导数与函数的单调性练习题

1、221导数与函数的单调性基础巩固题：ax_在区间（-2, + R）上为增函数，那么实数 a的取值范围为（21.函数 f(x)=x1A.0<a<2、 1B.a<-1 或 a>21 _2a 1解析：/ f(x)=a+在(-2,+ )递增， 1-2a<0,即 a>_.cX +22答案：CC.a>-2D. a>-22.已知函数f(x)= x2 + 2x+ alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数 a的取值范围是()C. a0 或 aw 4 D. a>0 或 a< 4a答案：C 解析：/ f' (x) = 2x+ 2+ -,

2、f(x)在(0,1)上单调， f' (x) >0 或 f (x)< 0 在(0,1) x上恒成立，即2x2 + 2x+ a> 0或2x2 + 2x + a< 0在(0,1)上恒成立， 所以a> (2x2 + 2x)或aw (2x2 + 2x)在(0,1)上恒成立.记 g(x)= (2x2+ 2x),0<x<1，可知4<g(x)<0, a > 0 或 a w 4，故选C.93.函数f(x) = x + -的单调区间为.2 c9 9答案：(3,0) ,(0,3) 解析：f' (x) = 1 X2= 尹，令 f' (

3、x)<0,解得3<x<0 或 0<x<3, 故单调减区间为(一3,0)和(0,3).4 函数y =x2 -x3的单调增区间为 ，单调减区间为 、222答案：(0,) ；(-=0),(,：)解析： y=-3x2 2x = 0,x=0,或=-3335. 确定下列函数的单调区间:(1)y=x3 9x2+24x y=3x x3(1)解：y ' =3 9x2+24x) ' 5=3- 18x+24=3(x 2)(x 4)令 3(x 2)(x 4) > 0，解得 x> 4 或 xv 2. y=x3 9x2+24x 的单调增区间是(4, +m和 ( m

4、 2)令 3(x 2)(x 4)v 0,解得 2 vxv 4. y=x3 9x+24x的单调减区间是(2, 4)解：y =x x3) '3- 3x2= 3(x2 1)= 3(x+1)(x 1)令3(x+1)(x 1) > 0,解得1v xv 1. y=3x x3的单调增区间是(1, 1).令3(x+1)(x 1)v 0,解得 x> 1 或 xv 1. y=3x x的单调减区间是(°°, 1)和(1, +m)6. 函数y= In(x2 x 2)的单调递减区间为 .答案(°, 1)解析函数 y= In (x x 2)的定义域为(2, + °

5、;) U (°,1),令 f(x)= x2 x 2, f' (x) = 2x 1<0 ,得 x<2函数y= In (x2 x 2)的单调减区间为(一°, 1)17. 已知y= "x3 + bx2+ (b+ 2)x+ 3在R上不是单调增函数，则b的范围为 .3答案b< 1 或 b>2解析若 y' = x2 + 2bx+ b+ 2> 0 恒成立，则= 4b2 4(b +2)w 0, 1 w bw 2，由题意 bv 1 或 b >2.x8.已知 x R,求证：e >x+1 .证明：设 f (x) =ex x 1,

6、则 f'( x) =ex 1.当 x=0 时，f'( x) =0,f (x) =0.当 x> 0 时，f'( x)> 0,. f (x)在(0,+ 8)上是增函数f ( x)> f (0) =0. 当 xv 0 时，f'( x)v 0,f ( x)在(一8 ,0)上是减函数，. f (x)> f ( 0) =0 .19.已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.X12 X2 - 1解：y =(x+)z =1 1 x =XX(X 1)(x 1)令(x心)> 0.解得x> 1或xv- 1. y=x+ -的单调增区间；是(一8,

7、X1)和(1, +8 ).令2X(x 1)(x-1)v 0,1 、 解得一1 v xv 0或0vxv 1. y=x+ 的单调减区间是X32=x bx cx d的图象过点 P(-1, 0)和(0, 1)10.已知函数 f(X)处的切线方程为6x-y7=0 .区间.解：(I)由f(x)的图象经过P所以 f(x)=x3 bx2 cx 2,由 在 M(-1,f(-1) 处(0, 2),且在点 M ( 1, f (- 1)(I)求函数y=f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调(0, 2),知 d=2,f (x)二 3x2 2bx c.的切线方程是 6x_y7=0,-6 -f (-1) 7 =0

