理学平面曲线的弧长PPT课件

1、xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)( badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形xxxx x 曲边梯形的面积第1页/共128页讨论： 由左右两条连续曲线xy(y)、xj(y)与上下两条直线yc、 yd所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdxy(y)xj(y)dyyySdc)()(yj。 答案： 由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线 baf(x)g(x)dx。 Sxa、xb所围成的图形的面积为第2页/共128页ab 例 1 求椭圆求椭圆12222byax所围成的图形面积。 S 4S1 4dxxa

2、aba2204442aabdxxaaba2204442aabab。 xyO y22xaab S1则椭圆的面积为 解：设椭圆在第一象限的面积为S1， S 4S1 4dxxaaba0220 第3页/共128页x1O-1 1 y y21x2 y211x 3 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S 2 dxxxdxxx)112()211(23121022 例 2 求曲线 y21x2、y211x与直线 x3、 x3所围成的图形的面积。 dxxxdxxx)112()211(23121022第4页/共128页 例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积。8 y-2 2 x2O44

3、4(8, 4)(2, 2) 解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。 A1861421)214(4232242yyydyyy1861421)214(4232242yyydyyy18。第5页/共128页，ttyytxxC给出是由参数方程设曲线,),(),(, 0)()()(,txt，xty连续可微且连续上在，abbaxbxa)(),(),(或记轴所围图形面积公式为和及直线则由曲线xbxaxC ,.)()(dttxtyA二、参数方程第6页/共128页例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积. tbytaxsincos aydxA04 02)co

4、s(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 椭圆的参数方程解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第7页/共128页 设由曲线设由曲线)( j j r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( j j在在, 上连续，且上连续，且0)( j jxo d d j jddA2)(21 .)(212 j j dA 三、极坐标系情形)( j j r曲边扇形的面积面积元素第8页/共128页例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.14AA daA2cos214402 .2a xy 222cosa1A解由对称性

5、知总面积=4倍第一象限部分面积第9页/共128页例例 6 6 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解利用对称性知第10页/共128页例例7 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是

6、另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.第11页/共128页解：解：1S2Sx y o )(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数.223xy 积分得所以所求曲线为第12页/共128页回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(补充:定积分的微元法曲曲 边边 梯梯 形

7、形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 第13页/共128页面积表示为定积分的步骤如下（2）计算）计算iA 的近似值的近似值 iiixfA )( iix （3） 求和，得A的近似值.)(1iinixfA （4） 求极限，得A的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(第14页/共128页ab xyo)(xfy 提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxf

8、A)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素第15页/共128页（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；第16页/共128页微元法的一般步骤：1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间为积分变量，并确定它的变化区间,ba； 第17页/共128页这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。第18页/共128页)1 , 1()0 , 0(dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 1

9、0333223 xx.31 2xy 2yx 解两曲线的交点面积元素微元法求平面图形的面积举例第19页/共128页).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 解两曲线的交点第20页/共128页于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 第21页/共128页).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242

10、.dy)yy(A1824422 xy22 4 xy两曲线的交点解第22页/共128页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结作业: P242 1-6第23页/共128页一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结第24页/共128页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第25页/共128页Oxba y旋转体： 由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、ab 及 x 轴所

11、围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 yf (x)讨论： 旋转体的体积怎样求？V baf(x)2dxbaf(x)2dx。 答案：第26页/共128页一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体

12、的体积为dxxfVba2)( )(xfy 第27页/共128页 解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积： Vx 2a0y2dx 2axxaab03222)3(2234abx yOab22xaaby 例 1 求椭圆12222byax 分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。y2dx 2dxxaaba)(20222 axxaab03222)3(2234ab。 第28页/共128页yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线 方程为OP第29页/共128页以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄

13、薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo第30页/共128页a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a 第31页/共128页 类类似似 地地， 如如果果 旋旋 转转体体 是是由由 连连 续续曲曲 线线)( yxj j 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yxj j cddyy2)(j j dcV第32页/共128页解解

