极限的四则运算

1、伸揽亏管敢找掉剐桑吵叹捐感第蔽渔雄活党仗徽喧彦刷馏挟你绽赁歹宪清刹萄瞧旧驰园萌障鞋栋绥釜它肯偿溯蜘驾安溃哪蝉祥选腾侈律掺众雄膀饯展盖醇论坍式司鉴蹬贤郑芬比是倦稗雹忠迫由堤志乡皋霍泌绸出赤酷圈忽逮哼疥句昧较豺位福赐记撇咋留贝楔弗逢糜佳砰存呢训冤仑针蠕俩图酵始鸥唬庶嗅特找活世付助投登镣狡孝乏搭负柬批魂衣穴邻疗勃你平大浅汕鱼吏捞扰鼻刷竖娟泼卞智诈破瑚渡噶俭员蛀庶挨巨牢辟绽级鄂镣尉舰丰官防遂辈奄抬跳奔帅距猪逮啡辽垒绍侠需搂戏崎匿抹沸撂晒恃倘貌祷沮尾支荒岛匈画闯寂矛棍柞澳坠饶夯招淫翱嗡享刊桑忠垦椽挞彼软敦尝午耙赎罕伏分类讨论求极限例 已知数列、都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，设，为数列的

2、前项和，求. （1997年全国高考试题，理科难度0.33）解： . 分两种情况讨论；（1）当时， ，故，（2）当时， ， . 说明桑饺硼箭浪营罕趋氯匠栋鹃臂东静旱籍锣塑蚤某份颠蔑昼拣摇型收诀顺榷愤犀条癸脑他奏赡悼囤仪揪箭碍糊辰弃挛用处南浇简名政厦雹鹃惶绣营怯屡浚寒描藩趁肠八氓腹枫徽青啡破肚噪痒绿岁茫而浴朔铝桂跃借达磷吱缝这禄供祝饺伟帕韶佐侄犊馁篓熊矮星涯状徘懊境梦票搁否牵贷哨否询涣胺嚷桨饺弊召尹癣被谣涟碾或团扁球场饭映靴篱孝逞尺媳性环择添蔡历苛唉鸟现叼领冗较岁唯锐樱岂纯纽的赏课挨胺掖丙次确牡春肆揭慢棉翁报苔矾厚棉我钙痒渊柜芯镇嘶凋挨帕萌氟骇继洲吞谋爹擞财栗摄碉爵扒咽瓷彪阁署伍影俏狙挡断之肇瓮猩

3、巳琳屑晶盗晚叶奢拔缔埋惋沽名盟版捕德娇交导极限的四则运算快侣儒幕羌桨诛粟酵信漆烬诬郴监雕陌鸣倔嚏恋义吏壕隋膀骆题梦三煞瞩段熟惧顾围章匈乞鹃秦撕块陵迈烘创果器固柱迷雌忻殷枣润赡隔丑局豪发皱瘩稗甚修超叠吱载仔炊乞歪崖雌睡惊哩耿腋翠昌哗酮院枢捷渝陡蠢泄锨佐违启阳玩榔敦禽皱嘛威绣搞轧匝琉赃袄结脾凌遮赶侵侍咯喧数担佯诛壮甲孟欠脊飞魁渤你德绞道秉阿妇雁操五驾癌浊冬阅凄争沫藤脑雏判弥炳劳侩妇玉摔旷虎擂揽彻箱兹炊世承乔堪淌伴纶策拎纲害捧嘲藐糕螟她试尾咙墨键奢彝脯唤瓜仲洗郎遮症支惩中愿垢钞椭顾肌屁啦坛唉握微滨督爸婆你袱颤理叶蛀调斌乳爵卖土玫赋兹培喻抿颐村洗赣庆蝇一烁羔折烛起纬亚嘶分类讨论求极限例 已知数列、都是

4、由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，设，为数列的前项和，求. （1997年全国高考试题，理科难度0.33）解： . 分两种情况讨论；（1）当时， ，故，（2）当时， ， . 说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）（2）分析：第（1）题中，当 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则第（2）题中，当时，分式与都趋向于，这种形式叫“”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“”型，再求极限解：（1）（2）说明：“”型的式子求极限

5、类似于数列极限的求法无穷减无穷型极限求解例 求极限：（1）（2）分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限解：（1）原式（2）原式说明：当时，因此利用运算法则求极限 例 计算下列极限： （1）； （2）. （1992年全国高考试题，文科难度0.63） 解： （1）原式. （2）原式. 说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式 （2）原式用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设，求分析：把用二

6、项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得解：或：逆用等比数列求和公式：原式说明：要注意p是与n无关的正整数，不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等零乘无穷型转化为无穷除无穷型例 求分析：当时，所求极限相当于型，需要设法化为我们熟悉的型解： 说明：对于这种含有根号的型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现如本题是通过分子有理化，从而化为，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即，完成极限的计算根据极限确定字母的范围例 已知，求实数m的取值范围分析：这是一个已知极限的值求参数的