8、,即 f(-1) =1, f (-1) =6.3 2b c =6,即；2b -c - -3,一1 b -c 2 =1 即 'b-c =0, 解得 b = c - -3.故所求的解析式是(n) f (x) =3x2即 x2 -2x -1=0.f (x) = x3 -3x2 -3x 2. 6x -3.令 3X2 6x 一3 =0, 解得 X1 =1-.2,X2 =1.2.当 x - 2,或x 1.2时，f (x)0;当 1 - 2 : x < V 2时，f (x) ：0.故f (x)在(-：,1- .2)内是增函数，在(1 2,1 2)内是减函数，在(1 2,=)内是增函数. 点拨：

9、本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.已知函数 f(x)=x 3-丄x2+bx+c.(1)若 f(x)在(-8, +82(1) f (X) =3x2-x+b,因 f(x)11.)上是增函数，求b的取值范围； 2在(-8, +8)上是增函数，则f (x) >0.即3x -x+b>0,2 b>x -3x 在(-, +8)恒成立.设 g(x)=x-3x 2. 当 X=丄时，g(x) max= , b> . 6 12 12在(2, +8)上是增函数，试确定实数a的取值范围.2 2': f (x) =3x -2(a+1)x+a

10、要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+ 8)上是增函数，只需f (x)=3x-2(a+1)x+a 在(2, +8)上满足已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)3-(a+1)x 2+ax12.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x2f (x) >0 即可./ f (x) =3x -2(a+1)x+a 的对称轴是a的取值应满足:"s' -2f3解得:a < - . z-a的取值范围是a< -.a 133f () 03213已知函数f (x) =4x ax2-x3 (xR)在区间丨-1,1】上是增函数，求实数 a的取值3范围.解：f'(x

11、) = 4 2ax-2x2，因为f x在区间1-1,1上是增函数，所以 f'(x)_O对 x 1-1,1 恒成立，即x2-ax-2乞0对x 1-1,1恒成立，解之得：-1_a_1 所以实数a的取值范围为1-1,1 点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f'(x) _0 ；若函数单调递减，则 f'(x)空0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.14已知函数f (x) = x3+bx2+ax+d的图象过点P (0, 2),且在点M ( 1, f(-1)处 的切线方程6x -y -7=0, (1

12、)求函数y二f (x)的解析式；(2)求函数y二f(x)的单调 区间。解：(1)由 f (x)的图象经过 P (0, 2),知 d =2，所以 f (x) =x3 +bx2 +cx + 2 ,2f (x) =3x 2bx c 由在点M ( 1, f(_1)处的切线方程为 6x-y7=0 ,刨.3 2b+c = 6f(-1)=1,f (一1)=6即丿解得 b = c = 3厂 1 +b_c + 2 = 1故所求的解析式是 f (x) =X3 -3x2 - 3x 2(2) f (x) = 3x2 -6x - 3 令 3x2 - 6x - 3 = 0，解得为 一 1 -2, x2 = 12当 x M

13、 - 2 或 x V , 2 时，f (x) 0当 1 一 2 ： x ：1一 2 时，f (x) :：: 0故f(x) =X3 -3x2 2在(-：,1 - 2)内是增函数，在(12J.2)内是减函数在(V 2:=)内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.2x 一 b15. 已知函数f(x)=2,求导函数f ' (x),并确定f(x)的单调区间.(x 1) 2(x 1)2 (2x b) 2(x 1)解析：f，(x)=2(x1 “ 十=(x 1)2x+ 2b 2 = 2x (b 1)1(x 1)3 =(x 1)3令 f 

