上海高一下期末数学复习全总结-学生版[精品]

1、高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。1.1 对数恒等式： log a 10log a a 1alog a bb1.2 对数公式： log a Mlog a Nlog a MNlogaMlog a Mlog a Nlog a Nlog a b nn log a blog a m b nn log a bmlog a blogc blogc alog a b1logab log b c log c a 1logb a（ 2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。（ 3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例 1】（

2、1）【 2010 湖北文 03】已知函数flog3x, x01x，则 ff2 x, x 09。A 4B 141C D 44（2）【 2010 湖北文05】函数 y1的定义域为。log 0.5 4x 3A 3,1B 3,C 1,D 3,11,444（3）【 2010 重庆文04】函数 y164 x的值域是。A 0,B 0,4C 0,4D 0,41【例 2【】 2010 北京文 06】给定函数yx2 ， y ogl1 x1 ， yx 1 ， y2 x 1 ，2其中在区间0,1 上单调递减的函数的序号是。A B C D 1【例 3】【 2010 全国文10 理 08】设 alog 3 2， bln

3、2 ， c5 2，则。A abcB bcaC cabD cba板块二三角比【知识要求】（1）角的定义与表示1.1 任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。 （动态的定义）1.2 分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。1.3表示：与角终边一致的角：|3600 k,kZ1.4弧度制把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1rad 。圆心角l；扇形面积 S1lr1r 2 。r221rad 57.30057 018' ； 100.01745rad 。（2）三角比的定义2.1 三角比的定义用直角三角形边之比定义锐角三角比；sinaba， cotb

4、， cos， tanbacc正割： seccc，余割： cscab用终边上点的坐标定义任意角的三角比；在任意角的终边上任取一点P 。设 P 点的坐标为x, y，则 OP rx 2y 2 。sinyyxxyrx 2，cosrx2，tan。y2y2x由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：一全正、二正弦（余割） 、三两切、四余弦（正割） 。用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。sinMPMP ， cosOMOM ， tanATAT2.2 特殊角的三角比0（00）（300）（ 450）（600）（900）6432sin01231222cos13210222tan0313不存在3cot不

5、存在31303（3）同角三角恒等式sin 2cos21tansink, k Zcosk , kZcoscot2sintancot1kZ, k2sincsc1k , kZcos sec1k, kZ21 tan 2sec2k, k Z1 cot 2csc2k, kZ2（4）诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成k的形式，然后用口诀。2（5）两角和差展开公式sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsincoscoscossinsintantantantantantan1tan tan1tantan（6）二倍角公式sin 22 sincos

6、cos 2cos2sin 22 cos21 12 sin 22 tantan 221 tan半角公式sin 21coscos21cos2222tansin1cosk, kZ1cossin2（7）辅助角公式（提携公式）a sinb cosa 2b2sinsinb， cosaba 2b 2a 2b2， tana【经典例题】【例 4】（ 1）若是第二象限角，那么和都不是。22A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例 5（】 1）【2010山东明天中学】 已知角的终边过点 P8m, 6 sin 300，且 cos4，则 m 的值为5。1B 31D 3A 2C 222（2）【 200

7、9 重庆文06】下列关系式中正确的是。A sin 110cos100sin1680B sin1680sin 110cos100C sin 110sin1680cos100D sin 1680cos10 0sin110【例 6】（ 1）【 2009山东临沂】已知sin1，,，则 tan的值是cos252。（2）【 2009 安徽合肥】已知sin x2 cos x ，则 sin 2 x1。A 6B 9C 4D 55533【例 7】（ 1）【 2010 全国 02】记 cos80 0k ，那么 tan1000。1k 2B 1k 2kD kA kkC k 21 k 21（2）【 2009 安徽皖北】若