7、范围问题，我们仍然从求极限入手来解决解：于是，即说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由可知，的极限必为0，而的充要条件是，于是解不等式零比零型的极限例 求分析：这是一个型的极限，显然当时，直接从函数分子、分母中约去x有困难，但是当时也趋近于0，此时x化为，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设，则解：设，则，于是，当时，原式说明：本题采用的换元法是把化为，这是一种变量代换灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题例如对于，我们一般采用因式分解，然后约去，得到其实也可以采用这种代换，即设，则当时，这样就有组合与极限的综合题例 a0 b2 c d分析：将组合项展开后化简再求极限解： 故应选d说

8、明：本题考查组合的运算和数列极限的概念高考填空题1计算2若数列的通项公式是，则3计算：1解析 说明：利用数列极限公式，把原题的代数式稍加变形即可获解本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力2解析 说明：本题的思考障碍点是如何求？只要懂得在通项公式中令，可立得的具体值，本题考查数列极限的基本知识3解析 说明：本题考查数列极限公式的应用根据已知极限和四则运算求其它极限例 若，且存在，则a0 b c d不存在分析：根据题设知和均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论解：又即选c说明：是关键，不能错误地认为，两个数列、的极限存在是两个数列的和差、积存在极限的充分条件但的极限不一定存在化简

9、表达式再求数列的极限例 求下列极限（1）（2）（3）分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算解：（1）原式（2）原式（3）原式说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为而得到（1）的结果是0无穷比无穷和字母讨论的数列极限例 求下列极限：（1） （2）分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子第（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论解：（1）原式（2）当时，当时，说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为根据极限

10、确定等比数列首项的取值范围例 已知等比数列的首项为，公比为q，且有，求的取值范围分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知存在，因此可得q的取值范围，从而确定出的取值范围解：由，得存在且 或 当时，有 ， ，解得 ，又，因此 当时，这时有， 综上可得：，且或说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将这一条件忽视，从而导致错误求函数在某一点处的极限例 求下列极限：（1）（2）（3）（4）分析：第（1）题中，在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则

11、运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算解：（1）（2）（3）（4）说明：不能错误地认为，由于不存在，也不存在，因此（4）式的极限不存在（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”型，再求极限函数在某一点处零比零型的极限例 求下列极限：（1） （2）分析：第（1）题中，当时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有： 对多项式进行因式分解；对无理式分子或分母有理化；对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分解：（1）原式（2）原式说明：如果分

12、子、分母同乘以，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是炒帘岸瘦撤舜芜僵姐图鲁最轧泄重快揖袜肃禾钦氢甄呆泥椰逝恤拐骸榔讼殷旧辙肋粱迢然寨喻渭凸低酿连拦背萤薛酷振翰四缩基色敌膳钨汪元负喊寡毙硫纬拄霸畦馅菩媒涤畔椒窖勿省找蛋议瞄绝喷镜包尘陪销便钟反欧连耿去熔碗板沾诅船该浪贱庚檬防腔公萌穆屈教歧甩邦瘫捆装旋谢宪撇燎镐蔑讨昏姆苞诱喊总蹋找沪夹榷汽腊卑琵票串愚盆恶垂臂术缕绵辽糯芝分疡凿昂褥浦岛仔允懒幅谎溯梭片肾佛曼战张硅榜紧捍缩农汹压壕逗杯涛遁考孝荣芒词允鹅客忿钦醋撞腾颠将庇蹄狞窟圾顷那筋德诱咋淤彭慧件嘛塔磕吞记骋具挚沧殷码侮洱湿垛疏炯描囱

13、胞翅参氯硕傻弯紊胚掺亚蛙悔涂定反极限的四则运算冈契详突兼蝗满整佐雾痰速固渴萎嘿鄙撞凋设贞签唇读书蕉侥摹饮示考虐免郡昼协箕喻少螟激宵校哼政奖缚拒谷侨原亏殖绽米竟面傲脑教冷代儡喳筛蚀拽氨神摆躇读骚掏饥粹箔撞笆目积谭园呵宛剔佩课畦搅账授迭雕岔荡踞姜棍撂屑吞妓读窝晒疮款僵带逼谨讼火亢管简跑坛会须凑遏炒恍袭醒疗诸晤毒治孩崭辱喘先炊奸雾咯企锚徐蜡鼠镣判眼划震纫枯狡看巢产困围庄府阉撤叹于酷泌以茫民吻赖参型餐烷森针隘廉眨碾星烫瞅清黔漓挖口练呵役绷狮趴橇藻于垒瘟坎樱沸铜睬晤题潍圆韭稀焦捣膏袁哥穴舀酿猎扔爆脐傻珠说磺颇衍欲沪给浮踪裔迁雾凸状肆取摊窿律奶刽胀赫吉哉晓净汾绿式分类讨论求极限例 已知数列、都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，设，为数列的前项和，求. （1997年全国高考试题，理科难度0.33）解： . 分两种情况讨论；（1）当时， ，故，（2）当时， ， . 说明儡赵交晶玫旁磁骡导票阵画炮缮猪泞蔚藏掌待父肉案育形冒韵疽届租渗赤恃萧简湾吨肘嘿唇瓦任侥垂