量子力学作业习题

1、作业习题第一章 量子力学基础知识一、概念题1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量3、若一个力学量A的算符作用于某一状态函数后，等于某一常数a乘以，即，那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算符的本征值，称为的本征态或本征波函数，式称为的本征方程。4、态叠加原理：若为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是该体系可能存在的状态。其中：，式中为任意常数。5、Pauli原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这

2、两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为，叫做零点能。二、选择题1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( )a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系2、下面哪种判断是错误的？( ) a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子b. 随着照射在金属上的光强的增加，发射电子数增加，但不影响光电子的动能c.

3、 随着照射在金属上的光强的增加，发射电子数增加，光电子的动能也随之增加d. 增加光的频率，光电子的动能也随之增加3、根据Einstein的光子学说，下面哪种判断是错误的？( ) a. 光是一束光子流，第一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光子b. 光子不但有能量，还有质量，但光子的静止质量不为0c. 光子具有一定的动量d. 光的强度取决于单位体积内光子的数目，即，光子密度4、根据de Broglie关系式及波粒二象性，下面哪种描述是正确的？( ) a. 光的波动性和粒子性的关系式也适用于实物微粒b. 实物粒子没有波动性c. 电磁波没有粒子性d. 波粒二象性是不能统一于一个宏观物体中的5、下

4、面哪种判断是错误的？( ) a. 机械波是介质质点的振动b. 电磁波是电场和磁场的振动在空间的传播c. 实物微粒波的强度反映粒子出现的几率的大小d. 实物微粒波的强度反映粒子出现的几率的大小，也反映了粒子在空间振动的强度6、下面对宏观物体和微观粒子的比较哪一个是不正确的？( ) a. 宏观物体同时具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述，而微观粒子没有同时确定的位置和动量，需用量子力学描述b. 宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有几率分布特性，不可能分辨出各个粒子的轨道。c. 宏观物体可处于任意的能量状态，而微观粒子只能处于某些确定的能量状态d. 测不准关

5、系只能应用于微观粒子，对宏观物体无实际意义，但不能用测不准关系作为宏观与微观粒子的判别标准7、用量子力学方法处理一维势箱所得的正确结果是：( )a. , b. , c. , d. , 8、下面哪一个不是由量子力学处理箱中粒子所得的受势能场束缚粒子共同特性？( )a. 能量量子化 b. 存在零点能c. 没有经典运动轨道，只有几率分布 d. 存在节点，但节点的个数与能量无关9、下列条件下是品优函数的必备条件的是：a. 连续 b. 单值 c. 归一 d. 有限或平方可积10、粒子处于定态意味着：a. 粒子处于概率最大的状态 b. 粒子处于势能为0的状态c. 粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无

6、关的状态d. 粒子处于静止状态答案 1. d; 2. c; 3. b; 4. a; 5. d; 6. d; 7. a; 8. d; 9.c; 10.c;三、1、将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长670.8 nm，这是Li原子由电子组态跃迁时产生的，试计算该红光的频率，波数及以为单位的能量。解： 2、一个100W的钠蒸气灯发射波长为590.0 nm的黄光，计算每秒发射的光子数。解：设该钠气灯1秒促发射的总能量为E，每个光子的能量为，1秒钟发射的光子数为n，则：3、计算下述粒子的德布罗意波的波长 (A) 质量为1010kg，运动速度为的尘埃 (B) 动能为0.1 eV的中子 (C) 动能为300 e

7、V的自由电子 (A) (B) (C) 4、子弹(质量0.01 kg，速度100)、尘埃(质量109 kg，速度10)、作布朗运动的花粉(质量1013 kg，速度1)、原子中电子(质量0.91×1030 kg，速度1000)等，速度的不确定度均为10，判断在确定这些位置时，测不准关系是否有实际意义？ 解：按照测不准关系式，诸粒子坐标的不确定度分别为：子弹： 尘埃： 花粉： 电子： 由计算结果可见，前三者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略。换言之，由测不准关系所决定的坐标不确定度远远小实际测量的精度。即使质量最小、运动最慢的花粉，由测不准关系所决定的也是微不足道的。此即意味着，子

