高中数学选修2-1第二章课后习题解答编辑版

1、新课程标准数学选修 21第二章课后习题解答第二章圆锥曲线与方程2. 1曲线与方程练习(P37)2、 a32251、是.容易求出等腰三角形 ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是x 0.18253、解：设点A, M的坐标分别为(t,0) , (x, y).(1)当t 2时，直线CA斜率kcA所以，kcB1 t 2 kCA Ft 2由直线的点斜式方程，得直线 CB的方程为y 2 "(x 2). 2令x 0,得y 4 t ,即点B的坐标为(0,4 t).t 4 t由于点M是线段AB的中点，由中点坐标公式得 x -,y t22, t 一一 4 t由x二得t 2x,代入y 土， 22一 4

2、 2x 一得y 4,即x y 2 0d 2(2)当t 2时，可得点A,B的坐标分别为(2,0) , (0,2)此时点M的坐标为(1,1),它仍然适合方程由(1) (2)可知，方程是点 M的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A组(P37)1、解：点 A(1, 2)、C(3,10)在方程x2 xy 2y 1 0表示的曲线上；点B(2, 3)不在此曲线上c 12、解：当c 0时，轨迹方程为x 二；当c 0时，轨迹为整个坐标平面.23、以两定点所在直线为x轴，线段AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，得点 M的轨 迹方程为x2 y2 4. 224、解法一：设圆x y 6x 5 0的圆心为C ,则点

3、C的坐标是(3,0).由题意，得CMAB,则有kCMkAB1.所以,1 (x 3,x 0)化简得x23x0 (x 3,x 0)当x 3时,0,点（3,0）适合题意；当x 0时，y 0 ,点（0,0）不合题意.解方程组2 x2 x2 y2 y3x 06x 5 05，得 x 3,y2，. 53所以，点M的轨迹方程是x2y2 3x 0x 3.解法二：注意到 OCM利用勾股定理,是直角三角形，得 x2 y2 （x3)29,即 x2 y2 3x0.其他同解法习题2.1 B组（P37）1、解：由题意，设经过点 P的直线l的方程为1. 一3 4因为直线l经过点P（3,4），所以3 a b因此，ab 4a 3

4、b 0由已知点M的坐标为（a,b）,所以点M的轨迹方程为xy 4x 3y 0.2222则有,CFAEMEMF2、所以，16(3x y)2 4 (3x y)21010化简得，xy 10.因此，动圆圆心的轨迹方程是 xy 10 .2. 2椭圆练习（P42）1、14.提示：根据椭圆的定义,2、(1)162y21; 1y6PFi3、解：由已知，a 5, b 4,所以c(1) AFB 的周长 AF1 AF2由椭圆的定义，得AF1PF220,因为 PR21；(3)36BF1 BF2 .6,所以PF2 14.AF2所以，AFB的周长 4a 20.2a,BF12 y16BF2（2）如果AB不垂直于x轴，AFB

5、的周长不变化.这是因为两式仍然成立,AF1B的周长 20,4、解：设点M的坐标为（x,y）,由已知,直线AM的斜率直线BM的斜率kBMyx 1yx 1(x(x由题意，得所以一x 11)；1)；21,或 y-3621.162a.这是定值.3(y 0)2、(1)化简，得x焦点坐标为（8,0） , （8,0）;（2）焦点坐标为（0,2）,(0, 2).3、(1)2 x362 y321；2-252 x164、(1)2 y642或10021.645、(1)椭圆9x236的离心率是2叵，3椭圆2 x162 y12，一1 11的离心率是，2因为2.231 一 ，,一 x 二所以，椭圆 2162 y121更圆

6、，椭圆9x236更扁;(2)椭圆x2 9y2 36的离心率是2&32椭圆-62 y101的离心率是叵,56、(D习题2.2因为空3(3,刍;51更圆，椭圆x2109y2 36更扁.A 组(P49)(2) (0,2)；(3)(48 70、37, 37)7、8571、解：由点 M(x, y)满足的关系式 “(y 3)2 xx(y 3)210以及椭圆的定义得,点M的轨迹是以F1(0, 3),F2(0,3)为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2 y2521.162、(1)2 x362 y32(2)2 y252 x 1;92(3)-49 402 x 1. 403、(D2,4表示的区域的公共部分