14、9; (x)= 0，得 x = b 1 且 xm 1.当 b 1x(a , b 1)b 1(b 1,1)(1 ,+ o )f，(x)一0+一当b 1> 1，即b>2时，f ' (x)的变化情况如下表:x(0,1)(1, b 1)b 1(b 1,+ o)f，(x)一+0一所以，当b v 2时，函数f(x)在(a, b 1)上单调递减，在(b 1,1)上单调递增，在(1, + 00)上单调递减.当b>2时，函数f(x)在(o, 1)上单调递减，在(1, b 1)上单调递增，在(b 1,+o)上单调递减.2当b 1 = 1，即b= 2时，f(x)= ，所以函数f(x)在(g

15、, 1)上单调递减，在(1 ,X 1+ m )上单调递减.强化提高题：16. 设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f' (x) ,g ' (x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f' (x)g(x)+ f(x)g' (x)<0,则当 a<x<b 时，有()A . f(x)g(b)>f(b)g(x)B . f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b)D . f(x)g(x)>f(b)g(a)答案：C 解析：令 y = f(x) (x)，贝U y' = f' (x) (x

16、) + f(x) g' (x)，由于 f' (x)g(x) +f(x)g' (x)<0，所以 y 在 R 上单调递减，又 x<b,故 f(x)g(x)>f(b)g(b).17. 若函数y= x3 ax2 + 4在(0,2)内单调递减，则实数 a的取值范围是 .答案3 ,+ )解析y' = 3x2 2ax,由题意知3x2 2ax<0在区间(0,2)内恒成立，3 即a>x在区间(0,2)上恒成立， a > 3.18. 已知函数f(x)= ax Inx,若f(x)> 1在区间(1 ,+ )内恒成立，实数 a的取值范围为答案a&

17、gt; 1解析由已知a> 1 + lnx在区间(1, + g)内恒成立.x设 g(x)= ZE,则 g ' (x)=哼 v 0 (x> 1), g(x)=吐皿在区间(1, + g)内单调xx1 亠 ln x递减， g(x) v g(1),/g(1) = 1,v 1 在区间(1,+ g)内恒成立， a > 1.x19. 函数y = x2e %的单调递增区间是 .答案：(0,2)解析：y' = (2x x2)ex>0? 0v xv 2，故选填(0,2).3 220 若f (x)二ax bx cx d(a 0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是答案：a 0且

18、b_ 3a c解析f'(x3ax2 2bx c 0 恒 成立，则a >0口 22,anO,且 b <3ac=4b -12ac 04321.若函数y= 4x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是 .3 答案：b>0 解析：y' = 4x2+b，若y'值有正、有负，则 b>0.22定义在 R上的奇函数f(x)在-a,-b (a>b>0)上是减函数且 f(-b)>0,判断F (x) = :f(x):' 在b,a上的单调性并证明你的结论解析：设b< x1<x2< a,则-b > -X1>-X2-a

19、.T f(x)在-a,-b 上是减函数, 0<f(-b) < f(-x 1)<f(-x 2) < f(-a), / f(x)是奇函数, 0<-f(x 1)<-f(x 2),则 f(X2)<f(X 1)<0, : f(X1): 2< : f(X2) 2,即 F(X1)<F(X2). F(x)在b,a上为增函数.23.设函数f(x) = x3 3ax2 + 3bx的图象与直线12x+ y 1 = 0相切于点(1, 11).求a、b的值；讨论函数f(x)的单调性.2解析求导得f' (x) = 3x - 6ax+ 3b.由于f(x)的

20、图象与直线12x+ y- 1= 0相切于点(1, - 11)，所以f(1) = - 11, f' (1)=-12,即-3a+ 3b=- 113-6a+ 3b= 12,解得 a= 1, b=- 3.(2)由 a = 1, b=- 3 得 f' (x) = 3x2- 6ax+ 3b= 3(x2- 2x 3)= 3(x+ 1)(x- 3).令 f' (x)>0，解得 x<- 1 或 x>3 ;又令 f' (x)<0,解得1<x<3.所以当 x (- ,- 1)时，f(x)是增函数；当x (3 ,+s)时，f(x)也是增函数；当x (