14、绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy第33页/共128页绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 第34页

15、/共128页补充补充dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 第35页/共128页解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM第36页/共128页二、已知平行截面面积的立体的体积 设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 V ni 1S(i)xi。 (

16、3)令maxxi，则立体体积为 V ni 10limS(xi)xi S(x)dx。 (1) 在a, b内插入分点： ax0 x1x2 xn1xnb， (2)过xi(i1, 2, , n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。 将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnb第37页/共128页xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于

17、于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积第38页/共128页RR xyo解解 取坐标系如图底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 第39页/共128页解解取坐标系如图底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA 立体体积dxxRhVRR 22.212hR 第40页/共128页解：解：xyo 1

18、4yxy),1 , 4(dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y例例8立体体积交点第41页/共128页旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周x绕 轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周三、小结作业: P246 1-6第42页/共128页一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形第43页/共128页xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加

19、且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.一、平面曲线弧长的概念9.3 求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长第44页/共128页 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx 取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 dxyds21 .12dxysba 二、直角

20、坐标情形弧长元素弧长第45页/共128页例例 1 1 计算曲线计算曲线 上相应于上相应于 x 从从 a 到到 b 的一段的一段 弧的长度弧的长度 . ,21xy dxxds2)(121 ,1dxx dxxsba 1.)1()1(322323ab ab所求弧长为解2332xy 第46页/共128页例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 第47页/共128页曲线弧

21、为曲线弧为,)()( tytxy yj j)( t其其中中)(),(tty yj j在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttty yj j dttt)()(22y yj j .)()(22dttts y yj j三、参数方程情形弧长第48页/共128页例例 3 3 求求星星形形线线323232ayx )0( a的的全全长长.解解 taytax33sincos)20( t14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 根据对称性星形线的参数方程为第49页/共128页4.y sinx 2例 求曲线 =在0, 上对应弧长。解:2cos

22、 1cosyxdsxdx 2122220221cos1cos2tSxdxSxtdtt令21112222224241 22422tdtt dtdttt12 第50页/共128页证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1,cos12022dxxa 第51页/共128页 ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s dtta 022cos12故原结论成立.第52页/共128页曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其中其中)( j j在在, 上具有连续导数上具有连续导数

23、. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr .)()(22 drrs 四、极坐标情形弧长第53页/共128页)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 第54页/共128页解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 第55页/共128页平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念 五、小结求弧长的公式弧微分的概念极坐标系下参数方程情形下直角坐标系下第56页/共1

24、28页思考题思考题 闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy 是否一定可求长？是否一定可求长？第57页/共128页思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长作业: P252 1;3.第58页/共128页10.4 旋转曲面的面积第59页/共128页 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽

25、象出定积分的概念，我们发现，定积分是确由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 一一 定积分的元素法定积分的元素法( (或微元法或微元法) )第60页/共128页 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1. 分割：任意划分a,b为n个小区间 niiiiAAnixx11),1( ,则step2. 近似： ,1iiixx )( iiixf 计算)1(ni 微元法第61页/共128页step3. 求和

26、： niiixfA1)( step4. 取极限： niiixfA10)(lim badxxfA)( 即分析：在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足：1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;2。对a,b具有可加性，; 1iniAA 即即3。)( ,)( iiiixoAfA 且误差为且误差为局部量局部量 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：第62页/共128页step1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）step2:取微区间x,x+dx 求出 )( )(局部量dxxfA 称为面积元素并记 )( dxxfdA step3: badxxfA)( 计算这种

27、方法称为定积分的元素法或微元法。第63页/共128页 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；2。Q对于a,b区间具有可加性；3。局部量.)(iiixfQ 那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1. 选取积分变量及积分区间 ,:bax 如如step2. 取微区间x,x+dx，求出 )(dxxfQ dxxfdQ)( 并记并记step3. badxxfA)( 计算计算第64页/共128页求的步骤分割用分点bxxxxann 110将区间分成 n 个小区间11, iiiiixxxxx 以直线代曲把在小区间上的局部量iU 用某个函数 f ( x) 在

