第2讲等比数列教师

1、等比数列玩前必备a. 16c. 4d. 21. 等比数列的有关概念(1) 等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这 个常数叫做等比数列的公比，通常用字母/表示.(2) 等比中项l h如果三个数q, g, z?成等比数列，则g叫做。和z?的等比中项，那么丁=万，即g (2019全国3理5)已知各项均为正数的等比数列血的前4项为和为15,且a5=3a3+4ai,则。3=ab.g cr2. 等比数列的有关公式等比数列的通项公式设等比数列。的首项为。1，公比为q, q尹0,则它的通项公式。=句一i(2) 等比数列的前项和公式等比

2、数列0j的公比为q(0尹0),其前项和为&,当0=1时，sn=nai；当q尹1时，sn=7_ q -=a _nq3. 等比数列的性质(1) .若 n= p+q=2k(m, n, p, q, run*),贝u am-an=aaq=ai.(2) .若电，膈(项数相同)是等比数列，贝1如(/1壬0)，日，展, 如妇，也仍是等比数列.(3) .在等比数列皿中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即如%+灯 5,住3k，为等比数列, 公比为qk.(4) . 。为等比数列，若则乙，号，若成等比数列.(5) .当gxo, 0=1时,sn = kkqn(k球0)是。成等比数列的充要条件，此时k=r.】

3、q(6) .有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等.特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平 方.题型一等比数列基本量的运算12例1 (1) (2019全国1理14)记&为等比数列杞的前项和.若。1=§，%=%，则55=1. 解析：在等比数列中，由。=。6，得。矿=%q'x） .又 =亍，所以解得0 = 3. 则。"1-刈!（1-3）121.5 l_q 1-332. 解析 设等比数列%的公比为00>0）,则由前4项和为15,且角=3。3 +佃，有“1=1 9 心所以"4.故选c.fdh£)=151 g，解得，q"

4、- 30* +4/（3）设数列脂的前n项和&满足6&+1=9妃住n*）. 求数列。的通项公式； 若数列侃满足为=?，求数歹0喝前n项和t.1(3)当 n=l 时，由 6。1 + 1=9。1,得 a = y 当 时，由 6s+1=9%,得 6s 1 +1 =9。-1,两式相减得 6(s一s-1) = 9(。一即 6an=9(anan-i), aan=3an-i.数列。是首项为公比为3的等比数列，其通项公式为o=§x3”1 = 3一2.队=土=（扩2,.膈是首项为3,公比为§的等比数列,3j3 1 tn = b +/?2bn =玩转跟踪1. （2020-全国1卷

5、）设%是公比不为1的等比数列，为。2，角的等差中项（1）求。的公比；（2）若=1,求数列乃。的前项和.【答案】（1） -2;（2） sn【详解】（1）设。的公比为0, %为的等差中项，2% = %。0 + q 2 = 0, q。1,二 0 = 2 ；(2)设(nan)前 n 项和为 sn, ax - .an = (一2广'，s” =lxl + 2x(2) + 3x(2尸 + .+(2)t ,-2s = 1 x (-2) + 2 x (_2沪 + 3 x (-2)3 + .(一 1)(2)t + (一2),一得，3s = 1 + (2) + (-2)2 + . + (_2)妇 _ n(-

6、2)n= l(1 + 35-2)" i_(i + 3)(2)1-(-2)3'92. (2020*全国 2 卷)数列。 中，% = 2 , m+n 。盘如若。灯1 + 久+2 +卜仪+io = 2、一 2。，则 k=()a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】c【详解】在等式am+n = aman ,令秫=1，可得an+x = anax = 2an,.也 =2,n所以，数列%是以2为首项，以2为公比的等比数列，则q=2x2“t=2，%+如 + -+5=蝉尹=邛尹=2*。-1) = 2任-1)，二2灯1=2，则* + 1 = 5，解得k = 4.故选：c.3. （2020江苏卷）