21、 - 1,3)时，f(x)是减函数.1124.若函数f(x)x3ax2 (1)x 1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,=)32上为增函数，试求实数a的取值范围.解：f (x) =x2 ax a1=(x1)x(a1),令 f (x)0 得 x =1 或 x =a -1 ,当 x (1,4)时，f (x)乞 0，当 x (6,：)时，f (x) _0 , 4 _a -1 _6 , 5 _a _7 .a25. 设函数f(x)=x+(a>0).(1)求函数在(0, +8)上的单调区间，并证明之；(2)若函数f(x)x在a-2,+8上递增，求a的取值范围.解析：(1) f(x)在(0,+ )

22、上的增区间为Ja,+8,减区间为(0,).证明：/ f' (x)=1-a2，当 x . a，+8】时，x f' (x)>0,当 x( 0, a )时，f' (x)<0.即f(x)在 a+ 8上单调递增，在(0, a )上单调递减(或者用定义证)(2) a-2,+8为 a，+ 8的子区间，所以 a-2> . a= a- ,a-20= ( . a +1)(. a-2)>0= a -2 > 0= a> 4.26. 已知函数y= ax与y= b在(0 ,+8 )上都是减函数，试确定函数y= ax3 + bx2 + 5的单x调区间.解析： 可先

23、由函数y= ax与y= b的单调性确定a、b的取值范围，再根据 a、b的 x取值范围去确定 y= ax3 + bx2 + 5的单调区间.解：函数y = ax与y= 在 (0, + 8 )上都是减函数， a v 0, bv 0.x由 y = ax3 + bx2 + 5 得 y' = 3ax2 + 2bx.令 y' >0,得 3ax2 + 2bx>0, 严< xv 0.3a当 x2b3a，函数为增函数.令 y' v 0,艮卩 3ax2 + 2bxv 0, XV 3，或 x>0.3a.在g, |b,(o,+s)上时，函数为减函数.xe a27设a 0,

24、 f (x)-是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明f (x)在(0, + ：)a e上是增函数。-x1解：(1)依题意，对一切 x R，有 f (_x)二 f (x)，即-a = - - aex.xxa e ae11 1 1即(a)(exx) =0，所以对一切R,(a )(ex x) = 0恒成立a ea e11由于ex -匚不恒为0，所以a0，即a2 =1，又因为a 0，所以a = 1ea(2)证明：由 f (x) = ex e，得 f (x)二 exe二 e(e2x1)当(0J时，有e(e2x -1)0，此时f (x)0，所以f (x)在(0，+：)内是增函数128.求证：方程 x

25、sinx = 0只有一个根x= 0.1证明 设 f(x) = x sinx, x ( m,+ m),1贝y f' (x) = 1 cosx> 0, f(x)在(m,+m )上是单调递增函数.而当 x= 0 时，f(x) = 0,、 1 方程x sinx= 0有唯一的根 x= 0.29 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)(1) 设 g(x)=f : f(x),求 g(x)的解析式；(2) 设0 (x)=g(x)入f(x)，试问：是否存在实数 入，使0(X)在(一m , 1)内为减函数，且在 (1 , 0)内是增函数解：(1)由题意得 f f(x) =f(x

26、2+c)=(x2+c)2+c2 2 2 2f(x +1)=(x +1) +c,V f :f(x) =f(x +1)2.2/2 八2-(x +c) +c=(x +1) +c,.2 2x +c=x +1, c=12222 f(x)=x +1,g(x)=f :f(x) =f(x +1)=(x +1) +14 2(2) 0 (x)=g(x)入 f(x)=x +(2 入)x +(2 入)若满足条件的入存在，则0 ' (x)=4x3+2(2 入)x函数0 (x)在(m , 1)上是减函数， 当 x v 1 时，0(x) v 0i 即4x +2(2 入)x V 0对于X ( m , 1)恒成立2(2

