量子力学教程高等教育周世勋课后答案详解

1、量子力学课后习题详解第一章量子理论基础11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m 与温度T 成反比，即m T=b（常量）；并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式8hv 31dv ，v d vc3hv（ 1）e kT1以及v c ，（ 2）v dvvd ，（ 3）有dvdcdv()dv ()c8hc1,5hce kT1这里的的物理意义是黑体内波长介于与 +d 之间的辐射能量密度。本题关注的是 取何值时，取得极大值，因此，就得要求对 的一阶导数为零，由此可求得相应的 的值，记作m 。但要注意的是， 还需要验证对 的二阶导数在m 处的取值是否小

2、于零，如果小于零，那么前面求得的m 就是要求的，具体如下：' 8 hc1hc16hc5e kT1kTe1hc0kThc15kTe1hc0kThc5(1ekT )hckThc如果令 x=，则上述方程为5(1e x )x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得： x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有hcmT把 x 以及三个物理常量代入到上式便知xkm T2.910 3 m K这便是维恩位移定律。 据此，我们知识物体温度升高的话， 辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动， 这样便会根据热物体 （如

3、遥远星体） 的发光颜色来判定温度的高低。12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动e c2 ），那么p2E2e如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 0.5110 6 eV ，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有hph2 eEhc2 ec2 E1.2410 6m2 0.51 106 30.71 10 9 m0.71nm在这里，利用了hc1.2410 6 eVm以及ec 20.51

4、 106 eV最后，对hc2e c2 E作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强， 由于宏观世界的物体质量普遍很大， 因而波动性极弱， 显现出来的都是粒子性， 这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13氦原子的动能是E3 kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德2布罗意波长。解根据1kK10 3 eV，知本题的氦原子的动能为E3 kT3 kK1.510 3 eV ,22显然远远小于核 c2 这样，便有hc2

5、 核 c2 E1.2410 6m23.71091.510 30.3710 9 m0.37nm这里，利用了核 c24931 106 eV3.7109 eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为hchc2 c 2 E2 kc2 T据此可知，当体系的温度越低， 相应的德布罗意波长就越长， 这时这种粒子的波动性就越明显， 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时， 粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布， 而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公

6、布。14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 M B910 24 J T 1 ，试计算运能的量子化间隔 E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。解玻尔索末菲的量子化条件为pdqnh其中 q 是微观粒子的一个广义坐标， p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈， n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为 ，于是有Ep21 kx 222这样，便有p2 (E1 kx 2 )2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动， 一正一负正好

7、表示一个来回，运动了一圈。此外，根据可解出xE 1 kx 222Ek这表示谐振子的正负方向的最大位移。 这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有2 ( E1 kx2 )dx()2(E1 kx2 ) dx nhxxx2x2x1 kx2 )dxx1 kx2 )dx nh2 ( E2 ( Ex2x2x1 kx2 )dxn h2 (Ex22为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；2Exsink这样，便有22E cos2 d2E sinn h2k222 E cos2Ecos dnhk2222Ekc o 2s dn h22这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分B2 2Esin 2 d2 k这样，便有

8、AB22E2AB22E222d2E,kk（1）cos2 dkE cos 2 d (2 )k2 Ecos d ,2 k这里=2，这样，就有A BE d sin0（ 2）k根据式（ 1）和（ 2），便有AEk这样，便有En hk2En hk2nh,kh其中 h2最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有2Rq Bpq B R这时，玻尔索末菲的量子化条件就为2qBRd(R) nh0qBR22nhqBR2nh又因为动能耐 Ep22，所以，有E( qBR) 2q 2 B2 R222qBnq2nB2nBN B ,

9、其中， M B q是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且2EBM B具体到本题，有E10910 24J910 23J根据动能与温度的关系式E 3 kT2以及1kK10 3 eV1.610 22 J可知，当温度 T=4K 时，E1.54 1.610 22 J9.6 10 22 J当温度 T=100K 时，E1.51001.610 22 J2.410 20 J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。15 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程， 如

10、两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题， 严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面， 如能量守恒， 动量守恒等， 我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有Ehve c2此外，还有Epc于是，有hcec 2hce c2hc1.24 10 60.51 106 m2.4 10 12 m2.4 10 3 nm尽管这是光子转化为电子的最大波长， 但从数值上看， 也是相当小的， 我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子， 如果是光子转化为像正反质子对之类的