7、设弱是公差为d的等差数列，如是公比为g的等比数列.已知数列w如的前项和s=2_ + 2一1（en+）,则沸q 的值是【答案】4【详解】设等差数列%的公差为d，等比数列如的公比为0,根据题意 1）d（d、等差数列。/j的前项和公式为pn 。 hd =疽+ q ，22k2 /等比数列如的前项和公式为0 = ""i ） = _ - qn + -a_,1-q1-q1-q依题意sn=pn+qn，即n + 2 1 2 + %j+土,1-q1-q通过对比系数可知d=i2da = -11 2 q = 2-11 0d = 2a = 0 ,故d + 0 = 4.故答案为：4 q = 24=1&

8、lt; 14. (2020*新全国1山东)已知公比大于1的等比数列%满足 + % = 20,% = 8.(1)求%的通项公式;(2)记勾为%在区间(o.mkmen*)中的项的个数，求数列如的前100项和s】。.【答案】(1) an = 2n ； (2) s100 = 480.3a.q + a.q = 201 9 1，解得解得%q = 8%=2,q = 2 ,或 g=32,q= _(舍)，所以。=2，所以数列%的通项公式为。 = 2.【详解】(1)由于数列。是公比大于1的等比数列，设首项为角,公比为q,依题意有(2)由于 21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,

9、26 = 64,27 = 128 ,所以对应的区间为：(0,1，则4=0；对应的区间分别为：(0,2,(0,3,则b2=b3=l，即有2个1；z?4,/?5,z?6,z?7 对应的区间分别为：(0,4,(0,5,(0,6,(0,7,则ba=b5=b6=b-, = 2 ,即有2之个2； z?8,z?9,-,/?15对应的区间分别为：(0,8,(0,9,(),15,则b$=bq =. = % = 3，即有2,个3； z?16,z?17,-,z?31 对应的区间分别为：(0,16,(0,17,(),31,则站=如= =风=4，即有2彳个4； 人32，33,，人63对应的区间分别为：(0, 32 ,(

10、0, 33(0, 63,则人32 =人33 =。63 =5,即有2,个5； 人64，尾5,，加)()对应的区间分别为：(0,64,(0,65,(), 100,则人64 =如5 =1=加)()=6,即有37个6. 所以 sqq 1 x 2 + 2x 2? +3x2，+ 4x 2。+ 5x 2。+ 6x37 480 .题型二等比数列的性质及应用例2 (1)(2015新课标全国卷ii)已知等比数列。满足。1=土。3。5=4(。41)，则。2=()a. 2b. 1c-2d-8(2)设等比数列修中，前项和为s”已知 $3 = 8, $6 = 7,则。7 +。8 +。9 等于（）a-855 d. g已知等

11、比数列。中,。4 +。8 =2,则。6(。2 + 2。6 +。10)的值为(a. 4b. 6c. 8d. -9(4)在等比数列。中，若。1做"4=1，11301415116 = 8, 则。41。42。43。44 =(5)设数列皿、膈都是正项等比数列,&、乙分别为数列lg。与lg膈的前项和，且音=另*t，则log知5(6)已知等比数列修共有2项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比0=听前试做法一：.。3。5 =。京。3。5 = 4(。4一 1),.q3=4（q41）,.狷一4。4+4 = 0,.q4=2.又.03=竺=命=8, 14l。2=1巧=彳乂2=万，

12、故选 c.法：.。3。5=4（。4 1）, qiq2.qg4=40q3 ）,将。1=§代入上式并整理，得苛一i6g3 + 64=o,解得g=2,a2=aq=,故选c.(2)0为。7+。8+。9=，9一s6,在等比数列中s3, s6s3, s9 s6成等比数列,即8, 一, s9 s6成等比数列, 所以有 8（s9-s6）=1,即 s9-s6=|."4 +。8 = 2, 。6（。2 + 2,6 +。10）= 4 .（3 ）。6（。2 + 2（16 +。10）=。6。2 + 2弟 + aa i o =涓 + 28 + "8 = （。4 + «8）2, 答案：

13、（1）c （2）a （3）a（4）方法一。1。2。3。4 = 11。10。1021103 =。06= 1 , q13q14q15o16 = q1012.qi013.qiql4.qgl5 = q*q54 = 8,。4 54！：丫 6 = #8 = 8 今"6 = 2,又 q41q42q43q44 = q104°.qig41.qg42.qg43=<4gi66=qf.q6.qi6o=（qf.g6）.（qi6）io= l2io= j 024.方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p, 设 子1 =11，12,"3,。4= 1, 7 = "13