8、 sin3 ，则 cos。6533B 3C4D 4A 5555【例 8】（ 1）已知，则 1tan1tan。4（2）已知为锐角，且 cos5，则 cos。613【例 9】（ 1）已知 sinx3 ，则 sin 2x。45（2）已知 sin x31，则cos4 x。cos x444【例 10】（ 1）【 2008 四川非延考理 05】若02， sin3 cos，则的取值范围是。A ,2B ,C , 4D , 3333332（2）若3 sin xcos x2x0 ，则 sin xcos x1212，且32。板块三三角函数【知识要求】（1）定义：一般地，形如ysin x， ycos x ， ytan

9、 x 的函数称为三角函数。（ 2）图像由单位圆上的有向线段平移所得五点法（3）图像变换同名函数之间进行变换；所有变换必须针对x 或 y ；左加右减， “上正下负” 。（ 4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称【经典例题】【例 11】（ 1）作出函数 y 2sin2x3的图像。（2）【 2010江苏 10】定义在区间0,上的函数 y 6 cos x 的图像与 y 5tan x 的图像的2交点为 P ，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1 ，直线 PP1 与 y sin x的图像交于点P2 ，则线段P1 P2 的长为。【例 12】（ 1 ）【 2010天 津 文08】右图是函数yA sinxxR

10、 在区间6, 5上的图像， 为了得6到这个函数的图像， 只要将 ysin x xR 的图像上所有的点。(A) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍，纵坐标不变32(B)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变3(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 倍，纵坐标不变62(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变6（2）【 2005 天津理 08】要得到 y2 cos x 的图像，只需将函数y2 sin 2x的图像4上所有的点的。A 、横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动

11、个单位长度28B、横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动个单位长度24C、横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动个单位长度4D、横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动个单位长度8【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数ysinx(0,) 的 部 分 图 像 如 图 所2示，则。A 1B 166C2D 26a6f x1 a sin ax（2）【 2009 浙江理08】已知是实数，则函数的图像不可能 是。【例 14】（ 1）【2010 浙江理 11】函数（ 2）【 2010 北京理 15 改编】函数小值为 _。f (x)sin(2 x)

12、22 sin 2 x 的最小正周期是 _。4f x2cos 2xsin 2 x4cos x 的最大值为 _，最（3）【自编】函数 ysin x cos x sin x cos x ， x, 5126的值域为 _。【例 15】（1）【自编】已知函数f xsin 2x 2 sin 2 x ， x R（）求函数的值域；（）求函数的最小正周期；（）求函数的单调性；（）求函数的对称轴和对称中心；（2）【自编】下列命题函数 fxsin 22x的最小正周期是；42函数 fx2sin x cosx 在（，）上是递增的；42函数 ytan2x的图像关于点,0中心对称；63函数 ysin 2x4sin 2 x是奇

13、函数。4其中正确命题的序号为。【例16】（1）【 2003天津文21】已知函数 f (x) sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图像关于点M (3,0) 对称，且在区间 0, 上是单调函数。求和的值。42（ 2）【 2008 辽宁理16】已知 f ( x)sin( x)(0), f ()f ( ) ，且 f ( x) 在区间363( ,) 有最小值，无最大值，则_ 。63板块四反函数【知识要求】1.1 定义：若函数yf x 的定义域为A ，值域为 B ，对于 B 中每一个元素y0 在 A 中有唯一确定的元素x0 与之对应，则函数yf x 存在反函数，即为yf1x ，否则不存在反函数。1.2

14、 存在反函数的前提条件：一一映射。1.3 求反函数的步骤：求值域；反解；互换1.4 互为反函数的两函数的性质：奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。原函数与反函数关于直线yx 对称。1.5 反三角：反三角公式： arcsinxarcsin x ， arccosxarccosxarctanxarctanx ， arc cotxarc cot xarcsin xarccos x arctan x arc cot x2sin arcsin xcos arccosxtan

15、 arctan xcot arc cot xx当 x,时， arcsin sin xx当 x0,时， arccos cosxx22当 x,时， arctan tan xx当 x0,时， arc cot cot xx22反三角函数的图像和性质名称定义定义域值域图像y =arcsinxy2反正弦-1,1- ,-1函数(y =sinx , x -, 22122O的反函数 )2yy =arccosx反余弦-1,10, 2函数(y =cosx, x 0, 的反函数 )-11Oyy =arctanx反正切2(-,+)(- ,)函数(y =tanx, x (- ,)2222O的反函数 )2【经典例题】xxx

