北师大版高三数学理复习学案：学案45 空间向量及其运算含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5学案45空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直自主梳理1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_推论如图所示，点p在l上的充要条件是：ta其中a叫直线l的方向向量，tr，在l上取a，则可化为_或(1t)t.(4)共面向量定理如果两个向

2、量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb，推论的表达式为xy或对空间任意一点o有，_或xyz，其中xyz_.2空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则_叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_，若a，b，则称a与b_，记作ab.两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即_(2)空间向量数量积的运算律

3、结合律：(a)·b_；交换律：a·b_；分配律：a·(bc)_.4空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则a·b_.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(b0)_，_，_，ab_ (a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|_，cosa，b_ .若a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则|_.自我检测1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，则()ax1，y1 bx，ycx

4、，y dx，y2(20xx·青岛月考)如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()aabc b.abcc.abc dabc3(20xx·广州调研)在平行六面体abcdabcd中，已知badaabaad60°，ab3，ad4，aa5，则|_.4有下列4个命题：若pxayb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则pxayb；若xy，则p、m、a、b共面；若p、m、a、b共面，则xy.其中真命题的个数是()a1 b2 c3 d45a(1,0,1)，b(4,4,6)，c(2,2,3)，d(10,14,

5、17)这四个点_(填共面或不共面)探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形oabc中，m为bc的中点，n为ac的中点，p为oa的中点，q为ob的中点，若aboc，求证：pmqn.变式迁移1如图，在正四面体abcd中，e、f分别为棱ad、bc的中点，则异面直线af和ce所成角的余弦值为_探究点二利用向量法判断平行或垂直例2(20xx·合肥调研)两个边长为1的正方形abcd与正方形abef相交于ab，ebc90°，点m、n分别在bd、ae上，且andm.(1)求证：mn平面ebc；(2)求mn长度的最小值变式迁移2如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，

6、ab，af1，m是线段ef的中点求证：(1)am平面bde；(2)am面bdf.探究点三利用向量法解探索性问题例3(20xx·泉州月考)如图，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，ac的中点，ac16，papc10.(1)设g是oc的中点，证明fg平面boe；(2)在aob内是否存在一点m，使fm平面boe？若存在，求出点m到oa，ob的距离；若不存在，说明理由变式迁移3已知在直三棱柱abca1b1c1中，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d为a1c1的中点，e为b1c的中点(1)求直线be与a1c所成的角的

7、余弦值；(2)在线段aa1上是否存在点f，使cf平面b1df？若存在，求出af；若不存在，请说明理由1向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列命题：若a、b、c、d是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行

8、；对空间任意一点o与不共线的三点a、b、c，若xyz(其中x、y、zr)则p、a、b、c四点共面其中假命题的个数是()a1 b2 c3 d42.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，m、n分别是棱dd1、d1c1的中点，则直线om()a既垂直于ac，又垂直于mnb垂直于ac，但不垂直于mnc垂直于mn，但不垂直于acd与ac、mn都不垂直3(20xx·绍兴月考)如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90°，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是()a45° b60&

9、#176;c90° d120°4设点c(2a1，a1,2)在点p(2,0,0)、a(1，3,2)、b(8，1,4)确定的平面上，则a等于()a16 b4 c2 d85在直角坐标系中，a(2,3)，b(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则ab的长度为()a. b2 c3 d4二、填空题(每小题4分，共12分)6.(20xx·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形abcd，f为bc的中点，e为ad的中点，若()，则_.7(20xx·铜川模拟)在正方体abcda1b1c1d1中，给出以下向量表达式：()；()；()2；().其中能够化简为

10、向量的是_(填所有正确的序号)8(20xx·丽水模拟)如图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_三、解答题(共38分)9(12分)如图所示，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11.(1)求证：e、b、f、d1四点共面；(2)若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em平面bcc1b1.10(12分)(20xx·福建)如图，四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面

11、abcd，且mdnb1，e为bc的中点(1)求异面直线ne与am所成角的余弦值；(2)在线段an上是否存在点s，使得es平面amn？若存在，求线段as的长；若不存在，请说明理由11(14分)(20xx·汕头月考)如图所示，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分别是ab、cd的中点(1)求证：mnab，mncd；(2)求mn的长；(3)求异面直线an与cm所成角的余弦值学案45空间向量及其运算自主梳理1(1)大小方向(2)相同相等(3)存在实数，使得abt(4)xy12.xaybzc3.(1)aoba，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，ba·ba&#

12、183;b|a|b|cosa，b(2)(a·b)b·aa·ba·c4.(1)a1b1a2b2a3b3(2)aba1b1a2b2a3b3 (r)a·b0a1b1a2b2a3b30(3)自我检测1cab，x，y.2aac(ab)abc.3.解析，|22222·2·2·3242522×3×4×cos 60°2×4×5×cos 60°2×3×5×cos 60°97，|.4b正确中若a、b共线，p与a不共线

