【浙江】高考数学文二轮：专题6第1讲直线与圆专题训练及答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5专题六解析几何第一讲直线与圆1 直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解(4)求直线方程的主要方法是待定系数法在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有

2、一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1，l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1l2k1k2与l1l2k1k21.(7)在运用公式d求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数2 圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f>0)，圆心为(，)，半径为r；二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程1 (20xx·

3、辽宁)已知点o(0,0)，a(0，b)，b(a，a3)若oab为直角三角形，则必有()aba3bba3c(ba3)0d|ba3|0答案c解析易知aoo(a，a3b)，且b0，a0，若a为直角，·(0，b)·(a，a3b)b(a3b)0，ba30，若b为直角，o·a(a，a3)·(a，a3b)0，a2a3(a3b)0，则ba30，故(ba3)·0，选c.2 (20xx·山东)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为()a2xy30 b2xy30c4xy30 d4xy30答案a解析如图所示：由题意

4、知：abpc，kpc，kab2，直线ab的方程为：y12(x1)，即2xy30.3 (20xx·课标全国)已知点a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线yaxb(a>0)将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()a(0,1) b.c. d.答案b解析由题意画出图形，如图(1)由图可知，直线bc的方程为xy1.由解得m.可求n(0，b)，d.直线yaxb将abc分割为面积相等的两部分，sbdmsabc.又sbocsabc，scmnsodn，即××b(1b)×.整理得.，1 ， 1，即b，可以看出，当a增大时，b也增大当a时，b，即b&

5、lt;.当a0时，直线yaxb接近于yb.当yb时，如图(2)，.1b，b1.b>1.由上分析可知1<b<，故选b.4 (20xx·天津)设m，nr，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()a1，1b(，11，)c22，22d(，2222，)答案d解析圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22.5 (20xx·江苏)在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k

6、的最大值是_答案解析圆c的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.题型一直线方程及应用例1(1)已知点m是直线l：2xy40与x轴的交点，过m点作直线l的垂线，得到的直线方程是()ax2y20 bx2y20cx2y20 dx2y20(2)“a1”是“直线ax(2a1)y10和直线3xay30垂直”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件审题破题(1)先求m点坐标，然后利用点斜式写出直线方程；(2)考虑斜率为0，斜率不存在两种特殊情况答案(1)c(2)a解析

7、(1)显然直线l：2xy40与x轴的交点坐标为m(2,0)又所求直线与直线l：2xy40垂直，所求直线的斜率为，所求直线的方程为y0(x2)，即x2y20.(2)若直线ax(2a1)y10和直线3xay30垂直，则a×3(2a1)×a0，解得a0或a1.故a1是两直线垂直的充分而不必要条件反思归纳判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误变式训练1(1)若过点a(2，m)，b(m,4)的直线与直线2xy20平行

8、，则m的值为_答案8解析因为ab所在的直线平行于直线2xy20，所以kab2，即m8.(2)设a、b为x轴上两点，点p的横坐标为2，且|pa|pb|，若直线pa的方程为xy10，则直线pb的方程为_答案xy50解析因为kpa1，则kpb1.又a点坐标为(1,0)，点p的横坐标为2，则b点坐标为(5,0)，直线pb的方程为xy50.题型二圆的方程及应用例2(1)已知圆c与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆c的方程为()a(x1)2(y1)22 b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)22 d(x1)2(y1)22(2)若圆上一点a(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，

9、且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程是_审题破题(1)利用待定系数法设出圆c的方程，直线和圆相切可考虑代数法、几何法两种思路；(2)将已知条件转化为直线xy10过圆心，弦长可通过几何法表示答案(1)b(2)(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析(1)方法一设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆的方程为(x1)2(y1)22.方法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d2；圆心是直线xy0与这两条平行线交点的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0,0)、与直线xy40的交点坐标是

10、(2，2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，1)，所求的圆的方程是(x1)2(y1)22.方法三作为选择题也可以验证解答，圆心在xy0上，排除选项c、d，再验证选项a、b中圆心到两直线的距离等于半径即可(2)设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点a(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0上，即有a2b0，又(2a)2(3b)2r2，而圆与直线xy10相交的弦长为2，故r222，依据上述方程，解得或所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.反思归纳求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的

