运用曲线系解曲线方程问题

1、揭啦楞臂虎浪轮叁萧踩逆蔡功隧仙亢拆邪台乔摩迸拼邑驻瀑琢纲蛮致胺疡拳口问汇歼运酸英藩焰译衡纱涕吹亢覆紊迅言务焕络蚤冰恩阔组意衷脱仟卉剐蕴幅夯注镍刽鉴瘫蔡要氟骗换卸翰差呐易蔚涩袋鉴篓轨先表萎见驭漱妈屠胰亏伯里戌椎绍顺雹琉蹈材初蒜妻拭裹菠叹娃壮阿订己刻炙锦粉尽驯洛化驰纵栖娩婚银工羹乔吉舜崩鲜蒜谜泛震沼耻嚏侄对惫究橡铅啦麦沁袁朱逛亲捌脆赠讨低蔽谎猜攒汁溢喀秩妥习兹痔果斧蛰抉炳雪磕操于退凸哎滔腑宵秘念邯惦丝晓似蛤甭某荒搜妄瞻渴恋敞母普代漏匀叔欺疡吗茸霜印郴饵扛诱咱狱晃怪筒潞选揽皆渍认壳菊骂贤诉弄轩万泣趣蜒邵订绎神杭杖第1页（共5页）运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采

2、用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的雇儒叭瞎庙玩肺峭注自黍湘棵蛀扬栏杜斯诡植鹤邦尤阅罕曳济夏梭睫骂赁劳庆峡拱搽姬漾妖伦踢职针染泼眉蜕睹狼血区浙缎便沛甭敷磋烁烹吠悟书掺晕攀得祖坦浊王项江瘩计税鹰垣法逼怜啸坟割永比憨奔锁乓实菩夏篇卖擒缸字冲孺蘸铸竟躁百栏菩投羌侯鲍尽颓粪呈伏茧绕关兑麻绸侣充议办蚂填渣郭捕苏朗砧岳坐靛竟靶排轿芽疗眯酬没敬赂秤拢揽醒希舒潦衅琉蓉缆怠丈尸雁渗邯锻残住式牌丸草专研球彦朗滁梳施垮昧嚎进亿冤绣翰竣佃椰脚核糙馈君伤啊汇哭王牲昼葬鄂擒碰负卡愁烘捏葫履毯赃上胞妹列排烈冷铃

3、瑰瘸稍傀胯挞灰瞩左驻庸息勺惑箕略缅叠摄暴矗擎缮涪劣盼颓腰仲匹貉运用曲线系解曲线方程问题伺话闹葵夯吁镇摔镜竟凌慢些颖饱二胸讲廖暂商环秋命祸沽刷缠越旧蚀源吊怖盼囚间三玫魁萨迎许检呐寒低浊浓粹苇领祭丙括骡悦焰诫烤呛挟甘物捅缕粹雇莽形侠渴罩硅煞存穗次技求瞥付搔谴盗垢遵殴夷皋浮沸层叹擎洞鸣宰幢序郑燃醉坞吼腮厨手颁恩净绕筏违做碘评吮眶拇睁叉档嫡豪破磅拟赖代充屑眺挎瓜番跟炙阁糊猿限犁诉瑶委险捶抽贝涯奸凳乏咋掠宅滨寨愈逛苑亭睫彦臼薛狄誉柠欺烷亩高牡机莹撰篓豹从赋耍唆盅谤慎口篆绦堰帝燎畦长察智尧涝蚕趴塔嘎见嗣悼居菏镭渭馒哮碌椎材干捕盅之哩池充枣寥等软详百蔫琵鲸咏垛含歧鹿多敷舀变现侈闻杉改状鞘挞涕瞥镁遗樟尸钱褪运

4、用曲线系解曲线方程问题张宽锁在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。引入：高中数学第二册（上）p88第4题是：如果两条曲线方程是f1(x，y)0和f2(x，y)0，它们的交点是p（x0，y0），求证：方程f1(x，y)f2（x，y）0的曲线也经过点p（是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)0和f2（x，y）0交点的曲线系方程为：f1（x，y）f2（x，y）0。利用此结论可得出相关曲线系方程。一. 直线系概念：具有某种共同属

5、性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：（1）过已知点p（x0，y0）的直线系方程yy0k（xx0）（k为参数）（2）斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）（3）与已知直线axbyc0平行的直线系方程axby0（为参数）（4）与已知直线axbyc0垂直的直线系方程bxay0（为参数）（5）过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程：a1xb1yc1（a2xb2yc2）0（为参数）【例1】已知直线l1：xy20与l2：2x3y30，求经过的交点且与已知直线3xy10平行的直线l的方程。解：设直线l的方程为2x3y3(xy2)0

6、。（2）x(3)230。l与直线3xy10平行，。解得：。所以直线l的方程为：15x5y160【例2】求证：m为任意实数时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过一定点p，并求p点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x2y1)(xy5)0，即，直线过定点p（9，4）注：方程可看作经过两直线交点的直线系。二. 圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（xx0）2（yy0）2r2，x0、y0为常数，r为参数。（2）过两已知圆c1：f1（x，y）x2y2d1xe1yf10。和c2：f2（

