已知函数f(x) = cos x x (0, 2 n有两个不同的零点 X1, X2，且方程f(x) = m有两个 不同的实根X3, X4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m的值为()二、填空题8. 设数列an, bn都是等差数列，若 a1+ S= 7, a3+ b3= 21,则 a5+ b5=.9. 等差数列an的前n项和为Sn,且6S5 5S3= 5,则a4=.10 .已知an为等差数列，Sn为an的前n项和，n N，若比=6, S20=

3、 20,则S10的 值为.11 .已知等差数列an 中,a1, agg 是函数 f(x) = x2 10x+ 16 的两个零点，贝U a50 + a?。+ a80 =.三、解答题12 .等差数列an的首项为a1，公差d = 1,前n项和为Sn.(1) 若S5= 5,求a1的值；(2) 若SnWa对任意正整数n均成立，求aj的取值范围.13.设ai, d为实数，首项为ai，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6 + 15= 0.(1) 若 S5= 5,求 S6 和 a1 ；(2) 求a1的取值范围.14.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3 a4= 117, a

4、?+ a5= 22.(1) 求通项an ；(2) 若数列bn满足bnh-J ,是否存在非零实数 c使得bn为等差数列？若存在， 求出n + cc的值；若不存在，请说明理由. .在数列an中，a1= 1, 3anan-1+ an an-1= 0(n2)1(1)证明数列丁是等差数列；an求数列an的通项；1 一若入a+耐任意n2的整数恒成立，求实数入的取值范围.an+ 1、选择题1. 【解析】法一 利用基本量法求解.2ai + 4d= 10,设等差数列an的公差为d,由题意得$ai + 3d = 7,a1 1 ,解得S( = 2.Id = 2.法二利用等差数列的性质求解.在等差数列an中，a1 +

5、 as = 2as = 10,二空=5.又 a4= 7,二公差 d = 7 5 = 2.【答案】 B2. 【解析】数列an是等差数列，a1 = 1, d = 2.'an = 2n 1,又 Sk+2 Sk = 24,'ak+2+ ak+1 = 2(k + 2)+ 2(k+ 1) 2 = 4k+ 4= 24,'k= 5.【答案】 D3. 【解析】设an的公差为d,'a1 + a9= a4 + a6= 6, 且 a1= 11,'a9 = 5,从而 d = 2.所以 Sn= 11n+ n(n1) = n2 12n, 当门=6时，Sn取最小值.【答案】 A4. 【

6、解析】T S3、S6 S3, S9 S6 成等差数列，且 S3= 9, S6= 36, S6 S3 az + a8 + a9 = S3 + 18 X 2 = 45.=27,D正确.3X2= 2 n,【答案】 B1dd5. 【解析】设an的首项为ai,则Sn= nai +刃(n-1)d =尹2+ (ai-)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0,故A、B正确；因为Sn为递增数列, 则d>0,不妨设a1 = 1, d= 2,显然Sn是递增数列，但S1 = 1<0,故C错误;对任意n N*, Sn均大于0时，a1>0, d>0, Sn必是递增数列,【答案】 Cs6

7、. 【解析】I Sn= An2+ Bn知才=An + B,数列箒是首项为¥=- 2 012的等差数列，又 S12 S102乂 12 -而=2,号的公差为1,S2 0122012=-2 012+ (2 012- 1)X 1 = - 1, S2 012=-2 012.【答案】B7. 【解析】 由题意知，X1 + X2 = X3+ X4 = 2 n,不妨设X1n则X1、X2只能做数列的第1项和第4项，则数列的公差为3,从而X3=2+ 35 n 757_5_3X4=6n+ 3= 6n,m = f(6冗)=f(6)= cos n=-【答案】 D二、填空题8.【解析】设两等差数列组成的和数列为C

8、n，由题意知新数列仍为等差 数列且 C1 = 7, C3 = 21,贝U C5= 2C3- C1 = 2X 21-7= 35.【答案】359.【解析】t 6S5-5S3= 5,二 6(5ai+ 10d)-5(3ai + 3d)= 5,1 1'31 + 3d= 3,即卩 *4= 3.1【答案】110【解析】ai + 2d= 6,由题意知20 X 1920ai +2 d = 20,22ai 二 yd=-3.,-Sio= 22x 10+ 罟 Xz 2130(3)=亍【答案】13011. 【解析】依题意a1 + a99= 10, - a50= 5,125故 2a50 + a20 + a80=+

9、 2a50 = .25【答案】25三、解答题5X 412. 【解】(1)： S5= 5a1 + X ( 1)= 5, '31 = 1.n (n 1)(2)由 Sn< an得 n31+q X ( 1)< a + (n 1)X ( 1),1 2 31-(n 1)a1 w 2门一2门 + 1 = 2(n 1)(n 2),当n= 1时，上式成立1当 n> 1 时，a1<豕n 2),1当门=2时，2(n 2)取到最小值0,a1 w 0.1513. 【解】(1 )由题意知 S6= s5 = 3, ae= S6 S5= 8.5a1 + 10d= 5,所以解得a1 = 7,所以

10、S6= 3, a1 = 7.31 + 5d = 8.(2) SS6 + 15 = 0, - (5a1 + 10d)(6a + 15d) + 15 = 0,即 2ai+ 9da + 10d + 1 = 0.由于关于ai的一元二次方程有解，2 2 2所以= 81d 8(10d + 1) = d 8>0,解得 d< 2 .2或 d>2 2.14. 【解】(1)由等差数列的性质，得a2+ a5= a3+ a4= 22, a4是方程 x2 22x+ 117= 0 的根，且 a4>a3,= 9 且 a4= 13,从而a1 = 1,公差d = 4,故通项 an= 1 + 4(n 1)

11、 = 4n 3.n (1 + 4n 3)由(1)知Sn =2n2 n,Sn 2n n所以bn=n+c n+c法一一所以b1 =11 + cb2=,2 + cb3=(cM 0).3+ c令 2b2= b1 + b3,解得1 c= 2.2n2 n=2n,1当 c= 2时，bn=1n 2当 n2 时，bn bn1 = 2.故当c= 2时，数列bn为等差数列.法二当n2时，2 22n n 2 (n 1)( n 1)bn一 bn 1 =一n+ cn 1 + c22n +(4c 2) n 3c= 2n +( 2c 1) n+ c (c 1)'欲使bn为等差数列,1 只需 4c 2 = 2(2c 1)且3c= 2c(c 1)(cm0),解得 c=.1故当C=时，数列bn为等差数列.15. 【解】证明 由3&an-1+ an an-1 = 0(n2)得，1丄&an 1=3( n2),1二数列/是以1为首项，3为公差的等差数列.1由 可得，an= 1 + 3(n- 1) = 3n 2.1-an=.3n 21和+XM n2的整数恒成立，an+ 1X* 一即+ 3n+ 1X对n2(n N )"恒成立.3n 2(