16、【例 17】（1）函数 yx2 2x x 0的反函数为。（2）【 1992 全国理】函数yexe2x的反函数为。A 奇函数，且在0,单调递减B 偶函数，且在0,单调递C 奇函数，且在0,单调递增D 偶函数，且在0,单调递增（3）【 2004 全国理15】已知函数 yf x 是奇函数。当 x 0时， f x3x1，设 fx的反函数是 y g x ，则 g 8。【例 18】（ 1）【 2008 上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：sin x1，x, 3，32则 x 等于。A arcsin1B arcsin 1C arcsin1D 2arcsin 13333（2）【 2008 上海南模中学高一

17、下期末试题05】若 x3, 2，则 arcsin cosx 的取值3范围是。板块五解三角【知识要求】（1）解三角工具1.1 解三角问题：a 、 b 、 c 、 A 、 B 、 C 、 l 、 S ，已知部分量，求解其它量的问题1.2 解三角工具 A BC， abcl正弦定理：abc2R ， R 为外接圆半径sin Asin Bsin C变形：1） a : b : csin A : sin B : sin C2）ab2ca bc2Rsin Asin B2 sin Csin Asin Bsin C适用情况： 1）两角一边；2）两边一对角222a2c2b2222余弦定理： cos Abca， cos

18、 B， cosCa bc2ac2bc2ab变形： a2b2c 22bc cos A ， b2a 2c 22ac cos B ， c 2a 2b22ab cosC适用情况： 1）三边； 2）两边一夹角三角形内的诱导公式sin ABsin C ， cos ABcosC ， tan ABtan Csin ABcos C ， cos A2Bsin C ， tan ABcot C ， cot ABtan C2222222三角形内的不等关系：1）大边对大角，大角对大边；2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3） 0A， 0AB；4）锐角三角形任一角的余弦值大于0 ；钝角三角形最大角的余弦值小于

19、0；Acos A0a2b2c 2 ；2Acos A0a 2b 2c 2 ；2Acos A0a 2b 2c2 ；25） ABCab.csin Asin Bsin Ccos A cos BcosC ；6）在ABC 中，给定A 、 B 的正弦或余弦值，则C 有解的充要条件为cos Acos B 0 。（2）解三角思想2.1a 、 b 、 c 、 A 、 B 、 C 、 l 、 S ，8个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；2.2 边角，角边【经典例题】【例 19】（ 1）【 2010 山东文 15理 15】在ABC 中，角 A 、 B 、 C 对应的边分别为a 、 b 、c ，若 a2 ， b2，

20、 sin B cosB2 ，则角 A 的大小为。（2）【 2009 湖南文14】在锐角ABC 中， BC1， B2A ，则 AC的值等于， AC 的取值范围为cos A。（ 3）在ABC 中，下列结论：若a 2b2c 2，则此三角形为钝角三角形；若sin C2cos A sin B ，则此三角形为等腰三角形；若A B ，则 sin A sin B ；cos Acos B 0 ，其中正确的个数为。A 1个B 2个C3个D4个【例 20】（ 1）【 2008 浙江文 14理 13】在ABC 中，角 A 、 B 、 C 对应的边分别为a 、 b 、c ，若3bc cos Aa cosC ，则 cos

21、 A。（ 2）【 2010江苏13】在锐角ABC 中，角 A 、 B 、 C 对应的边分别为a 、 b 、 c ，若batan Ctan C。ab6 cosC ，则的值是tan Atan B【例 21】【 2010 陕西理17】如图， A ， B 是海面上位于东西方向相距 533 海里的两个观测点，现位于A 点北偏东450 ，B 点北偏西60 0 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西 60 0 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里 /小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？板块六方程【经典例题】【例 22】【2009 闸北高一下