27、 入)>4x2,/ XV 1,二一4x V 4 2(2入)>4,解得入 W 4 又函数$ (x)在(1,0)上是增函数当一1 V XV 0 时，O' (x)> 0即4/+2(2 入)x>0对于x ( 1,0)恒成立 2(2 入)V 4x2,/ 1V xV 0, 4 V 4x2V 0 - 2(2 入)W 4,解得入4故当入=4时，$ (x)在(一a , 1)上是减函数，在(一1,0)上是增函数，即满足条件的入存在.课外延伸题:30. 方程x3 3x+c=0在0, 1上至多有 个实数根答案：1 解析设 f (x) =x3 3x+c,则( x) =3x2 3=3 (x

28、2 1). 当x ( 0, 1)时，(x) <0恒成立. f (x)在(0, 1)上单调递减. f (x)的图象与x轴最多有一个交点.因此方程x3 3x+c=0在0, 1)上至多有一实根.31. 若函数f(x) = x3 3x+ a有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是 答案：2<a<2 解析：f' (x) = 3x2 3 = 3(x+ 1)(x 1).令 f' (x) = 0,得 x = 1 或 x= 1. f(x)在(a, 1)和(1 ,+a)上递增，在(1,1)上递减，f( 1)>0 ', 2<a<2.If(1)<032

29、. (2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0, 1 的函数f(x)同时满足：对于任意的 x 0 , 1 ,总有 f(x) > 0； f(1)=1；若 X10,X20,X1+X2W 1,则有 f(x 1+X2)f(x 1)+f(x 2).(1) 求f(0)的值；(2 )求f(x)的最大值.解析：(1)对于条件，令X1=X2=0得f(0) < 0，又由条件知f(0) > 0,故f(0)=0. 设 0< X1<X2 1,则 X2-X1 (0,1), f(X2)-f(X 1)=f (X2-X1)+X1 -f(x 1)=f(x 2-X1)+f(X 1)-f(X 1)

30、=f(X 2-X1)> 0.即f(X2) >f(X 1),故f(x)在0 , 1上是单调递增，从而 f(x)的最大值是f(1)=1.xn33.已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为m,n)且1W m<n w 2.(1)讨论函数f(x)的单调性;mx对任意X2 m,n,不等式|f(X1)-f(x2)|<1恒成立.2x 2n+2,m x(2)(1)2x(x)=2m.mn).证明:解析:2n2解法一： f(x)=( -1)2+m2 2n-f-32x m x2n 2 x(-1) = 2x m2n2X, 42 232、-(x -m n -mx +m nx)=(x2-m

31、x+mn)(x+ . mn )(x-/ 1 < mW x<nW 2, 222 3 >0,x -mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn >0.m x令 f' (x)=0,得 x=、mn , 当 x m,、. mn 时，f' (x)<0； 当 xmn , n时，f' (x)>0.mn , n)为内增函数 f(x)在m,、. mn 内为减函数，在 解法二：由题设可得x n 2 2nf(x)= (-1) -+1.m x m人丄 xn令t=.m x/ 1 < m<n w 2,且 x m,n令 tz = -2 =o,得 x

32、= mn . m x当 x m, . mn ,t' <0;当 x ( . mn ,n)时，t' >0. t=-在m,、mn 内是减m x函数，在、mn , n内是增函数.函数y=(t-1)2-n +1在i, +m上是增函数，.函 m数f(x)在m, , mn 内是减函数，在.一 mn , n内是增函数.(2)证明：由(1)可知，f(x)在m,n上的最小值为 f(、. mn )=2( . n -1)2,最大值为V mn 2f(m)=(-1).mn -1)2=(-a 卫 +4 .门-1.令m m m mn 2对任意 X1、X2 m,n ,|f(x 1)-f(x2)|w ( -1) -2( mu=42,h(u)=u -4u +4u-1.1 w m<n w 2,1<w 2,m即 1<u w 2./ h3v 5 1(u)=4u -8u+4=4(u-1)(u-2 h(u)在(1,、. 2)上是增函数. h(u) w h(2 )=4-8+42-1=4 . 2-5<1.不等式|f(X1)-f(X2)|<1恒成立.)(u+.512)>0,咼考链接题：34. (2009 东文，8