7、;(2)不等式 2 510310y 10表示的区域的公共部分.3图略.4、(1)长轴长2a8,短轴长2b4,离心率e -, 2焦点坐标分别是(2Q,0) , (2石,0),顶点坐标分别为(4,0) , (4,0)(0, 2), (0,2)；(2)长轴长2a2218,短轴长2b 6,离心率e3焦点坐标分别是(0, 6&) , (0,6向，顶点坐标分别为(0, 9), (0,9)(3,0) , (3,0).QA这个方程根的判别式36m2 36（2m2 18）(1)由 0,得 3& m 342.当这组直线在y轴上的截距的取值范围是（3M3扬时,直线与椭圆相交（2）设直线与椭圆相交得到

8、线段 AB ,并设线段AB的中点为M （x,y）.则 xm.23因为点M在直线y 3x m上，与x m联立，消去m,得3x 2y 0.23这说明点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、2 x2 2521Yi.92 x6、解：由已知，椭圆的焦距F1F22.yp1,解得yp1.QOQAQOQPOPr.根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. 一 38、解：设这组平行线的方程为 y -x 2m.,3，、一 一、一 x2把y 3x m代入椭圆方程2427 1，得9x226mx 2m 18 0.5、(1)82 x1;92 x2 y1,2或上

9、811 ；92 x2 y9因为PF1F2的面积等于1,所以, 15所以点P的坐标是（三，1）,共有4个.又因为点A在圆内，所以OAOP（第7题）2y5122代入椭圆的方程，得- 51 ,解得x27、解：如图，连接QA.由已知，得QAQP*Ol143.525221 2.875210、地球到太阳的最大距离为1.5288 108km,最下距离为1.4712 108 km.习题2.2 B组(P50)1、解：设点M的坐标为(x, y),点P的坐标为(X0,y0), 则x %, y 3y0.所以X。 x, y0 2y.2322-因为点P(X0,y°)在圆上，所以X0 y 4. 22将代入，得点M

10、的轨迹方程为x2 4 y2 4,即二上1949所以，点M的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为 P(x,y),半径为R,两已知圆的圆心分别为 O1,O2.分别将两已知圆的方程x2 y2 6x 5 0 , x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y2 4 , (x 3)2 y2 100当eP与eO1： (x 3)2 y2 4外切时，有OF R 2当eP与eO2： (x 3)2 y2 100内切时，有102P 10 R两式的两边分别相加，得 01P 02 P 12即，J(x 3)2 y2 J(x 3)2 y2 12 化简方程.

11、先移项，再两边分别平方，并整理，得2j(x 3)2y2 12 x将两边分别平方，并整理，得 3x2 4y2 108 0 22将常数项移至方程的右边，两边分别除以108,得人工136 27由方程可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12, 6J3.解法二：同解法一，得方程 J(x 3)2 y2 J(x 3)2 y2 12由方程可知，动圆圆心 P(x,y)到点01( 3,0)和点02(3,0)距离的和是常数12,所以点P的轨迹方程是焦点为(3,0)、(3,0),长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程因为 2c 6, 2a 12,所以

12、 c 3, a 6所以 b2 36 9 27.22于是，动圆圆心的轨迹方程为 -L 1.MF36 273、解：设d是点M到直线x 8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 P(x 2)2 y21由此得空、'-8 x|222将上式两边平方，并化简，得 3x2 4y2 48,即上 L 116 12所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为 8, 473的椭圆.4、解:如图，由已知，得 E(0, 3), F(4,0) , G(0,3) , H( 4,0).因为R,S,T是线段OF的四等分点,R,S,T是线段CF的四等分点,所以，R(1,0),S(2,0),T(3,0);9 .33R(4,9),S(4,

13、-),T (4,3).424直线ER的方程是y 3x 3 ;，,，、， 一 3直线GR的方程是y x 3.16 .一32联立这两个方程，解得x 3-,y174517.32 45所以，点L的坐标是(32,生).17 17. .16 9 96 21同样，点M的坐标是(一,一)，点N的坐标是(一,一)5 525 2522由作图可见，可以设椭圆的方程为 得 4 1(m 0,n 0) m n把点L,M的坐标代入方程，并解方程组，得132 .22所以经过点L, M的椭圆方程为 -1.169x2y21962 1212把点N的坐标代入匕工，得,(96)2 1 (且)2 1,169162592522所以，点N在

