曲线积分习题课及选择题zhou

1、曲线积分习题课曲线积分习题课主要内容主要内容典型例题典型例题一、主要内容一、主要内容1. 两类曲线积分的概念两类曲线积分的概念, 两类曲线积分两类曲线积分 的性质及两类曲线积分的关系的性质及两类曲线积分的关系.2. 两类曲线积分的计算方法两类曲线积分的计算方法.3. 格林公式格林公式, 平面曲线积分与路径无关平面曲线积分与路径无关 的条件的条件. 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdy

2、pdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题 .0:,)( :22222zyx

3、rzyxcdsyzic其中其中计算计算例例 ccdsyzdsi21：解解轮换对称性轮换对称性数数由由积积分分曲曲线线化化简简被被积积函函.322332rrr 二、二、典型例题典型例题 ccdszyxdszyx)(31)31222（ cdsr2310化化为为参参数数方方程程。将将解解c2 .0:2222zyxrzyxc,243)2(222rzzyx 得得消去消去 trzccos62:trtrycos6sin2 trtrxcos6sin2 .20 t再求解。再求解。例例. 计算计算,dsxil 其中其中l为双纽线为双纽线)0()()(222222 ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第

4、一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arl利用利用对称性对称性 , 得得sxild41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arl yox思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi闭合闭合非闭非闭闭合闭合 ddxdyypxqi)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由解解myemyy

5、eyypxx cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxxaao, 0 082 am.82am amoaaoaoaoli amoaaoi).1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1(,2:2 分别为分别为，为闭合回路为闭合回路，其中，其中计算计算练习练习dcbaabcdlyxdyxxydxil. 1 yxl的的方方程程为为解解： ldyxxydxi22.2,22yxpxqxqxyp 则则设设. 0 i由由格格林林公公式式，的路径。

6、的路径。至点至点再沿直线再沿直线到点到点沿曲线沿曲线由点由点其中其中求求例例)0 , 2(0),0 , 0()1 , 1(,)(cos)12(:2byoxyaldyxeydxexyilyy lyyldyxedxeydyxydxicos12)(cos112)0 , 0()1 , 1(0120013yexdydydxdxx .12xpqyx cadbcxdxdyidacb12,所所围围闭闭区区域域为为补补上上折折线线 21012yxdxdy.1sin1)(1sin1)0,0()1 , 1(exey dyyey)cos2(10 12)12(dxex. 11sin e。功功最最大大？并并求求此此最最大

7、大功功所所做做的的一一点点时时，使使的的第第一一卦卦限限部部分分上上的的哪哪沿沿直直线线移移动动到到曲曲面面原原点点，问问将将质质点点从从已已知知力力场场例例fczbyaxokxyjzxiyzf1.222222 ),(wvua一点为一点为设曲面上设曲面上 oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 解：解： oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 10:,: twtzvtyutxoa 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtutdwtvt 1023dttuvwuvw )1(222222 cwbvauuvwf ),(333cba.33abcw )1(222222 cwbvauuvwf 1020202222222222cwbvaucwuvfbvuwfauvwfwvu 222222cwbvau 31 选选 择题择题bccc区域总位于人右侧区域总位于人右侧人沿这个方向行走，人沿