11、更大质量的粒子， 那么所对应的光子的最大波长将会更小， 这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变， 产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令( r，t )( r )f (t)iEt( r )ei(*)J2mi( r )eiEtiii（Et*Et（Et( r)e）(r )e( r )e）2mi2m( r )*( r )* ( r )( r)可见 J与t 无关。2.2由下列定态

12、波函数计算几率流密度：(1) 11 e i k r(2) 21 e i k rrr从所得结果说明1 表示向外传播的球面波，2 表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解： J1 和J 2只有 r分量在球坐标中r0 re1e1rr s i ni( 1(1) J12mi 1 eikr2m ri 1 (2m rkrmr 20*1 )11r( 1 e ikr )1 e ikr( 1 eikr )r0rrr r1ik 1)1 (1ik 1) r0r 2rrr 2rk rm r3J1与r 同向。表示向外传播的球面波。(2) J2i(22mi 1 e2mri 1 (2mr*)22ikr(1 eikr )1

13、eikr(1 e ikr ) r0rrrr r1ik 1)1 (1ik 1) r0r 2rrr 2rk rkrmr 20mr 3可见， J 2与 r 反向。表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。补充：设(x)eikx ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？*dxdx2波函数不能按( x) dx1 方式归一化。其相对位置几率分布函数为21表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场， x 0U ( x)0， 0xa， x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态S方程2 d2( x) U ( x) (x) E (x)2m dx

14、 2在各区域的具体形式为2d 21 (x) U ( x) 1 ( x) E1 (x)： x 0dx 22m2d 22 ( x) E2 (x)： 0 x a2m dx 22d 23 ( x) U (x) 3 (x) E3 ( x)： x a2m dx 2由于 (1)、 (3)方程中，由于 U ( x)，要等式成立，必须1 ( x)02 ( x)0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。d 22 ( x)2mE2(x) 0方程 (2)可变为dx 22令 k 22mE2，得d 22( x)2(x)0dx 2k2其解为2 ( x)A sin kxB coskx根据波函数的标准条件确定系数A ，B，由连续性条

15、件，得2 (0)1(0)2 (a)3 (a) B 0A sin ka0A0si nka0kan(n 1, 2, 3, ) 2(x) A sin nxa由归一化条件得对应于2dx 1( x)A2a2n1s i nx d x0 aax sin n由sin mxdxamnbaa2A2a2 (x)2nxs i naak22mE222n2( n 1,2,3, ) 可见 E 是量子化的。En2ma2En 的归一化的定态波函数为2niEn tn ( x, t)sinaxe, 0xaa0,xa,x a#2.4.证明（ 2.6-14）式中的归一化常数是1AaA sin n (x a),xa证：na0,xa（ 2

16、.6-14）由归一化，得12aA 2 sin 2 n(x a)dxndxaaA2a1cosn1( x a)dxa 2aA2aA2ax2a2ancos(xa)dxaA 2anaA2(x a)ansin2aaA 2a归一化常数 A1#a2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。1 2 x 2解： ( x)2 xe 221 ( x)24 2221 (x)x2 ex223x 2e2 x 2d 1 (x) 232x32 x2 2x 2edx令 d 1 (x)0，得 dxx0x1x由 1 (x)的表达式可知， x0，x时， 1 (x)0 。显然不是最大几率的位置。而 d 21 ( x)23( 262

17、x 2 )2 2 x(2x 22 x3 )e2 x2dx24 3(1 52 x224 x4 )e2 x 2d 21 ( x)431dx 2201ex2可见 x1是所求几率最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (x)U ( x) ，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2d 2( x) U ( x) (x) E ( x)2dx 2将式中的 x以( x) 代换，得2d 2( x)U ( x)( x)E(x)2dx2利用 U ( x)U ( x) ，得2d 2( x)U ( x)( x)E(x)2dx 2比较、式可知，( x)和( x