14、土上1上.16922因此，点L,M,N都在椭圆y- 1±.1692. 3双曲线练习（P55）1、（1）162 x2 1 .3（3）解法一：因为双曲线的焦点在 y轴上所以，可设它的标准方程为,.、 一 254将点（2, 5）代入方程，得25三 a b又 a2 b2 361 ,即 a2b2 4a2 25b2解方程组2. 22 2 _a b 4a 25b022a2 b2 36令m a2,n b2,代入方程组，得mn 4m 25n 0m n 36m 20 m 45解得,或n 16 n 9第二组不合题意，舍去，得 a2 20,b2 1622所求双曲线的标准方程为L*120 16解法二：根据双曲

15、线的定义，有 2a “（ 5 6）2 "（ 5 6）24石.所以，a 2、52又 c 6 ,所以 b 36 20 16由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为20 162、提示：根据椭圆中a2 b2 c2和双曲线中a2 b2 c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2 m)(m 1) 0 ,解得 m练习（P61）1、（1）实轴长2a8.2,虚轴长2b 4;顶点坐标为（4匹,0）,（ 4V2,0）焦点坐标为(6,0),( 6,0)；十、乃 3.2离心率e 4(2)实轴长2a6,虚轴长2b 18;顶点坐标为（3,0）,（ 3,0）;焦点坐标为（3氏0）,（3加

16、,0）；离心率e 屈.(3)实轴长2a4 ,虚轴长2b 4;顶点坐标为（0,2）,（0, 2）；焦点坐标为(0,2 .2),(0,2 72）；离心率e V2.(4)实轴长2a10,虚轴长2b 14;顶点坐标为(0,5),(0, 5);焦点坐标为(0-74),(0,774）；离心率e,7452、(1)2 x16(2)2 y3621.2823、 32/ x4、182 y181 ,渐近线方程为y5、(D习题2.3142(6,2),(-,-)33A 组(P61)(2)251、把方程化为标准方程,221.因为a64 168,由双曲线定义可知,占八、P到两焦点距离的差的绝对值等于16.因此点P到另一焦点的

17、距离是17.2、(1)22x y . 1. 20 162-253、(D焦点坐标为 F1( 5,0), F2(5,0),离心率(2)焦点坐标为F1（0,5),F2(0,5)，离心率53544、(1)221.25 16(2)2116(3)解：因为e c 6,所以c22a2,因此b222 c 22c a 2a a22设双曲线的标准方程为当,a a将(5,3)代入上面的两个方程，得25 a1,或以25 1.a a解得16 (后一个方程无解)所以,2所求的双曲线方程为 16 162匕1.5、解:连接QA,由已知，得QA |QP .所以，|QA QOQP QOOP又因为点A在圆外，所以OA OP .r为实

18、轴长的双曲线.根据双曲线的定义，点 Q的轨迹是以O, A为焦点,26、-8习题2.3B 组(P62)1、2 x162、解:由声速及A, B两处听到爆炸声的时间差，可知 A,B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上.使A,B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，建立直角坐标系 xOy .设爆炸点P的坐标为(x, y),则II PA PB| 3403 1020.即 2a 1020, a 510.3、4、解:又 AB 1400,所以 2c 14002因此，所求双曲线的方程为 2601002 b12700, b22y2299001.a2 229900.设点 A(x1,

19、 y1), B(x2,y2)在双曲线上，且线段 AB的中点为M (x, y).设经过点P的直线l的方程为y 1 k(x 1),即y kx 1 k把y kx1 k代入双曲线的方程x2(222_k )x 2k(1 k)x2,2、(1 k ) 2 0 (2 k 0)所以，x由题意，得Xx22 k(1 k)k(1 k)2 k2当k 2时,根的判别式2 k21,解得k 2.方程成为2x2 4x 30.16 248 0,方程没有实数解.所以，不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点.2. 4抛物线练习(P67)1、(D22y 12x;(2) y x ;(3)2222y 4x, y 4