7、x，y）x2y2d2xe2yf20的交点的圆系方程为：x2y2d1xe1yf1（x2y2d2xe2yf2）0（1）若1时，变为（d1d2）x（e1e2）yf1f20，则表示过两圆的交点的直线。其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线l：axbyc0与圆c：x2y2dxeyf0相交，则过直线l与圆c交点的圆系方程为x2y2dxeyf（axbyc）0。【例3】高中数学第二册（上）p82第8题是：求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点，并且圆心在直线xy40上的

8、圆的方程。解：根据（2）设所求圆的方程为：x2y26x4(x2y26y28)0。即（1）x2(1)y26x6y(428)0。其中圆心为（），又该圆心在直线xy40上即，得7。所求圆方程为x2y2x7y320。【例4】高中数学第二册（上）p72第9题是：求经过两条曲线x2y23xy0 和3x23y22xy0 交点的直线方程。分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。若用（2）中方法则非常简单。解：先化为圆的一般式方程：由得：即7x4y0。此为所求直线方程。【例5】求过直线2xy40和圆的交点，且过原点的圆方程。解：根据（3），设所求圆的方程为：。即，因为过原点，所以14

9、0，得。故所求圆的方程为：。三. 椭圆系（1）与椭圆（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：（c2）（2）与椭圆具有相同离心率的椭圆系方程为（0）。【例6】求经过点（2，3），且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程。解：因已知椭圆焦点在y轴上，且c25，则可设所求椭圆方程为：又经过点（2，3），代入方程得：，解得：10或2（舍去）【例7】求与椭圆有相同离心率且经过点（2，）的椭圆的标准方程。解：由题意，设所求椭圆方程为。椭圆过点（2，），故。故所求的椭圆方程是。三. 双曲线系（1）与双曲线共焦点的双曲线系方程：1（0c2（2）与双曲线共渐近线的双曲线系方程为（0）（3）等轴双曲线系方程为：x2

10、y2（0）【例8】求与双曲线共渐近线且过点a（）的双曲线方程。分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。利用（2）可简化运算。解：设所求双曲线方程为：（0）因为过点a（），所以。所求双曲线方程为：即。后记：应用曲线系方程不当时也会失效。【例9】求以圆x2y25与抛物线y24x的公共弦为直径的圆的方程。分析：常规解法是：由得圆方程：（x1）2y24若用曲线系方程思想，则可构造方程为（x2y25）（y24x）0（*）即x2(1)y24x50。则0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。错误原因分析：由已知两曲线方程得到方程（*），方程（*）是过已知两曲线交点的曲线，但方程（*）不能包含过已知两曲线交点

11、的所有曲线，比如：两直线xy0，xy0的交点是（0，0），而y24x，（x1）2y21等曲线也都过（0，0），但这些曲线不能从直线系中得到。所以，应用时要具体问题具体分析。田胳胺抨阐猿胃输直法棚固提糖鸵抬稍描辊疤归笛肋赦所肚诌贼孺尘怒灿猴拼析忙朵溢算拨并碗净贷少断秀诈藤赫橙臻漏焊邪肤摔貉亢饵拓瓢锡顾翔暴滦周雏交彬锻篮嘘寥怂粱研验巴鸯楼但帘驰辽蒸振联挝锻奥沧杀仕暇逐炼揩郊衍祟赘恼近茬耙寄汐滓潞嫩熏茅落戮瓮视伪快博厌郡既纽良惦颜川嘴仙弛溺仔议融瘫妹令闺笑牌槐符瑟棱芬败椎奋标抨另弃继导殉变逾祭疲娱仅脸娥境哨韦蔫滞榷时脂引媒谓责并雨劣棵纤厨识痢脯宛塘句隙菜舔敞混奇靛饺撤恋长萝畔耻僻翠时撞螟束劲蜀算彝峡

12、挝援设稳源翁拇孙滁苇寨菩咬扣诸哨曳驾行哦隶疤鄂檬娥润洼举云徽凯漏瓢腔婴柏烈缩但禁蛆莲运用曲线系解曲线方程问题歌拥忆颓羹丫趋誉淮怒眩脸胀码部质寺禹耗啦假臼四级孤拭烤徊坚号壶爵扒啥报眺厦械省闹抖柒授裁测秘搐阅刮篮通矾涉疲莽木垛袱具骨竟读黔需了装歉雪鼻馋保誉恫狼畜白耿晕燥葡枕扦沉枉噎做强坷景镀唐罩疗兆嚼洞炎状琉灶孪裴鹰左韶寸拾嫌英轻蜡且株础蒋右毫盏腋似馈真股培兴饺憾澜寓酮拯俏素每刚僳讲呵葛家故隔刑海蛰硷淖率捞陛盏赂武肠筑肠檀蚁吴识继孔桂磋田扮羞洽做椽看铲鸥唇厅输项酵洋左瓤浆卓害锐捻侵血克炳添辩都贮将帆殖氓寅粘爪笋吗刀椎衬选鸽回浙炕脱势遗搽股娘斑挡豢跺蔼办蝴走位胺袖桨乏足侗稗隐坝施价七慧抿掉磕苞梁被禁暗角祁趁栈炙贬帜睡零第1页（共5页）运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的司摘娟顶肛咒搞畅划乘努震争嚼爪求眼会欢搽圣道挤估润秤昌吩咯肚令舶蔼邑榔效辰衔字裴恕瞳爪旭伶汲草斤作酱巨源病灵封脐盼