18、) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此( x)和( x) 之间只能相差一个常数 c 。方程、可相互进行空间反演( xx) 而得其对方，由经xx反演，可得，(x)c( x)由再经xx 反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。(x)c(x)乘 ，得( x) ( x ) c2 (x ) ( x)可见， c21c1当 c1 时，( x)(x) ，(x) 具有偶宇称，当 c1 时，( x)( x) ，(x) 具有奇宇称，当势场满足U (x)U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7一粒子在一维势阱中U0 0,xaU ( x)xa0,运动，

19、求束缚态 ( 0EU 0 )的能级所满足的方程。解法一：粒子所满足的S-方程为2 d 22dx2(x)U (x)( x)E( x)按势能 U ( x) 的形式分区域的具体形式为2d 21 ( x) U 0 1 ( x) E1 ( x )x a ：dx 222d 22 (x) E2 ( x)a x a：dx222d 23 ( x) U 0 3 ( x) E3 (x )a x ：dx 22整理后，得：2(U 0E )1210： .2E0222： 32 (U0E)302令22 (U0 E)22 Ek12k22则：1k12 1： .2k222：3k12 1000各方程的解为1Ae k1xBek 1x2

20、C sin k 2 xD cos k 2 x3Ee k1xFe k1x由波函数的有限性，有1 ()有限A03 ()有限E0因此1 Bek1x3 Fe k1 x由波函数的连续性，有1 (a)2 (a),Be k1aC sin k 2 aD cosk 2a(10)1 (a)2 (a),k 1 Be k 1ak 2C cosk 2 ak 2 D sin k 2 a(11)2 (a)3 (a),C sin k 2 aD cosk 2aFe k1 a(12)2 (a)3 (a),k 2 C cosk 2ak 2 D sin k 2 ak1 Fe k1a(13)整理 (10) 、(11) 、 (12) 、

21、 (13) 式，并合并成方程组，得e k1 aBsin k 2aCcosk 2 aD 00k 1e k1a Bk 2 cosk 2aCk 2 sin k 2a D000sin k 2 aC cosk 2 aD e k1a F00 k 2 cosk 2aCk 2 sin k 2 aD k 1e k1a F0解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e k1asin k 2 acosk 2 a0k 1e k 1ak 2 cos k 2ak 2sin k 2 a000sin k 2 acosk 2 ae k1a0k 2 cosk 2 ak 2sin k 2 a

22、k1 Be k1ak 2 cosk 2 ak 2 sin k 2a00e k1 asin k 2 acosk 2ae k1ak 2 cosk 2 ak 2 sin k 2ak 1 e k1asin k 2acosk 2 a0k1 e k1 asin k 2acosk 2 ae k1ak 2 cosk 2ak 2 sin k 2 ak 1 e k1ae k1a k1 k 2 e k1a cos2 k 2ak 22 e k1a sin k 2a cosk 2ak 1k 2 e k1a sin 2 k 2 ak 22 e k1 a sin k 2a cosk 2ak 1e k 1a k 1e k1a

23、 sin k 2 acosk 2 ak 2 e k1a cos2 k 2ak1 e k1a sin k 2a cosk 2ak 2e k1a sin2 k 2ae 2 k1a 2k1 k 2 cos2k 2ak 22 sin 2k 2 ak 12 sin 2k 2 ae 2 k1a ( k 22k 12 ) s i n2k 2a2k1k 2 c o 2sk 2a e2 k1a0 (22 ) sin 22k1k2cos20k2k1k2 ak 2a即 (k22 k12 )tg 2k2 a 2k1k2 0 为所求束缚态能级所满足的方程。 #解法二：接（ 13）式C sin k 2 aD cosk 2

24、 ak 2 C cosk 2 ak 2 D sin k 2ak 1k1C sin k 2 aD cosk 2 ak 2C cosk 2 ak 2D sin k 2 ak 1k1k2cosk2 asink 2ak 2sink 2acosk2 ak1k10k2( k 2 sink 2acosk2 asink 2acosk2 a)k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sin k2 acosk2a )k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sin k2 acosk2a )0k1k1( k2cosk2a sin k2 a)( k2sin k2 acosk2a)0k1k1