20、x, x 4y, x 4y.2、(1)焦点坐标F(5,0),准线方程x5;1(2)焦点坐标F(0,-),选线万程y8(3)5、一焦点坐标F( 5,0),准线方程8(4)焦点坐标F(0, 2),准线方程2；3、(1)(6,6、. 2)(6,6.2)提示：由抛物线的标准方程求出准线方程由抛物线的定义，点 M到准线的距离等于9,所以6, y6、,2.练习(P72)21、(D y165 * '(2)(3) y216x;(4)x232y.2、图形见右，x的系数越大，抛物线的开口越大.3、解：过点M (2,0)且斜率为1的直线l的方程与抛物线的方程y24x联立4x解得x1y14 2.32 2 3x

21、2y22 32、3设 A(x1，y1)B(x2,y2),则AB.(x2 x1)2 (y2 y)2(4.'3)2 (4.3)246.4、解：设直线AB的方程为x a (a 0).将x a代入抛物线方程y2 4x ,得y2 4a ,即y 2* .因为 AB 2 y 2 2Ta 4p 473,所以，a 3因此，直线AB的方程为x 3.习题2.4 A组(P73) 1 11、(1)焦点坐标F(0,),选线万程y ;22(2)焦点坐标F(0, 3),准线方程y 3; 16161 1(3)焦点坐标F(二0),准线方程x 1; 883、3(4)焦点坐标F(3,0),准线方程x 3. 222、(1) y

22、2 8x;(2) (4,4 物，或(4, 4扬3、解：由抛物线的方程y2 2Px (p 0),得它的准线方程为x-p.2根据抛物线的定义，由|MF| 2p,可知，点M的准线的距离为2P.设点M的坐标为(x,y),则x 2p,解得x 3p. 22将x 3p代入y2 2Px中，得y73P.2因此，点M的坐标为(迎,V3p), (3p, V3p). 224、(1) y2 24x, y224x;(2) x212y (图略)5、解：因为 xFM 60 ,所以线段FM所在直线的斜率k tan 60s/3.因此，直线FM的方程为y V3(x 1)与抛物线y2 4x联立，得y . 3(x 1)2y 4x将代入

23、囱得，3x2 10x 3 0,解得，x1 1 , x2 332.32.31把x1 1, x2 3分别代入得y13由第5题图知(1, 述)不合题意，所以点M的坐标为(3,2 J3). 33因此，FM | J(3 1)2 (273 0)246、证明：将y x 2代入y2 2x中，得(x 2)2 2x ,化简得x2 6x 4 0,解得 x 3 45贝 ij y 3 .,5 2 1 5 5因为koB1 .5 35所以 koB 服 j,5 1 ，5 1-53 .53 .5 9 5所以OA OB7、这条抛物线的方程是x2 17.5y8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为x22py,因为拱桥

24、离水面2 m,水面宽4 m所以 222 P（ 2） , p 1y*4（第8题）因此，抛物线方程为x2 2y水面下降1 m,则y3 ,代入式，得x22 ( 3), x76.这时水面宽为2.6 m.习题2.2 B组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为（x,y）,抛物线上相应点的坐标为（、，乂）.根据题意，Xi x , y1 2y ,代入y； 2px1，得轨迹方程为y2 - px.2由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为（R,o）的抛物线.82、解：设这个等边三角形 OAB的顶点A,B在抛物线上，且坐标分别为（不，%）, （X2,y2）,则 y； 2 px1 , y2 2 px2.又 OA OB

25、 ,所以 x2 y； x2 y22 2 2 2即 x1 x2 2 px1 2px2 0, (x1 x2) 2p(x1 x2) 0因此，(x1 x2)(x1 x2 2p) 0因为 x10, x20,2 p 0 ,所以 x1x2由此可得lyj y2|,即线段AB关于x轴对称.因为X轴垂直于AB,且AOx30 ,所以* tan30 Xi2因为 x11，所以 y12'73P ,2p因此AB2y 43P.3、解：设点M的坐标为（x, y）由已知，得直线AM的斜率kAM直线BM的斜率kBM(x(x1).由题意，得kAM kBM 2 ,所以，y-x 1第二卓 复习参考题A组（P80）x 1 yx 1

