高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂探究

1、1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂探究探究一 充分条件、必要条件的判断要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q,然后按下面的一般步骤进行判断.(1)判定“若p,则q”的真假.(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条 件.(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条 件.【典型例题1】 在下列各题中，判断 p是q的什么条件.(1) p: x2=0, q： (x 2)( x3) = 0;(2) p： mx 2, q：方程 x2-x- m= 0 无实根；(3) p： 一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等.思路

2、分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p,则q”和命题“如果 q,则p”的真假.解：(1)因为 x2=0 ( x 2)( x 3)=0,而(x 2)( x3) = 0 '$x2=0,所以p是q的充分不必要条件.(2)因为 2=>方程x2 xm= 0无实根，而方程x2xm= 0无实根 2,所以p是q的充分不必要条件.(3)因为 p=q,而 q 'p,所以p是q的充分不必要条件.探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决.【典型例题 2】 已知p： x2

3、8x20V0, q： x2- 2x+ 1 - m2< 0( m> 0),若q是p的充 分不必要条件，求实数 m的取值范围.思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出 p和q对应的集合间的关系，列出不 等式组，求出m的范围.解：令命题p对应的集合为 A命题q对应的集合为B,由 x2-8x-20<0,得(x10)( x+2)<0,解得2vx< 10,所以 A= x 2< xv 10.又由 x2-2x+ 1 - m2<0,得x (1 +m) x(1 n)i <0,因为m> 0,所以 1 x< 1 + mi所以 B= x|1 -mx xv1

4、+ m m> 0.因为q是p的充分不必要条件，所以B Am>0所以1 + mc 10,且两等号不能同时成立.1 一 mt5 2,解得 0V mic 3.经检验知mH 3时符合题意.所以m的取值范围是(0,3.规律小结用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：首先建立与p, q相对应的集合，即 p： A=x|p(x), q： B= x| q(x).若A=B,则p是q的充分条件，若 a3b,则p是q的充分不必要 条件若BA,则p是q的必要条件，若 BA,则p是q的必要不充分 条件若A= B,则p, q互为充要条件若AB, B：A则p既不是q的充分条件，也不是 q的必要条件CD探究三

5、充要条件的证明与探求要证明一个条件 p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证 明命题“若p,则q”为真且“若 q,则p”为真.在证明的过程中也可以利用集合的思想 来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪 些条件推证到哪些结论.而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件.【典型例题3】 已知abw0,求证：a+b=1的充要条件是 a3+ b3+ ab- a2-b2= 0.思路分析：(1)证明题的步骤

6、一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论.证明：先证必要性：因为 a+ b= 1,即 b= 1 -a,所以 a + b + ab-a -b=a+(1 a) + a(1 一a) 一a 一(1 一a) =a + 1 3a+ 3a a + a a2- a2- 1 +2a- a2= 0.再证充分性：因为 a3+ b3+ ab a2 b2= 0,即(a+b)( a2 ab+b2) - (a2-ab+ b2) =0,所以(a+ b 1)( a2 ab+ b2) = 0.由 abw0,即 aw0,且 bw。，所以 a2ab+b2w0,只有 a+ b= 1.综上可知，当 abw。时，a+b=1的充要条件是

7、a3+b3 + ab-a2-b2=0.【典型例题4】 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解.解：a=0时，方程有一个负实根.aw0时，显然方程没有零根.若方程有两个异号的实根，则a<0；若方程有两个负实根，则1一 >0, a2 c解得 0vaW1.-a<0，A= 4-4a>0,综上知：若方程至少有一个负实根，则aw1；反之，若aw1,则方程至少有一个负实根.因此，关于x的方程ax2 + 2x+1 = 0至少有一个负实根的充要条件是a<1.点评 若令f(x) = ax2+2x+1,由f(0) =10,可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a= 0的特殊情况进行讨论.探究四易错辨析易错点充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价【典型例题 5】 已知 p: A= x| x25x6v 0 , q: B= x| 1 <x<2a,且 p 是 q 的 充分条件，求a的取值范围.错解：由 x2-5x-6<0,得一1vx<6.因为p是q的充分条件，故 2a>6,即a>3.所以a的取值范围为a>3.错因分析：“ p是q的充分条件|"A3B'