25、k22k2sin2k2 ak22sink2 a cosk2 a 0k2 sin k2a cosk 2ak1k1cos k2 a122k2 cos2k2 a(1k22 ) sin 2k2 a0k1k1(k22k12 ) sin2k2 a2k 1 k2 cos2k2 a0#解法三：(11)-(13)2k2 D sink2 ak1 e k 1a (B F )(10)+(12)2D cosk 2 ae k1a (BF)(11)(13)k 2 tgk 2 ak 1(a)(10)(12)(11)+(13)2k2C cosk2 ak1 (FB)e ik1a(12)-(10)2C sin k 2 a(FB)e

26、 ik 1a(11)(13)k 2ctgk2 ak1(12)(10)令k 2a，k2a，则tg(c)或ctg(d)22222 U 0a2(k 1k 2 )2(f )合并 (a)、(b) ：2k1 k22tgk 2 atg2k 2ak12利用 tg2k 2 a2 k 2ak221 tg#解法四：（最简方法 - 平移坐标轴法）2：21U 0 1E 1（ 0）2（ 0 2 a ）：22E 22（2 a ）：23U 03E32(U 0E )01212E02222(U 0E )03231k 1210(1)k 122(U 0E)22k 2220(2)k 222E2束缚态 0E U03k 1230(3)1A

27、e k1 xBe k1 x2C sin k2 xD cosk 2 x3Ee k1 xFe k1 x1 (有限B0)3 ()有限E0因此1 Ae k1 x3 Fe k1 x由波函数的连续性，有1 (0)2 (0),AD(4)1 (0)2 (0),k 1Ak 2 C(5)2 (2a)3 (2a),k 2 C cos2k 2 a k 2 D sin 2k 2 ak 1 Fe2 k1 a(6)2 (2a)3 (2a),C sin 2k2 a D cos2k 2a Fe2k1a(7)(7) 代入 (6)C sin2k2 a D cos2k2 ak2C cos2k2 ak2Dsin2kak1k12利用 (

28、4) 、(5) ，得k1A sin 2k 2 aA cos2k 2 aA cos2k 2 ak 2A ( k 1k 2 ) sin 2k 2 a2 cos2k 2 a0k 2k 1A0( k 1k 2 ) sin2k 2 a2cos2k 2 a0k 2k 1两边乘上 ( k 1k 2 )即得(k 22k 12 ) sin 2k2a 2k1 k 2 cos2k 2 a0#k 2D sin 2k 2 a2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为,x0，U0 ,0xa，U (x)axb，U 1 ,0,bx，求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态 S-方程为

29、2 d 22dx 2(x)U ( x)(x)E( x)对各区域的具体形式为：221U ( x)1E1( x0)2：22U 02E22：23U 13E32：240E4(0xa)( axb)(bx)对于区域， U ( x)，粒子不可能到达此区域，故1 ( x)0而 .2(U 0E)02222(U 1E)32302E0424对于束缚态来说，有UE02022 (U0 E)2k1 2k122022 (U1 E)3k3 3k324k4240k422 E /2各方程的解分别为2Ae k1 xBe k1x3C sin k2 x D cos k2 x4Ee k3xFe k3 x由波函数的有限性，得4()有限，E

30、04Fe k3 x由波函数及其一阶导数的连续，得1 (0)2 (0)BA2A( ek3 xe k3 x )2 (a)3 (a)A(ek3 xe k3 x )C si nk2 aD c o ks2 a3 (a)3 ( a) Ak1 (ek3 ae k3a ) Ck2 cosk 2aDk 2 sin k2 a3 (b)4 (b)C sin k 2bD cosk2bFe k3b3 (b)4 (b)Ck2 sin k2 bDk2 cosk 2bFk 3e k3 bk1 a由、，得k1 e e k2 ek1 a ek1aC cosk2 aD cosk 2ak1a(11)C sink2 aD cosk2a由 、得 (k 2 cosk2 b)C( k2 sink2b)D(k 3 sink2 b)C(k 3 cosk2 b) D( k2 c o ks2 bs i nk2 b)C(k2c o ks2 bs i nk2 b)D0(12)k3k3令ek1ae k1ak1，则式变为ek1ae k 1ak2(sink 2 a cosk2 a)C(cosk2 asink2 a)D0联立 (12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须( k2 c o ks2 b s i kn2 b) (k2 s