28、),(1iiiixx 的值与ix 之积代替iiixfU )( 求和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即 niiiniixfUU11)( 设量非均匀地分布 a ,b 上第65页/共128页ixni max1 nibaiidxxfxfU10)()(lim 由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，（2）局部量可用iixf )(近似表示它们之间只相差一个ix 的高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法求极限第66页/共128页1 求微元写出典型小区间 ,b

29、adxxx 上的局部量 U 的近似值dxxfdU)( 这就是局部量的微元2 求积分即把微元 dU在区间 a , b 上 dxxf)(作积分表达式，求它在 a , b 上的定积分，即 badxxfU)(这就是微元法微元法 “无限积累”起来 ，相当于把 第67页/共128页例C y f xa b设曲线 : = ( )在 , 上有连续导数,求弧长解:（图一）1xa,b。 取积分变量 i-1i2222x xxSM Mxy1xyx 。 取微区间 , +,则（）21dsy dx记弧长微元23 S=1aby dx。yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb第68页/共128页取取积积分分变变量量为

30、为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ， 22( ) 1dSf xfx dxxdxx xyo旋转曲面的面积为 221baSf xfx dx)(xfy 二二 旋转曲面的面积旋转曲面的面积第69页/共128页 222Sy txtyt dt第70页/共128页 222sinSrrrd第71页/共128页1R例 、 求 半 径 为的 球 面 面 积 。22()yRxRxRx解：球面可看作由半圆绕 轴旋转而成，于是2222221RRxARxdxRx24 R第72页/共128页2(sin )(02)(1cos )xa tttyatx例 、求摆线绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积。22

31、202(1 cos )Aatxy dt解22022(1 cos )|sin|2tat2643a第73页/共128页例例3 3.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx第74页/共128页解解.10A设面积为设面积为由对称性,有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性,有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtt

32、a.6a 第75页/共128页.,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性,有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 第76页/共128页作业作业 P255P255：1 1，2 2，3.3.dAdttytxtyAttyytxxdxxfxfdxxfAxxbxaxxfybaxfyxfybaba)()(sin)(2)()()()()(2)()()()(1)(2)(2)(,)( )(22222给出，则侧面积

33、公式为若曲线段由极坐标方程：给出，则侧面积公式为若曲线段由参数方程的侧面积轴旋转一周所得旋转体轴所围曲边梯形绕及，连续，则由曲线在及设三三 小结小结第77页/共128页第78页/共128页 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW . 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直

34、直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”思思想想. 一、变力沿直线所作的功 第79页/共128页例例1 1 把把一一个个带带 q 电电量量的的点点电电荷荷放放在在 r 轴轴上上坐坐标标原原点点处处， 它它产产生生一一个个电电场场 这这个个电电场场对对周周围围的的电电荷荷有有作作用用力力 由由物物理理学学知知道道， 如如果果一一个个单单位位正正电电荷荷放放在在这这个个电电场场中中距距离离原原点点为为 r 的的地地方方，那那么么电电场场对对它它的的作作用用力力的的大大小小为为 2rqkF （k是是常常数数） ，当当这这个个单单位位正正电电荷荷在在电电场场中中从从 ar 处处沿沿 r

35、 轴轴移移动动到到 br 处处时时， 计计算算电电场场力力 F 对对它它所所作作的的功功 第80页/共128页解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr ,2drrkqdw drrkqwba 2barkq 1.11 bakqdrrkqwa 2 arkq1.akq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处所求功为功元素第81页/共128页例例 2 2 : 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径米，底半径 3 米，米，池内盛满了水池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，问要把池内的水全部吸出，需作多少功？需作多少功？ xoxdx

