高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案新人教A版选修1109122107

1、起3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系(易混点)自 主 预 习·探 新 知1函数的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知p1(x1，f(x1)，p2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线p1p2的斜率思考：x，y的取值一定是正数吗？提示x0，yp.2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率(1)定义式： .(2)实质：

2、瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢3函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .基础自测1思考辨析(1)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可负也可以为零()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)函数f(x)x在x0处的瞬时变化率为0.()答案(1)(2)×(3)×2已知函数f(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()a0.40b0.41c0.43d0.44byf(2x

3、)f(2)2.1240.41.3一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内的平均速度为() 【导学号：97792121】a0.41b3c4d4.1d4.1.合 作 探 究·攻 重 难求函数的平均变化率(1)若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则()a4b4xc42xd42(x)2(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图3­1­1，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为，则三者的大小关系为_图3­1­1(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_解(1)yf(1x

4、)f(1)2(1x)21(2×121)2(x)24x2x4，故选c.(2)由题意知，koa，kab，kbc.根据图象知<<.(3)v×23×13.答案(1)c(2)<<(3)规律方法求函数yf(x)从x0到x的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量xxx0.(2)求函数的增量yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)(3)求平均变化率.提醒：x，y的值可正，可负，但x0，y可为零，若函数f(x)为常值函数，则y0.跟踪训练1(1)函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为_，当x02，x0.1时平均变化率的值为_(2)已知

5、函数f(x)x2x的图象上的一点a(1，2)及临近一点b(1x，2y)，则_.(1)6x03x12.3(2)x3(1)函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6×23×0.112.3.(2)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(1)2(1)(x)23x，x3.求瞬时速度若一物体的运动方程为s(路程单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度；(2)物体在t1 s时的瞬时速度思路探究(1)先求s，再根据求解(2)先求，再求 .解(1)因为s3&#

6、215;522(3×322)48(m)，t2 s，所以物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度为24(m/s)(2)因为s293(1t)32293×(13)23(t)212t(m)，所以3t12(m/s)，则物体在t1 s时的瞬时速度为 (3t12)12(m/s)规律方法1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x

7、0，求出结果即可跟踪训练2质点m按规律s2t23作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)求质点m在t2时的瞬时速度以及在1,3上的平均速度. 【导学号：97792122】解v (2t8)8(cm/s)，8(cm/s)求函数在某点处的导数探究问题求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同(1)函数y在x1处的导数为_(2)如果一个质点由定点a开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33，当t14，t0.01时，求y和比值；求t14时的导数思路探究(1)(2)解析(1)y1， ，所以y|x1.答案(2)yf(t1t)f(t1)3

8、t·t3t1·(t)2(t)3，故当t14，t0.01时，y0.481 201，48.120 1. 3t3t1·t(t)23t48，故函数yt33在t14处的导数是48，即y|t1448.规律方法求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限提醒：当对取极限时，一定要把变形到当x0时，分母是一个非零常数的形式跟踪训练3求函数yx在x1处的导数解y(1x)x，1.当x0时，2，f(1)2，即函数yx在x1处的导数为2.当 堂 达 标·固 双 基1已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()a4b4xc42x d42(x)2c42x.2一质点的运动方程是s42t2，则在时间段1,1t内相应的平均速度为()a2t4 b2t4c4 d2t24tb2t4.3一质点按规律s(t)2t2运动，则在t2时的瞬时速度为_. 【导学号：97792123】8s(2t)s(2)2(2t)22×2