《概率与数理统计》试题与参考答案

1、优秀学习资料欢迎下载一、填空题（本大题共有10 个小题，每小题3 分, 共 30 分）1设 A、B、C 是 3 个随机事件，则“三个事件中至少有两个事件发生”用A、B、C 表示为ABACBC ；P A， P B，若 A与B独立，则 P( AB )=0.82；2设 ( )=0.3( )=0.63设 X 的概率分布为 P( Xk )2k1 ， k 1, 2 ,3, 4 ，则 C37；2kC164设随机变量 B(n, p) ，且 E4 ， D2 ，则 n = 8；5设随机变量 的密度函数为f ( x)C cos x , | x |2 ，则常数 C=1；0,其他26设 X1 , X 2 , X n 是

2、来自 N(,2 ) 的样本，则 E( X )；7设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X N (0，9)， Y N (0，1)，令 Z=X-2Y，则 D (Z)=13；2 ) 的样本，则 X1 nX i 28 X1, X 2, X n 是取自总体 N (,N(, )；n i1n9若总体 X N( ,2)，且 2未知，用样本检验假设H 0 ：0 时，则采用的统计量是tx0；s /n10设总体 X P( ) ，则的最大似然估计为x 。二、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）1.若A与B互为对立事件，则下式成立的是D优秀学习资料欢迎下载A.P（AB）=B.P（ AB）=P（A

3、） P（ B）C. P （AB）=D. P （A）=1-P（B）2. 已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为 0.96 ，则该射手每次射击的命中率为 ( C )A.0.04B.0.2C.0.8D.0.963，则（）3. 设 A，B 为两事件，已知 P（A）= 1，P（A|B）= 2，P(B|A)33P B =5（A ）A. 1B.2C.554. 随机变量 X E (3),则 D(X)( B )3D. 455A.1B.1C.1D. 139x2781PX 5. 设随机变量X N2)，为标准正态分布函数，则(2,3( ) 2<4=( A )A.( 2 )1B. 1( 2 )C.2

4、(2) 1D. (2)323336. 设二维随机变量 (X,Y ）的分布律为则 PX=Y=（ A）A.0.3B.0.5C.0.7D.0.87. 设随机变量 X（N -1,3),Y N(1,2)，且 x 与 y 相互独立，则 X+2Y（ B）A.N(1,10)B.N(1,11)C.N(1,5)D.N(1,7)8.设随机变量X1 ，X2， X100 独立同分布， E( Xi )=0, D( Xi )=1 ，i =1,2 ，优秀学习资料欢迎下载100，则由中心极限定理得 P10010近似于X ii 1( B)A.0B.(l)C.(10)D.(100)9. 设 x1 ，x2， x5 是来自正态总体 N

5、（ , 2 ）的样本，其样本均值和样本方差 分 别 为 x15和 s215， 则5 (x )服 从xi4 i( xi x) 25 i 11s（ A）A.t(4)B.t(5)C.2(4)D.2 (5)10. 设总体 X N（ ,2 ），2 未知，x1 ，x2，xn 为样本， s21n(x i x )2 ，n 1 i 1检验假设H02=2时采用的统计量是0（D ）A.x t (n1)B.ts/nC.2(n 1)s22(n )D.20xt t( n)s/ n2 (n 1)s22 ( n 1)20三、计算题：（本大题共有 7 个小题，共 50 分）1（6 分）设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数

6、量之比为1：4，假设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002 ，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.01.（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？解 设 A=高速客车 ，B=一般客车 C= 客车需要维修 (1) 则，由全概公式，得优秀学习资料欢迎下载P(C)= P( A)P(C / A) P(B) P(C / B)140.0020.01 0.008455(2) 贝叶斯公式，得1P( A)P(C / A)0.00250.0595P(A/ C)0.0084P(C)2（6分）26. 由历

7、史记录知，某地区年总降雨量是一个随机变量，且此随机变量X N(500, 100 2)（单位： mm） . 求（1）明年总降雨量在 400 mm 600 mm之间的概率；（2）明年总降雨量小于何值的概率为 0.1 （(1)=0.8413, (1.28) 0.9 ）解 （1） P(400X600)P(1X5001)(1)( 1)100=2(1)120.841310.6826(2)由 P(Xx)P( X500x500) 0.1得( x 500) 0.1100100100所以，有(x500 )1( x500 ) 1 0.1 0.9100100由已知，得，x5001.28100故， x = 3723（7

8、 分） 设随机变量X 的分布律为.记 Y=X2，求： (1)D(X)， D (Y)；(2)Cov( X,Y).解 因 E(X)00.510.420.10.6E(X 2) 020.5 120.4 220.1 0.8所以， D(X )E(X 2)E2(X)0.80.620.44又因， E( XY)E( XX 2 )E(X 3)030.5130.4 230.1 1.2( )E(X2 )0.8E Y优秀学习资料欢迎下载( 2 )E(X4)040.5 140.4 240.1 2E Y所以， D(Y)E(Y2)E2(Y)2 0.820.44于是， COV (X ,Y)E(XY)E(X )E(Y)1.2 0

9、.6 0.8 0.724（7 分）某互联网站有 10000 个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为 0.2 ，求在任一时刻有 2100 个以上的用户访问该网站的概率 .( 取 (2.5)=0.9938) 。解 设 X 为访问网站的人数则，由题意知， n=10000,p=0.2,q=0.8所以， X b(10000 , 0.2)由大数定理有， X np N ( 0,1)，此时 np2000,npq 40npq所以， P( X2100) 1P( X 2100) 1( 21002000 )40=1(2.5)10.99380.00625. （8 分）设（ X , Y ）的概率密

10、度为：Axy,0x 1 ,0 y xf (x , y)其它0求：（1）A；（ 2）关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度；（3）判断 X 与 Y 是否独立？解 （1）由归一性，得f ( x, y0dydx1，得1xAxydydx00（2） f X (x)f Y (x)（3）易知 ，1，于是A1，所以 A=88f ( x, y)dyx4x 3(0x 1)8xydy0f ( x, y)dx14y(1y2 )(0 y 1)8xydxyf (x , y)f X (x) f Y ( y)优秀学习资料欢迎下载所以，X与 Y不独立6. （8 分）某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，即

11、XP（），若已知 P（X=1）=P（X=2），且该柜台销售情况 Y（千元），满足 Y=1 X2+2。2试求：（1）参数的值；（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；（3）该柜台每小时的平均销售情况E（Y）。2解 （1）由 P（X=1） =P（X=2）得，ee1!2!所以，2，所以 E(X ) D(Y)201 e 2（2） P(X 1) 1 P(X 0) 1e0!（3） E(Y) E(1 X 22)1E(X2) 222=1D(X ) (E(X)2 21(2 22) 6=5227. （8分）生产一种工业用绳，其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，原来生产的绳子指标均值 0=15公斤，采用一种新原材料后，厂方称这种原材料能提高绳子的质量， 为检验厂方的结论是否真实， 从其新产品中随机抽取 45件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为 15.8 公斤，样本标准差 S=0.5公斤 . 取显著性水平 =0.01 ，试问这些样本能否接受厂方的结论.（附表： t 0.01 (45)=2.4121 ，t 0.005(44