高考数学一轮复习：命题及其关系、充分条件与必要条件教学案含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识能否忆起一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题二、四种命题及其关系1四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系三、充分条件与必要条件1如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件2如果pq，qp，则p是q的充要条件小题能否全取1(教

2、材习题改编)下列命题是真命题的为()a若，则xyb若x21，则x1c若xy，则 d若x<y，则x2<y2解析：选a由得xy，a正确，易知b、c、d错误2(20xx·湖南高考)命题“若，则tan 1”的逆否命题是()a若，则tan 1 b若，则tan 1c若tan 1，则 d若tan 1，则解析：选c以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”3(20xx·温州适应性测试)设集合a，b，则ab是aba成立的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选c由ab，得

3、aba；反过来，由aba，且(ab)b，得ab.因此，ab是aba成立的充要条件4“在abc中，若c90°，则a、b都是锐角”的否命题为：_.解析：原命题的条件：在abc中，c90°，结论：a、b都是锐角否命题是否定条件和结论即“在abc中，若c90°，则a、b不都是锐角”答案：“在abc中，若c90°，则a、b不都是锐角”5下列命题中所有真命题的序号是_“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；“a>b”是“ac>bc”的充要条件解析：由2>3/ 22>(3)2知

4、，该命题为假；由a2>b2|a|2>|b|2|a|>|b|知，该命题为真；a>bac>bc，又ac>bca>b，“a>b”是“ac>bc”的充要条件为真命题答案：1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后者是“qp” 2从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性

5、，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”四种命题的关系及真假判断典题导入例1下列命题中正确的是()“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m>0，则x2xm0有实根”的逆否命题；“若x3是有理数，则x是无理数”的逆否命题abc d自主解答中否命题为“若x2y20，则xy0”，正确；中，14m，当m>0时，>0，原命题正确，故其逆否命题正确；中逆命题不正确；中原命题正确故逆否命题正确答案b由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要

6、注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手以题试法1以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a>0，则函数f(x)logax(a>0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若am，则bm”与命题“若bm，则am”等价解析：对于，若log2a>0log21，则a>1

7、，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若am，则bm”与命题“若bm，则am”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：充分必要条件的判定典题导入例2(1)(20xx·福州质检)“x<2”是“x22x<0”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件(2)(20xx·北京高考)设a，br，“a0”是“复数

8、abi是纯虚数”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件自主解答(1)取x0，则x22x0，故由x<2不能推出x22x<0；由x22x<0得0<x<2，故由x22x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x22x<0”的必要而不充分条件(2)当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件答案(1)b(2)b由题悟法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“

9、谁是结论”，如“a是b的什么条件”中，a是条件，b是结论，而“a的什么条件是b”中，a是结论，b是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分以题试法2下列各题中，p是q的什么条件？(1)在abc中，p：ab，q：sin asin b；(2)p：|x|x，q：x2x0.解：(1)若ab，则sin asin b，即pq.又若sin asin b，则2rsin a2rsin b，即ab.故ab，即qp.所以p是q的充要条件(2)p：x|x|xx|x0a，q：x|x2x0x|x0，或x1b，ab，p是q的充分不必要条件充分必要条件的应用典题导入例3已知p：4<xa<4，q：(x2)(x3)

10、<0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为_自主解答设q，p表示的范围为集合a，b，则a(2,3)，b(a4，a4)由于q是p的充分而不必要条件，则有ab，即或解得1a6.答案1,6由题悟法利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则pq且q/ p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p/ q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.以题试法3(20xx·兰州调研)“x3，a”是不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是()a(3，)b.c. d.解析：选d由2x

11、25x30得x或x3.x3，a是不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a3，a或a>3.1(20xx·福建高考)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()axbx1cx5 dx0解析：选dab2(x1)20，得x0.2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()a“若一个数是负数，则它的平方不是正数”b“若一个数的平方是正数，则它是负数”c“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”d“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选b原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数3(20xx·武汉适应性训练)设

12、a，br，则“a>0，b>0”是“>”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选d由a>0，b>0不能得知>，如取ab1时，；由>不能得知a>0，b>0，如取a4，b0时，满足>，但b0.综上所述，“a>0，b>0”是“>”的既不充分也不必要条件4已知p：“a”，q：“直线xy0与圆x2(ya)21相切”，则p是q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a由直线xy0与圆x2(ya)21相切得，圆心(0，a)到直线xy0的距离等于圆的半

13、径，即有1，a±.因此，p是q的充分不必要条件5(20xx·广州模拟)命题：“若x2<1，则1<x<1”的逆否命题是()a若x21，则x1或x1b若1<x<1，则x2<1c若x>1或x<1，则x2>1d若x1或x1，则x21解析：选dx2<1的否定为：x21；1<x<1的否定为x1或x1，故原命题的逆否命题为：若x1或x1，则x21.6(20xx·天津高考)设集合axr|x20，bxr|x0，cxr|x(x2)0，则“xab”是“xc”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件