8、弹、尘埃和花粉运动中的波性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，测不准关系对所讨论的问题实际上不起作用。而原子中的电子的情况截然不同。由测不准关系所决定的坐标不确定度远远大于原子本身的大小(原子大小数量级一般为几十到几百个pm)，显然是不能忽略的，即电子在运动中的波动效应不能忽略，其运动规律服从量子力学，测不准关系对讨论的问题有实际意义。由此可见，测不准关系为检验和判断经典力学适用的场合和限度提供了客观标准。凡是可以把Planck常数看作0的场合者是量子场合，微粒的运动规律必须用量子力学处理。5、电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度为的10，判断电子的波性对

9、荧光屏上成像有无影响？解： 在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为： 由此可见，坐标的不确定度对于电视机(即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机)荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。6、请指出下列算符中的线性算符。 x, 解： 由线性算符的定义： 可知： x, 为线性算符7、是算符的本征函数，求本征值。解： 因此，本征值为-6a8、下列函数中，哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征值。解：，所以是的本征函数，本征值为1 ，所以是的本征函数，本征值为1 2，所以是的本征函数，本征值为1 ，所以不是的本征函数

10、 ，所以是的本征函数，本征值是19、已知一维势箱中粒子的归一化波函数为，求粒子能量。解：将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：求二阶导数后得：，所以，第二章 原子的结构和性质一、概念及问答题 1、频率规则：当电子由一个定态跃迁到另一个定态时，就会吸收或发射频率为的光子，或中为两个定态之间的能量差 2、玻恩奥本海默近似：由于原子核的质量比电子大几千倍，而电子绕核运动的速度又很大，随着核的运动，电子会迅速建立起相对于核运动的定态，因此假定在研究电子运动状态时，核固定不动，电子的运动可以绕核随时进行调整，而随时保持定态，这个近似称为玻恩奥本海默近似。 3、中心力场近似：将多电子原子中的

11、其它所有电子对某一个电子的排斥作用看成是球对称的，是只与径向有关的力场，这就是中心力场近似。 4、单电子近似：在不忽略电子相互作用的情况下，用单电子波函数来描述多电子原子中单个电子的运动状态，这种近似称为单电子近似。 5、原子轨道能：原子轨道能是指和单电子波函数相应的能量。 6、第一电离能：气态原子失去一个电子成为一价气态正离子所需的最低能量称为原子的第一电离能 7、原子处在基态时核外电子排布原则 (1)Pauli不相容原理：在一个原子中，没有两个电子有完全相同的4个量子数，即一个原子轨道最多只能容纳两个电子，而且这两个电子必须自旋相反。 (2)能量最低原理：在不违背Pauli原理的条件下，电

12、子优先占据能级较低的原子轨道，使整个原子体系能量处于最低，这样的状态是原子的基态。 (3)Hund规则：在能级高低相等的轨道上，电子尽可能分占不同的轨道，且自旋平行；能级高低相等的轨道上全充满和半充满的状态比较稳定。 8、基态：原子中的电子都处于一定的运动状态，每一状态都具有一定的能量。在无外来作用时，原子中各个电子都尽可能处于最低的能级，从而使整个原子的能量最低。原子的这状态称为基态。 9、原子吸收光谱：将一束白光通过某一物质，若该物质中的原子吸收其中某些波长的光而发生跃迁，则白光通过物质后将出现一系列暗线，如此产生的光谱称为原子吸收光谱。或者说原子吸收光谱是由已分散成蒸气状态的基态原子吸收

13、光源所发出的特征辐射后在光源光谱中产生的暗线形成的。 10、原子发射光谱：原子从某一激发态跃迁回基态，发射出具有一定波长的一条光线，而从其他可能的激发态跃迁回基态以及在某些激发态之间的跃迁都可发射出具有不同波长的光线，这些光线形成一个系列谱，称为原子发射光谱。 11、原子吸收光谱分析较原子发射光谱分析有哪些优点，为什么？ 基于原子吸收光谱和原子发射光谱的原理，原子吸收光谱分析同原子发射光谱分析相比具有下列优点： (1)灵敏度高。这是因为，在一般火焰温度下(20003000K)，原子蒸气中激发态原子数目只占基态原子数目的左右。因此，在通常条件下，原子蒸气中参与产生吸收的基态原子数远远大于可能产生