13、，则pxayb就不成立正确中若m、a、b共线，点p不在此直线上，则xy不正确5共面解析(3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，设xy，即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，从而a、b、c、d四点共面课堂活动区例1解题导引欲证ab，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法证明如图所示.设a，b，c.()(bc)，()(ac)，a(bc)(bca)，b(ac)(acb)·c(ab)c(ab)c2(ab)2(|2|2)|，·0.即，故pmqn.变式迁移1解析设，为空间一组基底，则，

14、().···2··22222.又|，|·|2.cos，.异面直线af与ce所成角的余弦值为.例2解题导引如图所示，建立坐标系后，要证mn平行于平面ebc，只要证的横坐标为0即可(1)证明如图所示，以、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，d(1,1,0)，e(0,0,1)，b(0,0,0)，设，则(1,1,0)(0，1,0)(1,0,1)(0，1，)0<<1，10，0，且的横坐标为0.平行于平面ybz，即mn平面ebc.(2)解由(1)知| ，当时，mn取得长度的最小值为.变式迁移2证明(1)建立如图所示的

15、空间直角坐标系，设acbdn，连接ne.则点n、e的坐标分别为、(0,0,1).又点a、m的坐标分别为(，0)、，.且ne与am不共线neam.又ne平面bde，am平面bde，am平面bde.(2)由(1)得，d(，0,0)，f(，1)，b(0，0)，(0，1)，(，0,1)·0，·0.，即amdf，ambf.又dfbff，am平面bdf.例3解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标第(1)题证明与平面boe的法向量n垂直，即·n0即可第(2)题设出点m的坐标，利用n即可解出，然后检验解的合理性(1)证明如图，连接op，以点o为坐标原点，分别以ob，oc

16、，op所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz.则o(0,0,0)，a(0，8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，4,3)，f(4,0,3)由题意，得g(0,4,0)因为(8,0,0)，(0，4,3)，所以平面boe的法向量n(0,3,4)由(4,4，3)，得n·0.又直线fg不在平面boe内，所以fg平面boe.(2)解设点m的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)因为fm平面boe，所以n，因此x04，y0，即点m的坐标是.在平面直角坐标系xoy中，aob的内部区域可表示为不等式组经检验，点m的坐标满足上述不等式组所以，在

17、aob内存在一点m，使pm平面boe.由点m的坐标，得点m到oa，ob的距离分别为4，.变式迁移3解(1)以点b为原点，以ba、bc、bb1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,0,0)，b1(0,0,3a)，abc为等腰直角三角形，abbcaca，a(a,0,0)，c(0，a,0)，c1(0，a,3a)，e，a1(a,0,3a)，(a，a，3a)，cos，.直线be与a1c所成的角的余弦值为.(2)假设存在点f，使cf平面b1df，并设(0,0,3a)(0,0,3a) (0<<1)，d为a1c1的中点，d，(0,0,3a)，(0,0，3a)(a,0

18、,0)(0,0,3a)(a,0,3a(1)，(a，a,0)(0,0,3a)(a，a,3a)cf平面b1df，即，解得或存在点f使cf面b1df，且当时，|a，当时，|2a.课后练习区1c均不正确2a以d为坐标原点，以da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建系，设棱长为2，则m(0,0,1)，n(0,1,2)，o(1,1,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，(2,2,0)，(0,1,1)，(1，1,1)，·0，·0，omac，ommn.3b如图建立坐标系，设abbcaa12，则e(0,1,0)，f(0,0,1)，c1(2,0,2)，(0，1,1)，(2,0,2)，cos，

19、.，0°，180°ef与bc1所成的角是60°.4a由12得：(2a1，a1,2)1(1，3,2)2(6，1，4)，解得a16.5b过a、b分别作aa1x轴，bb1x轴，垂足分别为a1和b1，则aa13，a1b15，bb12，22222·3252222×3×2×cos 60°44.|2.6.解析，又，2，()，.7解析()；()；()22；()().8(1,1,1)解析设dpy>0，则a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，y)，e，(0,0，y)，.cos，.解得y2，e(1,1,1)9证明(1)建

20、立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)(2分)所以.故、共面又它们有公共点b，e、b、f、d1四点共面(6分)(2)设m(0,0，z)，则.而(0,3,2)，由题设，得·×3z·20，得z1.(8分)m(0,0,1)，e(3,0,1)，(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，·0，·0，从而mebb1，mebc.又bb1bcb，me平面bcc1b1.(12分)10.解(1)如图所示，以点d为坐标原点，建立空间直角坐标系dxyz.依题意，得d(0,0,0)，a(1,0,0)，m(0,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，n(1,1,1)，e