14、，。14,。15，。16 = 8 , e= t*p = 1 。3 = 8 习/? = 2.t = 341 。42。43。44= 丁1，。1° = 2】°= 1 024.=业（6）由题意，得s 奇+s 偶=240,s奇一s偶= 80,解得5奇=80,，偶=160,所以s 偶 _160 = 2（5）由题忌知元=声房f=lg房=lg穴= l°g公。5玩转跟踪1.（1）在等比数列。中，各项均为正值，且16。10 +。3。5 = 41,。4。8 = 5,则。4 +。8 =（2）等比数列为的首项。1 = 一 1,前n项和为s,则公比q =答案(lh/51 (2)-|解析（1）

15、由。6。1。+。3。5 = 41 及。6。10 =温，得。爵 +。3 = 41.因为。4。8 = 5, 所以（。4+。8）2=涓+2。4。8+温=41+2x5 = 51.又 an>09 所以 a4as=y51.（2）由普=|，。1 = 一 1知公比qg,则可得s% & =_*由等比数列前项和的性质知s5, sos5, s15 s10成等比数列，且公比为一豆，q=2. 已知数歹an满足 log2q+l = 1 +log2q("6n*),且。1+。2 +。3+，+。10= 1，则 log2(q101+q102。110)=解析：因为log2q+i = l+log2q，可得io

16、g2+i=log2（20?）,所以an+=2an,所以数列。曷是以。1为首项，2 为公比的等比数列，又。1+。2110=1,所以。101+。102。110 = （。1+。2d!10）x2l00 = 2100,所以log20101 +1102q11 o） = log22 】°° = 100.答案：1003.已知数列是等比数列，（72 = 2,。5=才，则。1。2。3 +。2。3"4。招+1。+2 =解析：设数列。的公比为q,则q3=3=g，解得0=万，（22、。1=方=4.易知数列anan+an+2是首项为。1。2。3 = q4x2x 1 = 8,公比为 的等比数列

17、，所以。2。3+。2。3。4anan+an+2=64答案：y(l-2)题型三 等比数列的判定与证明 例 3 (2019-全国卷 ii)已知数列。和勿满足刃=1, /?i = o,40i+i = 3q一勿+4,4勿+1 = 3勿一。一4.(1) 证明：an-bn是等比数列，anbn是等差数列；(2) 求曲和勾的通项公式.解(1)证明：由题设得 4(o+i+。+1) = 2(0?+。)，即 an+1 + bn+1 =an+bn).又因为。i+"i = l,所以anvbn是首项为1,公比为乌的等比数列.由题设得4(07+l勿+1)=4(。一/?) + 8,即 an+ bn+ = anbn2

18、.又因为 ab = l9 所以anbn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知，q+z?=次7, anbn=2nlf 所以。=；(+勾) + (q一/?)=§+一§,万(。”+bn)一)=2+万.玩转跟踪1. (2018-全国卷i)已知数列眦满足勿=1, 。+1 = 2(+1)0”设b=w.(1) 求z?2，力3；(2) 判断数列膈是否为等比数列，并说明理由;求为的通项公式.解：(1)由条件可得。+1 = -将 =1代入得。2 = 4。1,而。1 = 1 ,所以您=4.az-一,即 b+i = 2bn,将 =2代入得。3 = 3。2,所以。3=12.从而z?1 =

19、1 ,。2 = 2,。3 = 4.(2)数列。是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得+孔又勿=1,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得的=2一i 所以 an=n-2n. az2.(2020西宁月考)已知在正项数列亿中，勿=2,点a(崩i，/q+i)在双曲线y2x2=l在数列/? 中，点(b,乙)在直线y=3+1上，其中乙是数列勿的前项和.求数列0的通项公式；(2)求证：数列化是等比数列.解:(1)由已知点a在y2x1= 1上知，an+ an=.数列。是一个以2为首项，1为公差的等差数列. + ( l)d=2 + n 1 = +1.(2)证明：.点(。，乙)在直线=3+