14、发射光谱的激发态原子数。 (2)准确度较好。如上所述，处于热平衡状态时，原子蒸气中激发态原子的数目极小，外界条件的变化所引起的原子数目的波动，对于发射光谱会有较大的影响，而对于吸收光谱影响较小，例如，似蒸气中激发态原子占0.1% ，则基态原子为99.9%，若外界条件的变化引起0.1%原子的波动，则相对发射光谱会有1%的波动，而对吸收光谱，波动影响只近于0.1%。 (3)谱线简单，受试样组成影响小。空心阴极灯光源发射出的特征光，只与待测元素的原子从其基态跃迁到激发态所需要的能量相当，只有试样中的待测元素的原子能吸收，其他元素的原子不吸收此光，因而不干扰待测元素的测定。这使谱线简单，也避免了测定前

15、大量而繁杂的分离工作。 (4)仪器、设备简单，操作方便、快速。二、选择题1、用斯莱脱法计算Be的第一电离能(eV)为:a. 5.03 b. 7.88 c.12.92 d.13.602、关于原子轨道能量的大小，如下叙述正确的是：a.电子按轨道能大小顺序排入原子b.原子轨道能的高低可用(n+0.7l)判断c.同种轨道的能量值是一个恒定值d.不同原子的原子轨道能级顺序不尽相同3、Fe的电子组态为：3d64s2，其能量最低的光谱支项为：a. b. c. d.4、对氢原子和类氢离子的量子数l，下列叙述不正确的是：a. l的取值规定了m的取值范围b. 它的取值与体系的能量大小有关c. 它的最大可能取值由解

16、R方程决定d. 它的取值决定了答案 1.b; 2.d; 3.a; 4.b三、计算题1、氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29 nm，试通过数学处理将的波数归纳成下式表示，并求出常数R及n1，n2的数值。其中：解：将各波长换算成波数： 由于谱线相邻，可令，所以： (1) (2)(1)式除以(2)式得：用尝试法得m = 2。将结果代入(1)式中利得：R 10967 cm-1所以些线系的公式可概括为：，此为Balmer线系2、计算氢原子的基态波函数在和处的比值。解：H原子基态波函数为：该函数在和处的比值为：，而在和处的比值为。3、写出He原子

17、的Schrodinger方程解：4、写出Li2+离子的Schrodinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义；写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答：(a) 1s电子径向分布最大值离核的距离(b) 1s电子几率密度最大处离核的距离(c) 比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低(d) Li原子的第一电离能(按Slater屏蔽常数计算有效核电荷)。解：Li2+离子的Schrodinger方程为：Li2+离子的1s态的波函数为：(a) 因为，所以又因为，所以，所以1s电子径向分布最大值在距核处。(b) 因为随r的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析的表达

18、式可见，在r=0时，值最大，因而也最大。但实际上r不能为0(电子不能落到原子核上)，因此更确切的说法是r趋近于0时1s电子的几率密度最大。(c) Li2+离子只有一个电子，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即其轨道能量相同。(d) 锂原子的基组态为，对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，=0.85。因而： ，所以锂的第一电离能为5.75eV。5、用Slater法计算Be原子的第一到第四电离能。解：用Slater法计算得到的Be原子的第一到第四电离能如下： 6、写出下列原子能量最低的光谱支项的符号： (a) Si (b) Mn (c) Br (d) Nb (e)Ni解：第三

19、章 双原子分子的结构和性质 一、概念及问答题1、写出以原子单位表示的氢分子离子的Schrodinger方程。 解：2、分子轨道：分子中每个电子是在由各个原子核和其余电子组成的平均势场中运动，第i个电子的运动状态用波函数描述，称为分子中的单电子波函数，又称分子轨道。3、成健轨道、非键轨道和反键轨道：两个能级相近的原子轨道组合成分子轨道时，能级低于原子轨道的分子轨道称为成键轨道，高于原子轨道的分子轨道称为反键轨道，等于原子轨道的称为非键轨道。4、分子中的电子是根据哪几个定理在分子轨道上填充的？Pauli不相容原理、能量最低原理和Hund规则5、轨道和键转动键轴而不改变轨道符号和大小的分子轨道称为轨