26、1).2(x1),化简，得x2(y 1)(x1)1、解：如图，建立直角坐标系，使点A,B,F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点（记Fi为左焦点）.222RI2、解:a由题意，得a12因此卫星轨道的离心率解此方程组,3、(1)4、(1)D；当 0（2） B.时，方程表7K圆.(2)90时，方程化成r212R r1 r22yr 1.方程表示焦点在y轴上的椭圆.cos(3)当 90时，x2 1,即x 1,方程表示平行于y轴的两条直线.当90180时，因为cos0,所以x2 y2 cos1表示双曲线，其焦点在x轴上.而当180时，方程表示等轴双曲线.5、解：将y kx 1代入方程x2 y2 4得 x2 k

27、2x2 2kx 1 4 0即(1 k2)x2 2kx 5 02_2_4 24k 20(1 k ) 20 16k令 0,解得k逅，或k 22因为 0,方程无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k的取值范围为k 旦或k立 226、提示：设抛物线方程为y2 2px ,则点B的坐标为(2p),点C的坐标为(上，p) 22设点P的坐标为(x, y),则点Q的坐标为(x,0).因为，PQ| |y J5px, |BC 2p,|OQ x.所以，PQ|2 |BC|OQ ,即|PQ是BC和OQ的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A,B,其中点A在x轴上方.直线FA的方程为y (x £)

28、32与 y2 2Px 联立，消去 x,得 y2 2>/3py p2 0解方程，得 y1 (73 2)p, V2 (73 2)p把 y(向 2)p 代入 y (x -),得 Xi (- 2«)p. 322把 y2 (V3 2) p 代入 y - (x -),得 x2 ( 2V3) p. 322所以，满足条件的点 A有两个A(722 -3) p,(、,32)p), A2(f 2GpM 2)p).根据图形的对称性，可得满足条件的点B也有两个B1(7 2后)p, (6 2)p),2B2(7 2.3) p, ( ,3 2)p)2所以，等边三角形的边长是AB| 2(逐 2)p,或者A2B2

29、 2(2 J3)p.8、解：设直线l的方程为y 2x m .把y 2x m代入双曲线的方程2x2 3y2 6 0,得10x2 12mx 3m2 6 0. cc 2 c6m3m 6小xi x2，x#2 510x2) 4x1x2 16由已知，得(1 4)(xi,21032x且把代入，解得 m所以，直线l的方程为39、解：设点A的坐标为(”，乂)，点B的坐标为(x2,y2)，点M的坐标为(x, y).并设经过点M的直线l的方程为y 1 k(x 2),即y kx 12k.2把y kx 1 2k代入双曲线的方程x2上1,得2(2 k2)x2 2k(1 2k)x (1 2k)2 2 0 (2 k2 0).

30、d所以，xx1 x2k(1 2k)2由题意，得k(1 2k) 2 k22 k2当k 4时，方程成为14x2 56x 51 0根的判别式562 56 51 280 0,方程有实数解所以，直线l的方程为y 4x 7.10、解：设点C的坐标为(x, y).由已知，得直线AC的斜率kAC (x 5) x 5直线BC的斜率kBC -y(x 5)x 5由题意，得kACkBCm.所以,22化简得25 25m 1(xx 5 x 55)m(x 5)当m 0时，点C的轨迹是椭圆（m 1）,或者圆（m1）,并除去两点（5,0）,（5,0）;当m 0时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点（5,0）,（5,0）;11、解：

31、设抛物线y2 4x上的点P的坐标为（x, y）,则y2 4x .点P到直线y x 3的距离dx y 3 |y2 4y 12 (y 2)2 824；24,2当y 2时，d的最小值是应.此时x 1,点P的坐标是（1,2）.*18 m(第12题)12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱 顶为原点、拱高所在直线为 y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为 x22 py因为点C（4, 4）在抛物线上所以 422p（ 4）解得2p 4所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为 x24y.设 EF h 0.5.则 F(3,h 5.5)把点F的坐标代入方程x24y,解得h 3.25.答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二卓 复习参考题B组（P81）1、S PF1F224.3.2、解：由题意，得PFi x轴.把x c代入椭圆方程，解得 yb2.所以，点P的坐标是（b2直线OP的斜率ki一直线AB的斜率k2acb2由题意，得 acb,所以，b a由已知及所以(1所以,因此,FiAiWa c,得 a.10、,5.而,5,解得22椭圆的方程为二L i.I0 53、解：设点A的坐标（xi, yi）,点B的