14、 d既不充分也不必要条件解析：选cabxr|x0，或x2，cxr|x0，或x2，abc，xab是xc的充分必要条件7下列命题中为真命题的是()a命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题b命题“x>1，则x2>1”的否命题c命题“若x1，则x2x20”的否命题d命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：选a对于a，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|y，必有x>y；对于b，否命题是：若x1，则x21，是假命题如x5，x225>1；对于c，其否命题是：若x1，则x2x20，由于x2时，x2x20，所以是假

15、命题；对于d，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题8对于函数yf(x)，xr，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选b若yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)，|f(x)|f(x)|f(x)|，y|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y|f(x)|的图象关于y轴对称，如yf(x)x2，而它不是奇函数9命题“若x>0，则x2>0”的否命题是_命题(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x0，则x20”，它是假命题

16、答案：假10已知集合ax|ylg(4x)，集合bx|x<a，若p：“xa”是q：“xb”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：ax|x<4，由题意得ab结合数轴易得a>4.答案：(4，)11(20xx·绍兴模拟)“3<a<1”是“方程1表示椭圆”的_条件解析：方程表示椭圆时，应有解得3<a<1且a1，故“3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件答案：必要不充分12若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为_解析：由x2>1，得x<1或x>1，又“x2>1”是“x&l

17、t;a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.答案：113下列命题：若ac2>bc2，则a>b；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：对于，ac2>bc2，c2>0，a>b正确；对于，sin 30°sin 150°/ 30°150°，所以错误；对于，l1l2a1b2a2b1，即2a4aa0且a1c2/ a2c1，所以正确；显然正确答案：

18、14已知集合a，bx|log4(xa)<1，若xa是xb的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_解析：由x2x6<1，即x2x6>0，解得x<2或x>3，故ax|x<2，或x>3；由log4(xa)<1，即0<xa<4，解得a<x<4a，故bx|a<x<4a，由题意，可知ba，所以4a2或a3，解得a6或a3.答案：(，36，)1在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，则“a<b”是“cos 2a>cos 2b”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析

19、：选c由大边对大角可知，a<ba<b.由正弦定理可知，故a<bsin a<sin b.而cos 2a12sin2a，cos 2b12sin2b，又sin a>0，sin b>0，所以sin a<sin bcos 2a>cos 2b.所以a<bcos 2a>cos 2b，即“a<b”是“cos 2a>cos 2b”的充要条件2设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()axy2 bxy>2cx2y2>2 dxy>1解析：选b命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x&g

20、t;1或y>1”若xy>2，必有x>1或y>1，否则xy2；而当x2，y1时，211<2，所以x>1或y>1不能推出xy>2.对于xy2，当x1，且y1时，满足xy2，不能推出x>1或y>1.对于x2y2>2，当x<1，y<1时，满足x2y2>2，故不能推出x>1或y>1.对于xy>1，当x<1，y<1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故选b.3已知不等式|xm|<1成立的充分不必要条件是<x<，则m的取值范围是_解析：由题意知：“<

21、;x<”是“不等式|xm|<1”成立的充分不必要条件所以是x|xm|<1的真子集而x|xm|<1x|1m<x<1m，所以有解得m.所以m的取值范围是.答案：4在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2axb0的解集是非空数集，则a24b0”，给出下列命题：若a24b0，则不等式x2axb0的解集是非空数集；若a24b<0，则不等式x2axb0的解集是空集；若不等式x2axb0的解集是空集，则a24b<0；若不等式x2axb0的解集是非空数集，则a24b<0；若a24b<0，则不等式x2axb0的解集是非空数集；若不等式

22、x2axb0的解集是空集，则a24b0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是_(按要求的顺序填写)解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是.答案：5设条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解：条件p为：x1，条件q为：axa1.綈p对应的集合a，綈q对应的集合bx|x>a1，或x<a綈p是綈q的必要不充分条件，ba，a1>1且a或a11且a<.0a.故a的取值范围是.6已知集合mx|x<3，或x>5，px|(xa)·(x8)0(1)求mpx|5<x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为mpx|5<x8的一个充分但不必要条件解：(1)由mpx|5<x8，得3a5，因此mpx|5<x8的充要条件是3a5；(2)求实数a的一个值，使它成为mpx|5<x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有mpx|5<x8；反之，mpx|5<x8未必有a0，故a0是mpx|5<x8的一个充分不必要条件1(20xx·济南模拟)在命题p的四种形式