20、道，在轨道上由于电子的稳定性而形成的共价键称为键6、轨道和键凡是通过键轴有一个为0的节面的轨道都称为轨道，由成键电子构成的共价键叫做键。7、键级：共价键的强弱可以用键级来表示，键级(成键电子数反键电子数)8、写出下列同核双原子分子F2、O2、N2、C2、B2的价电子组态。 9、写出下列异核双原子分子CO、NO的价电子组态 10、写出下列的轨道式、键型、键长、键级等，并比较键长、键级次序，并分析其磁性。如果有三个振动吸收带分别为：109700, 158000, 和186500cm-1，指出它是由产生的？， 键级为2，顺磁性；， 键级为1，反磁性；， 键级为1.5，顺磁性；， 键级为2.5，顺磁性

21、；由于的键级是最大的，所以力常数较大，其吸收带的值较大，应该是186500cm-111、按分子轨道理论说明的键比的键强还是弱？为什么？的键比的键弱，因为的基态价电子组态为，键级为1，而比少1个反键电子，键级为1.5，所以的键较强些。12、试用分子轨道理论讨论SO分子的电子结构，说明基态时有几个不成对电子。研究结果表明，SO分子的价电子结构与O2和S2的价电子结构比较相似，SO的价电子组态可表示为：，不成对电子数为2。13、为什么CF的键能小于CF+的键能？CF的基态电子组态为，其键级为2.5，而CF+比CF少一个反键电子，所以其键级为3，所以CF的键能小于CF+的键能。14、NO分子的第一电离

22、能为9.26eV，比CO分子的第一电离能(14.01eV)小很多，试从分子的电子组态解释其原因。基态CO分子的价层电子组态为，而NO分子的基态价层电子组态为，CO分子的第一电离能是将电子激发所需的最小能量，而NO分子的第一电离能是将电子激发所需的最小能量，由于电子是成键电子，能量比较低，激发能低，而电子是反键电子，能量较高，所以激发能高，即基态CO的第一电离能比NO分子的第一电离能高。二、选择题1、的Schrodinger方程是，式中已采用了下列哪种近似？a. 单电子近似 b. 原子单位 c. 定核近似 d. 中心力场近似2、下列对分子轨道概念叙述正确的是：a. 描述单个电子在空间运动的状态函

23、数b. 分子中单个电子在空间运动的状态函数c. 由同种原子轨道线性组合而成的新轨道d. 分子中电子在空间运动的状态函数3、下列分子可能具有单电子键的是：a. b. c. d. 4、氢分子的基态波函数是：a. 单重态 b. 三重态 c. 二重态 d. 多重态答案1、c. 2、b. 3、c. 4、a. 三、计算题1、的远红外光谱线21.18, 42.38, 63.54, 84.72, 105.91cm-1，试求其转动惯量及核间距。解：由于相邻谱线之间间隔为21.18 cm-1，可得： Å2、的核间距为112.83pm，计算其纯转动光谱前4条谱线所应具有的波数。解：的折合质量为： 因而其转

24、动常数为： 第一条谱线的波数以及相邻两条谱线的波数差都是2B，所以前4条谱线的波数分别为：3、的转动惯量为 (a) 计算分子中C=O键的键长(b) 假定同位素置换不影响C=O键的键长，试计算组成的分子的转动惯量。解：由于的质心和对称中心重合，C原子对分子转动惯量无贡献，所以； 由于假定同位素置换不改变CO键的键长，因而有： 第四章 分子对称性一、概念及问答题1、对称操作与点操作 能不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作叫对称操作，对于分子等有限物体，在进行操作时，分子中至少有一点是不动的，叫做点操作2、旋转轴和旋转操作 旋转操作是将分子绕通过其中心轴旋转一的角度使分子复原的操作，旋转