20、1上，.乙=3+1. .乙_1 = ；0_i + l(n2).两式相减，得bn= 3+如?-1, .力示。-1.12由,令 =1,得 /?1=_砂1+1, c.b=y21数列膈是以亍为首项，§为公比的等比数列.题型四数列与数学文化及实际应用em （2020广东潮州二模）我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金筑，长五尺，斩本一尺, 重四斤，斩末一尺，重二斤.”意思是：现有一根金篁，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤.若 该金篁从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金篁共重（）a. 6斤b. 7斤c. 9斤d. 15 斤【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列any则有

21、。1=4,逐=2,所以。1+。5 = 6,数列曲的前5项和为s5 = 5x"i："5 = 5x3 = 15,即该金篁共重15斤.故选d.【答案】d 约刍（2020-湖南衡阳三模）中国古代数学名著九章算术中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责 之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译 文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只 有马的一半. ”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?该问题中，i斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：

22、升）为（）【解析】5斗=50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为。1,"3，由题意可知。1，。3构成公比为2的等比数列，且$3 = 50,则色（123）50=50,解得功=了，所以马主人应偿还粟的量为=2功罕，故选d.【答案】d(2020-北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关振，解之为二，又合而为 ”在某种玩法中，用。表示解下m£n*)个圆环所需的最少移动次数，数列。满足勿=1,且；一1 ：，w 则解下4个环所需的最少移动次数04为()2q1 + 2, 为奇

23、数，a. 7b. 10c. 12d. 22【解析】因为数列。满足勿=1,且。=2q-i 1, 为偶数，i所以。2 = 2。1 1=2 1 = 1,所以。3 = 2。21 + 2, 为奇数，+ 2 = 2x 1+2 = 4,所以 04=2031=2x41=7.故选 a.【答案】a约刍(2020山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,即 e(l)=刀(2) = 1，f(n)=f(n-l)+f(n-2)(n3, gn*).此数列在现代物理、化学等 方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列

24、祈,则数列。的前2 019项的和为 ()a. 672b. 673c. 1 346d. 2 019【解析】由于。是数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,各项除以2的余数，故为1, 1, 0,1, 1, 0, 1, 1, 0, 1,，所以。是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1 + 1+。=2.因为2019 = 673x3,所以数列。的前2019项的和为673x2=1 346.故选c.【答案】c巩固练习1. (2020-开封市定位考试)等比数列。的前n项和为若03+452 = 0，则公比q =()a. -1b. 1c. -2d. 2解析：选 c 因为 q3

25、+4s2 = 0,所以 oig2+4oi+4qig=0,因为尹0,所以 q2+4q+4 = 0,所以 q=_2, 故选c.2.若等比数列的各项均为正数，。1 + 2。2 = 3,= 则。4 =()a-8b学c169dt6r 3。1=万, 解得，1解析：选c由题意,。1 + 2。巧=3,(a i g)2=4。i i q5,3所以 q4 = o103=x3.在正项等比数列务中,已知。1。2。3 = 4,。4。5。6=12, "1如"+1 = 324,则等于（a. 12b.13c. 14d. 15解析：选c 因为数列。是各项均为正数的等比数列，所以。4。5。6,。7。8。9,。1

26、0。11口12,也成等1 2比数列.不妨令 bl = （21（12（23,人2 =。4。5。6,则公比 q=3.所以 bm = 4x3mi.令 如=324,即4x3厂1 = 324,解得 秫=5,所以打=324,即刃3。14。15 = 324.所以=144.已知数列%的刖项和为s, qi = 1, sn=2an+19则s=(a. 2"c.1)d.3n2解析：选 d 因为 q+i = s+i s，所以 s=2q+i = 2(s+i &),所以&+i 3s 2'3n23所以数列&是以si = a = l为首项，为公比的等比数列，所以&=5. （多选

27、）设等比数列亿的前项和为sn，且满足06 = 8.3，则（）a.数列oj的公比为2b.数列”的公比为8c 来=8d*=9解析：选ad 因为等比数列务的前n项和为sn,且满足。6=%3,所以出=3 = 8,解得g=2,所以_七 。31 q= 1+q3 = 9.6. （多选）设等比数列修的公比为q，则下列结论正确的是（）a.数列anan+i是公比为q2的等比数列b. 数列。+。+1是公比为0的等比数列c. 数列an-an+i是公比为q的等比数列d. 数列日是公比为;的等比数列解析：选ad 对于a,由"+i = g2（m2）知数列anan+）是公比为/的等比数列；对于b,当q= 1时, 数