36、x 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,建立坐标系如图解第82页/共128页xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 ,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦)功元素为第83页/共128页,)(kxxf 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤

37、击所作厘米，若每次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n第一次锤击时所作的功为设木板对铁钉的阻力为解第84页/共128页 hhkxdxw0,22kh 1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n依题意知，每次锤击所作的功相等第85页/共128页 由由物物理理学学知知道道，在在水水深深为为h处处的的压压强强为为hp ，这这里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面积积为为A的

38、的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深为为h处处，那那么么，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力为为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”思思想想 二、水压力第86页/共128页xo取取x为积分变量，为积分变量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 在端面建立坐标系如图解

39、第87页/共128页小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 第88页/共128页例例 5 5 将将直直角角边边各各为为a及及a2的的直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直地地浸浸人人水水中中，斜斜边边朝朝下下，长长直直角角边边与与水水面面平平行行，且且该该边边到到水水面面的的距距离离恰恰等等于于该该边边的的边边长长，求求薄薄板板所所受受的的侧侧压压力力 xoa2a2a,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a

40、建立坐标系如图面积元素解第89页/共128页 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力第90页/共128页例例 6 6 有

41、一长度为有一长度为 l 、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒， 在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M ，计算该棒对质点，计算该棒对质点 M 的引力的引力 2l2l xyoMa取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly,dy rydyy 将典型小段近似看成质点小段的质量为建立坐标系如图解第91页/共128页小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar ,22yadymkF ,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm . 0 yF由

42、对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力第92页/共128页例7:,Rj有一半径为中心角为 的圆弧形细棒,其线密度m。求这细棒对圆心处质量为 的质点的引力。解: 建立坐标如图oxy ,222j j则 变量积分变量 ,d 取微区间22 mpdsGmpGmpdFGRddRRR则 0 xF 由对称性第93页/共128页 sinsinyGmpdFdFdR 又222222 2sin cos yGmpGmpFdRRjj 22cos()sin222GmpGmpRRjj222: sin2xyGmpFFFRj引力大小方向: 指向圆弧中点第94页/共128页作业:P259 1-10第95页/共128页

43、定积分的应用习题课定积分的应用习题课第96页/共128页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第97页/共128页1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第98页/共128页2 2、名称释译、

44、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba 第99页/共128页（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部分量）部分量iU

45、 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；3 3、所求量的特点、所求量的特点第100页/共128页1)根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；4 4、解题步骤、解题步骤第101页/共128页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形abab第102页/共128页如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytxy yj j曲边梯形的面积 21)()

46、(ttdtttAj jy y（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(txj j 具具有有连连续续导导数数，)(tyy y 连连续续.参数方程所表示的函数第103页/共128页 j jdA2)(21xo d )( j j r xo)(2 j j r)(1 j j r j j j jdA)()(212122极坐标情形第104页/共128页(2) 体积dxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)(j j xyo)(yxj j cd第105页/共128页xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体

47、积)(xA第106页/共128页(3) 平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长dxysba 21A曲线弧为 )()(tytxy yj j)( t其其中中)(),(tty yj j在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长dttts y yj j)()(22)(xfy B曲线弧为第107页/共128页C曲线弧为)( )( rr 弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧第108页/共128页(5) 细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量abxyxdxx o

48、babayydxxxdII)(2 )(为为线线密密度度x 第109页/共128页(7) 变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 第110页/共128页(9) 引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根 badxxfaby)(12第111页/共128页二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积

49、体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx第112页/共128页解解.10A设面积为设面积为由对称性,有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性,有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 第113页/共128页.,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性,有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122

50、a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 第114页/共128页例例2 2?,)2(;)0()1( .至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水时水求在池中水深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点,有).0(2)(2222RyyRyRyRx 第115页/共128页时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV 则有则有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh 第116页/共128页故所求速度为.)2(