25、依据的对称元素为旋转轴，n次旋转轴用Cn表示。3、对称中心和反演操作 当分子有对称中心i时，从分子中任一原子至对称中心连一直线，将此线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中心相应的操作。叫做反演操作。4、镜面和反映操作 镜面是平分分子的平面，在分子中除位于镜面上的原子外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。反映操作是使分子的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。5、Cn群 属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴。6、Cnh群 属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴和垂直于此轴的镜面。7、Cnv群 属于这类点群

26、的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴和通过此轴的镜面。8、Dnh群 在Cn群中加入一垂直于Cn轴的C2轴，则在垂直于Cn轴的平面内必有n个C2轴得Dn群，在此基础上有一个垂直于Cn轴的镜面，得Dnh群。9、在C3V点群中增加能得到另外的什么群？得到D3h群。根据组合原理两个夹角为的对称面的交线必为一其转角为2的对称轴，C3V中有三个面，与之间为90度，所以必有三个C2轴垂直于C3轴，构成了D3h群。10、假定原来属于Td群，四个氯原子的标记如图所示，当出现下列情况时，它所属点群如何变化？a. 键长缩短b. 和缩短同样长度c. 间距离缩短答：a. C3V b. C2V c. C2V11、一立方

27、体，在8个项角上放8个相同的球，如图所示，那么：a. 去掉1，2号球分子是什么点群？b. 去掉1，3号球分子是什么点群？答：a. C2V b. C2V12、写出偶极矩的概念、物理意义及计算公式。偶极矩是表示分子中电荷分布情况的物理量。分子由带正电的原子核和带负电的电子组成，对于中性分子, 负电荷数量相待，整个分子是电中性的，但正负电荷的重心可以重合，也可以不重合。正负电荷重心不重合的分子称为极性分子，它有偶极矩。偶极矩是个矢量，这里我们规定其方向是由正电重心指向负电重心，偶极矩是正负电重心间的距离r与电荷量q的乘积。，其单位为库仑米()。分子的偶极矩可近似地由键的偶极矩按矢量加和而得。13、一

28、般直线型分子属于什么样的点群？直线型分子都有轴吗？答：具有对称中心的直线型分子属于分子点群，而没有对称中心的分子属于分子点群。无论直线型分子是否具有对称中心，当将它们绕着连接各原子的直线转动任意角度时，都能复原。因此，所有直线型分子都有轴，该轴与连结各原子的直线重合。二、计算题1、有三种异构体，如下图所示，计算每种异构体的偶极矩。异构体1有对称中心，所以偶极矩为0异构体2属于C2V群，2个CCl键的键角为60度，其偶极矩是每个CCl键键矩的矢量和，为。同理2个CH键的偶极矩为，因此总的偶极矩为：同样方法，异构体3的偶极矩为；2、已知HO键的键矩是，且HOH的键角为105度，求水分子的偶极矩。解

29、：水分子的偶极矩为第五章 晶体的点阵结构和晶体的性质一、概念及问答题1、由于晶体内部原子或分子按周期性规律排列，使晶体具有哪些共同的性质？答：a. 均匀性，一块晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。 b. 各向异性，在晶体中不同的方向上具有不同的物理性质。 c. 自发地形成多面体外形，晶体在生长过程中自发地形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱会聚成项点，从而出现具有多面体外形的特点。2、点阵答：点阵是一组无限的点，连结其中任意两点可得一向量，将各个点按此向量平移能使它复原，凡满足这条件的一组点称为点阵。点阵中的每个点具有完全相同的周围环境。3、晶体的结构基元 点阵结构中每个点阵点所代表的具体内容，包

30、括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元与点阵点是一一对应的。4、晶体结构 在晶体点阵中各点阵点的位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构，所以地晶体结构示意表示为：晶体结构点阵+结构基元5、直线点阵 根据晶体结构的周期性，将沿着晶棱方向周期地重复排列的结构基元，抽象出一组分布在同一直线上等距离的点列，称为直线点阵。6、晶胞 按照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位，叫晶胞。晶胞的形状一定是平行六面体。晶胞是构成晶体结构的基础，其化学成分即晶胞内各个原子的个数比与晶体的化学式一样，一个晶胞中包含一个结构基元，为素晶胞，包今两个或两个以上结构基元为复晶胞，分别与点阵