28、列亿+。+1的项中有0,不是等比数列；对于c,若0=1时，数列an-an+x的项中有0,不是等比数列；1对于d,丝了=也-=【所以数列是公比为上的等比数列，故选a、d. an+i qq7. （多选）设等比数列眦的公比为0,其前项和为s.前项积为tn，并且满足条件与1,。7刷>1，弓。8 1<0 .则下列结论正确的是（）a. 0<q<lc. s的最大值为s9bq7q9>1d. 的最大值为万如.勿一1解析：选 ad17。81,<0,"8<1,。8 1ovgvl,故 a 正确；。7。9 =。3<1,故 b 错误；.勿>1,0<0&

29、lt;1,数列为递减数列，.s无最大值，故c错误, 又。71, 18<1, .心是数列乙中的最大项，故d正确.故选a、d.8. 已知5是等比数列亿的前项和，若存在物en*,满足弩=9,詈=祭斗孔则数列。的公比为。1（1 一#，）解析：设公比为q,若0=1,则孕=2,与题中条件矛盾，故q球1.因为孕=.（；_,）=矿+1=9,所以1一0矿=8.所以针=岩汗=0"=8=浩，所以山=3,所以3 = 8,所以q=2.答案：29.在等比数列。中，。1+。3 +。5 = 21,。2 +。4 +。6 = 42,则，9 =解析：设等比数列的公比为q,由等比数列的定义可得。2 +。4 +。6 =

30、。10 +。30 +。50 = 0（。1+。3 +。5）= 0乂 211-2= 42,解得 q = 2.又。1+。3 +。5 =。1（1+02+q4）= q x 21 =21,解得 ci = 1.所以 sg=，"）''1 q511.答案：51110.(题两空)已知。是递减的等比数列，且。2 = 2,。1+。3 = 5,贝|。的通项公式为；。1。2 +。2。3hh anan+1 (n 仁 n"')=解析：由。2 = 2,。1 +。3 = 5。是递减的等比数列，得。1=4,。3=1, o=4x(；)厂1,答案：q=4xg)-i yx 1_份+anan+1

31、是首项为8、公比为的等比数列的前项和.故。1。2+。2。3。招+1 = 8 + 2+；8x11.巳知等比数列。为递减数列，且疽=.o,2(q+q+2)= 5q+i，则数列|0?的通项公式an=解析：设公比为 0,由疽=。10,得(qig4)2 = q.g9,即切=/又由 2(。 + 0?+2)= 5。+1,得 2# 5g + 2 = 0,解得0=；(0=2舍去)，所以an=a-qn i=】 答案：土12.设数列(+1是一个各项均为正数的等比数列，已知03 = 7,的=127.(1) 求05的值;(2) 求数列缶的前项和.解：(1)由题可知。3+1 = 8,勿+1 = 128,则有05+1)2

32、= 03+1)07+1) = 8x128=1 024,可得。5 +1 = 3 2,即。5 = 31.(23+ 1 =(。1+ l)q2,(21 + 1=2,(2)设数列q+l的公比为0,由知4 得_c。5+1(qi + l)q ,q2,所以数列亿+1是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以q+1=2x2i = 2，所以.=2一1,2(12)利用分组求和可得，数列。的前n项和sn=n=2n+2 n.13.在数列修的前项和s=%2函数fix) = sin心一2,cos羞+寸5的正零点从小到大构成数歹0qxn, an=xn+房一。一。*-1一。-1=。(乏2,an>0,且a=b2这三个条件中任选一个，补充在 下面的问题中，若问题中的m存在，求出肱的最小值；若肱不存在，说明理由.数列勿是首项为1的等比数列，bn>0,先+。3=12,且,设数列"10；赁+ 的前"项和为tn，是否存在men*，使得对任意的6n*, tn<m?解：设公比为00>0）,因为数列勿是首项为1的等比数列，且bn&g