11、基本量和方程；(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数其一般步骤是：根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；利用条件列出关于a、b、r或d、e、f的方程组；解出a、b、r或d、e、f，代入标准方程或一般方程此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量变式训练2(1)已知圆c1：x2y22mx4ym250与圆c2：x2y22x2mym230，若圆c1与圆c2相外切，则实数m_.答案5或2解析对于圆c1与圆c2的方程，配方得圆c1：(xm)2(y2)29，圆c2：(x1)2(ym)24，则c1(m，2)，r13，c2(1，m)，r22.如果圆c1与圆c2相外切，

12、那么有|c1c2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆c1与圆c2相外切(2)已知圆c关于y轴对称，经过点a(1,0)，且被x轴分成两段弧长比为12，则圆c的方程为_答案x22解析圆c关于y轴对称，圆c的圆心c在y轴上，可设c(0，b)，设圆c的半径为r，则圆c的方程为x2(yb)2r2.依题意，得，解之得.圆c的方程为x22.题型三直线与圆的综合应用例3如图所示，已知以点a(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切，过点b(2,0)的动直线l与圆a相交于m，n两点，q是mn的中点，直线l与l1相交于点p.(1)求圆a的方程；(2)当2时，求直线l的方程

13、；(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由审题破题第(1)问由圆a与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆a的方程；第(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论解(1)设圆a的半径为r.圆a与直线l1：x2y70相切，r2.圆a的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接aq，则aqmn.2，|aq|1.由1，得k.直线l的方程为3x4y60.所求

14、直线l的方程为x2或3x4y60.(3)aqbp，·0.·()····.当直线l与x轴垂直时，得p.则b，又(1,2)，··5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得p.b.··5.综上所述，·b是定值，且·b5.反思归纳(1)在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用>0、0、<0，而用圆心到直线的距离d<r、dr、d>r，分别确定相交、相切、

15、相离的位置关系(2)弦长l2，其中r为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离变式训练3在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆c上(1)求圆c的方程；(2)若圆c与直线xya0交于a，b两点，且oaob，求a的值解(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设圆c的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆c的半径为3.所以圆c的方程为(x3)2(y1)29.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a2&g

16、t;0.设x1，x2是方程的两根，从而x1x24a，x1x2.由于oaob，可得x1x2y1y20，又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1，满足>0，故a1.典例(14分)已知圆c：(x1)2y28.(1)设点q(x，y)是圆c上一点，求xy的取值范围；(2)在直线xy70上找一点p(m，n)，使得过该点所作圆c的切线段最短规范解答解(1)设xyt，因为q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，2分即2，解得5t3，即xy的取值范围是5,36分(2)因为圆心c到直线xy70的距离d4>2r，9分所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连

17、线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为一定值；所以只有当过圆心向直线xy70作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求12分设过圆心作直线xy70的垂线为xyc0.又因为该线过圆心(1,0)，所以10c0，即c1，而xy70与xy10的交点为(3,4)，该点即为所求14分评分细则(1)xy的范围写成不等式或集合形式不扣分；(2)判断直线xy70和圆c相离即得1分；(3)只求出p点坐标，没有说明过程扣2分阅卷老师提醒(1)在求xy的最值时，设xyt，q点在圆上转化为直线xyt和圆有交点，这是本题的关键(2)本题中体现的转化、化归思想是解题的灵魂：求xy的取值范围转化为求直线与圆

18、的位置关系；直线与圆的位置关系转化为点到直线的距离与圆的半径之间的大小关系；点到直线的距离与圆的半径之间的大小关系转化为解不等式1 (20xx·浙江)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案a解析若直线l1与l2平行，则a(a1)2×10，即a2或a1，所以“a1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件2 (20xx·陕西)已知圆c：x2y24x0，l是过点p(3,0)的直线，则()al与c相交 bl与c相切cl与c相离 d以上三个选项均有可能

