微分方程(一)

1、b b、微分方程建模的基本手段、微分方程建模的基本手段 微元法微元法 等等a a、微分方程建模的对象、微分方程建模的对象 c、微分方程建模的基本规则 2、对问题中的特征进行数学刻画 设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况。ttntnttn)()()(文字方程改写为符号方程在t时段种群数量的净增加量=在t+t时刻的种群数量-在t时刻的种群数量。0)0()()(nntndttdnmalthus模型tentn0)(1、假设该生物种群的增长率为种群数量的函数f(n); nm 为自然资源和环境条件下所能容纳的最大生物种群数量。2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或其他的生物

2、种群的生存不影响该生物种群的生存。3、假设时刻t生物种群数量为n(t) ，由于n(t)的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为n0 问题分析 一般说来，在建立数学模型的过程中会经常遇到一些未知函数的情况，对未知函数的处理通常是用线性函数或二次函数来做近似。设bnanf)(0)(mnf由假设1有 容易得到 )1 ()(mnnnf )0()1(0nnnnndtdnm容易解得tmmennntn)1(1)(0logistic模型nt关系图:nmnn0ot年年 份份1790180018101820183018401850人口人口(106)3.95.37.29.612

3、.917.123.2年年 份份1860187018801890190019101920人口人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年年 份份193019401950196019701980 1990人口人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5 251.4其中ni是ti时刻美国的实际人口数。得到参数 后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：niiintnne120)(),(tmmennntn)1(1)(0和m、nn0和m、nn0若考虑近期的数据比较重要，则可更改评估标准为：nmiiimiiintnwntnne12120)()()

4、,(三、三、 建模过程中假设的建模过程中假设的 提出提出 与与 修正修正 “ 商品商品价格变化的两大特点价格变化的两大特点 ” ： 平衡价格应是平衡价格应是 商品供需平衡商品供需平衡 的价位；的价位； 趋于过程应具有惯性特征：呈现趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡阻尼震荡 过程特征过程特征 建立在建立在 市场经济市场经济 下下 价格变动模型价格变动模型 具体问题具体问题：试图建立一个：试图建立一个 数学模型数学模型，描绘在健全的市场，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 的价格将会的价格将会 自动趋于平衡自动趋于平衡

5、 。 建模目的建模目的：建立一个价格随时间演变：建立一个价格随时间演变, 以以 阻尼振荡阻尼振荡 方式方式 逐渐趋于理性的逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格商品供需平衡价格 的模型。的模型。 (3) 商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的与市场的 过剩需求过剩需求 d ( t ) s ( t ) 有关有关. 假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 : (2) 商品供应商品供应 s ( t ) 随价格随价格 p ( t ) 的增大而上升的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为假定它们之间的关系也近似为 线性关系线性关系 ; 建模假设建模假设： (1) 商品需求商品需求

6、d ( t ) 随价格随价格 p ( t ) 的增大而下降的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为假定它们之间的关系近似为 线性关系线性关系 : )()(10tpddtd)()(10tpssts)()()( tstdatp 模型建立：模型建立： .,)0()()()( )()()()(01010pptstdatptpsststpddtd.,)0()()()()( 01100pptpsdasdatptsdaepsdsdsdsdtp)(01100110011)()(01100*psdsdp*)(lim*)()()(01100110011ptppepsdsdsdsdtpttsda 模型分析：模型分

7、析： 当当 时时 , 01100*psdsdp*)(lim*)()()(01100110011ptppepsdsdsdsdtpttsda当当时时 , 结论未能达到建模目的！结论未能达到建模目的！说明商品价格是说明商品价格是 单调单调 地趋向平衡价格地趋向平衡价格. 建模假设的建模假设的 修改修改 ： (3)* 商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的与市场的 过剩需求过剩需求 d ( t ) s ( t ) 对时间对时间 t 的的 累积量有关累积量有关 ( 即考虑过剩即考虑过剩 需求的时间滞后效应需求的时间滞后效应 ) . (2) 商品供应商品供应 s ( t ) 随价格

8、随价格 p ( t ) 的增大而上升的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为假定它们之间的关系也近似为 线性关系线性关系 ; (1) 商品需求商品需求 d ( t ) 随价格随价格 p ( t ) 的增大而下降的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为假定它们之间的关系近似为 线性关系线性关系 : )()(10tpddtd)()(10tpsstsdsdatpt)()()( 0 假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 : 模型再建立：模型再建立： .,)0()()()( )()()()(001010dppsdatptpsststpddtdttdttpsdsdatp01100)()()()(

9、)()()()(0011sdatpsdatp *112111)(cos()(sin()(ptsdactsdactp 商品价格随时间演变而处在商品价格随时间演变而处在 等幅震荡等幅震荡 之中。之中。 结论还未能达到建模目的！结论还未能达到建模目的！*)sin(pta 建模假设的建模假设的 再次修改再次修改 ： 假设假设 (1) 、(2) 不变不变 ；)()()()(1010tpsststpddtd (3)* 商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p( t ) 不仅与市场过剩需求不仅与市场过剩需求 d ( t ) s ( t ) 对时间对时间 t 的累积量有关的累积量有关 , 还与当时的价格与平衡价格还与当时的价格与平衡价格 p* 的的 偏差程度偏差程度 有关有关 ( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) , 假定它们之间也成假定它们之间也成 正比正比 ， 且比例系数且比例系数 仍假定它们之间仍假定它们之间 成成 正比正比 ; )(211sdak*)()()()(0ptpkdttstdatpt( 强调政府宏观调控只是微调强调政府宏观调控只是微调 ) 。 模型又一模型又一 次建立：次建立： .,*)()0()()()( )()()()(001010ptpkdppsdatptpsststpddtdt 商品价格随时