22、期末考试】已知函数sin 2 xcos2x 1f (x)。2cos x（1）求方程f (x)0 的所有解；（2）若方程f (x)a 在 x0, 范围内有两个不同的解，求实数a 的取值范围。3【例 23】（ 1）【 2010 浙江文 09】已知 x0 是函数 fx2x1的一个零点。 若 x11, x0，1xx2 x0 ,，则。A f x10 ， f x20B f x10 ， f x20C f x10 ， f x20D f x10 ， f x20（2）【 2010 上海文 17】若 x0是方程 lg x x2 的解，则 x0属于区间。A 0,1B 1,1.25C 1.25,1.75D 1.75,2

23、板块七数列通论【知识要求】1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。2）通项公式：3）前 n 项和：。4）递推公式：【注】 通项公式、前 n 项和以及递推公式（包括第1项或前几项）都是给出数列的方式。1.2 表示1）列举； 2）解析（通项、前n 项和、递推三种形式） ； 3）图像（孤立的点（离散的点）；1.3 分类1）有穷数列、无穷数列；2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；3）有界数列、无界数列。1.4 等差数列1） 定义：从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即anan 1d nN * , n2 。【注】证明等差数列的两种方法： an an 1 d n N * ,

24、n2 ； an 1anan an 1 n N * , n 2 。2） 通项公式： an a1n 1 d ， nN * （累加）n a1anna1n n1N*3） 前 n 项和： Sn22d ， n（倒序相加）4） a1 、 an 、 n 、 d 、 Sn 中知三求二。1.5 等比数列1）定义：从第anq2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即an1q0, nN * , n2【注】证明等比数列的两种方法： anqq 0, n N * , n 2 ； an 1ann N * , n 2 。an1anan12）通项公式： ana1 qn 1， nN * （累乘）na1, q1a1a

25、n q （错位相减）3nSna1 1n，当时，也可写成项和：qq1Sn）前, q 11q1q4） a1 、 an 、 n 、 q 、 Sn 中知三求二。1.6 用函数观点来分析等差、等比1）等差： andna1d （一次型函数） ，Snd n 2a1d n （没有常数项的二次型函数）22）等比： ana1 q n （指数型函数） ，qna1, q 1Sna1a1 qn1, q（分段函数，分别为一次型和指数型函数）1 q1 q1.7 等差数列性质1） anamn m danam【拓展】 dmn2）等差中项：2anan 1an 1【拓展】当 ijp q 时，有 aia j a paq ；【注】等差

26、数列an，若 aia j a paq ，则 ij p q 不一定成立。 S2 n 12n1 ananS2 n 1【注】'bnS2 n 13）衍生等差数列： anC 为等差数列，公差d ；anbn为等差数列，公差d1d 2 ； akm p（其中m 为间距，a p 为起始项，kN）为等差数列，即等距项为等差数列，公差md； Sm ，S2 mSm，S3 mS2m ， S4mS3m ，为等差数列，公差m 2d ；Sn为等差数列，公差d；n2其它：1） 项数为奇数2n1的等差数列an，有： S奇S偶a ， S奇n；nS偶n1项数为偶数2n的等差数列an，有： S奇S偶nd ，S奇an；S偶an1

27、2） 等差数列an中，若 ann ， amm mn ，则 amnmn ；等差数列an中，若 anm， amn mn ，则 amn0 ；等差数列a中，若 Sm ， Smn mn ，则 Smn ；nnm n等差数列an中，若 amanmn ，则 amanmn ， am nm n ；等差数列an中，若 SmSnmn ，则 SmSnmnd ， Smn0 。1.8 等比数列性质1） an amq nm【拓展】 q n manam2）等比中项： an2an 1an 1【拓展】当 ijp q 时，有 ai a ja p aq ；【注】等比数列an，若 ai a ja p aq ，则 ijpq 不一定成立。2n 12 n 1aiani13）衍生等比数列：对任意非零实数，an 为等比数列，公比为q ；an bn为等比数列，公比为q1q2；an为等比数列，公比为q1；bnq2 Sm ， S2 mSm， S3 mS2m ， S4mS3m ，依然成等比数列，公比为q m 。【注】若 an1nN*，则 S2， S4S2，S6S4， n