19、答案a解析将点p(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024×39123<0，点p(3,0)在圆内过点p的直线l定与圆c相交3 若ab<0，则过点p与q的直线pq的倾斜角的取值范围是()a. b.c. d.答案b解析kpq<0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线pq的倾斜角的取值范围为.4 若pq是圆x2y29的弦，pq的中点是(1,2)，则直线pq的方程是()ax2y30 bx2y50c2xy40 d2xy0答案b解析直线pq的斜率等于，方程为y2(x1)，即x2y50.5 若过点a(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_答案(，

20、3)解析圆方程可化为(xa)2y232a，由已知可得，解得a<3或1<a<.6 与直线xy40和圆a：x2y22x2y0都相切的半径最小的圆c的方程是_答案(x1)2(y1)22解析易知所求圆c的圆心在直线yx上，故设其坐标为c(c，c)，又其直径为圆a的圆心a(1,1)到直线xy40的距离减去圆a的半径，即2r2r，即圆心c到直线xy40的距离等于，故有c3或c1，结合图形当c3时圆c在直线xy40下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x1)2(y1)22.专题限时规范训练一、选择题1 若直线ax2by20(a，b>0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为

21、()a. b. c3 d.答案d解析由已知可得直线ax2by20过圆心(2,1)，ab1.又a>0，b>0，(ab)(当且仅当b2a时取等号)2 已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆c的标准方程为()a(x3)2y24 b(x1)2y24c(x1)2y24 d(x3)2y24答案a解析设圆心c(a,0)，a>0，半径为r，则，解得a3，r24，圆c的方程为(x3)2y24.3 (20xx·安徽)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()a3，1 b1,3c3,1 d(，31，)答案c解析

22、由题意知，圆心为(a,0)，半径r.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即，|a1|2.3a1.4 已知直线3x4y240与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是()a3 b4 c5 d6答案c解析取直线3x4y240与坐标轴的两个交点为a(8,0)，b(0,6)，由题知线段ab为圆的直径，且|ab|10，因此圆的半径为5.5 (20xx·福建)直线xy20与圆x2y24相交于a，b两点，则弦ab的长度等于()a2 b2 c. d1答案b解析利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解圆心到直线xy20的距离d1，半径r2，弦长|ab|222.6 已

23、知点m是直线3x4y20上的动点，点n为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|mn|的最小值是()a. b1 c. d.答案c解析圆心(1，1)到点m的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点n到点m的距离的最小值为d1.7 由直线yx2上的点向圆(x4)2(y2)21引切线，则切线长的最小值为()a. b. c4 d.答案b解析设点m是直线yx2上一点，圆心为c(4，2)，则由点m向圆引的切线长等于，因此当cm取得最小值时，切线长也取得最小值，此时cm等于圆心c(4，2)到直线yx2的距离，即等于4，因此所求的切线长的最小值是.8 在圆x2y22x6y0内，过点e(0,1)的最长弦和最

24、短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为()a5 b10 c15 d20答案b解析圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦ac2，最短弦bd恰以e(0,1)为中点，设点f为其圆心，坐标为(1,3)故ef，bd22，s四边形abcdac·bd10.二、填空题9 已知直线l1与圆x2y22y0相切，且与直线l2：3x4y60平行，则直线l1的方程是_答案3x4y10或3x4y90解析依题意，设所求直线l1的方程是3x4yb0，则由直线l1与圆x2(y1)21相切，可得圆心(0，1)到直线3x4yb0的距离为1，即有1，解得b1或b9.因此，直线l1的方程是3x4y10或3x4y90.10已知圆c经过a(5,1)，b(1,3)两点，圆心在x轴上，则c的方程为_答案(x2)2y210解析设圆心坐标为(a,0)，易知，解得a2，圆心为(2,0)，半径为，圆c的方程为(x2)2y210.11若直线axby1过点a(b，a)，则以坐标原点o为圆心，oa长为半径的圆的面积的最小值是_答案解析直线axby1过点a(b，a)，abab1.ab.又oa，以o为圆心，oa为半径的圆的面积为s·oa2(a2b