勾股定理知识点及复习题

1、勾股定理的复习、勾股定理的内容1、内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2亠b2 =c23、证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是用拼图的方法验证勾股定理思路：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式推导出勾股定理4 1 ab (b -a)2 =c2，化简可证： a? - b =c22方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4 - ab c 2ab c22大正方形面积为 S =(a

2、 - b)2 =a2 2ab - b2化简可证方法三：S弟形=-(a b) (a b)2S弟形11=2Sade Sabe =2 ab c2，化简得证223 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明ab存在的数量关系，它只 三角形的三边就不具有 了所考察的对象是直角三角形4 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在AABC中, /C =90，贝V c = . a2 b2 , b = ,c2 a2 , a = .c2 -b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决

3、一些实际问题(注：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)， 构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.)5、在数轴上作出表示、n (n为正整数)的点.易错点：(1)已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边 是直角边，不能确定时，要分类讨论.(2)另外不论是否是直角三角形就用勾股定理； 使用勾股定理的前提是直角三角形；(2)在求解问题的过程中，常列方程或方程组来 求解；（二）、例题解析考点一：已知两边求第三边例1 .在 ABC 中，.C =90 .已知 AC =6

4、， BC =8 .求AB的长已知AB =17, AC =15，求BC的长例4:在Rt ABC中, a , b, c分别是三条边, 求边长c.Z B=90°剖析：由于审题不仔细，容易忽视了/B=90°错把c当成了斜边.温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2例2.如图，由Rt ABQ的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm,则正方形M与正方形N的面积之和为 cm2例3.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, a2 =144,b2 =25,则 c2 二例5:已知一个Rt ABC的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是 剖析：此题并没有

5、告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论.温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论.例6：已知a,b,c为/ ABC三边，a=6, b=8, b<c，且c为整数，则c= 剖析：此题并没有告诉你/ ABC为直角三角形，因此不能乱用勾股定理.正解：由b<c，结合三角形三边关系得 8vcv6+8，即8vcv14，又因c为整数，故c边 长为 9、10、11、12、13.温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中 是否为直角三角形.例2.已知两线段的长为6cm和8cm当第三条线段取 时，这三条线段能组成一个直角三角形

6、。（提示：所给的两条变长不一定都为直角边。）例4、已知，如图在 A ABC中，AB=BC=CA=2cmAD是边BC上的高.求 AD的长.例5、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm,另一只朝左挖，每分钟挖6cm 10分钟之后两只小鼹鼠相距 例6、小明想知道学校旗杆的高， 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m,当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 例7、在数轴上作出表示.10的点.练习：1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm, 2cm，则斜边长为2、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm

7、2 .3、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则正方形A, B, C, D的面积的和为。54、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺求竹竿高与门高.图35、如图3,台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂, 旗杆顶部落在离旗杆底部 8m处，已知旗杆原长16m 你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？6、已知，在正三角形 ABC中, AB=BC=CA=4cmAD是边BC上的高.求 AD的长7、在数轴上作出表示17的点.考点三：与高、面积有关例2 .在 ABC

8、 中，.ACB =90 , AB =5 cm , BC=3cm , CD _ AB 于 D , CD =已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 _已知直角三角形的周长为 30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高 的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解： ACAB2 - BC2 =4 , CD =AC BC =2.4ABA设两直角边的长分别为2 2 23k , 4k.(3k)(4k) =15 , k =3, S =54设两直角边分别为 a , b，则a b =17 , a2

9、 b2 =289 ,1可得 ab =60 S ab =30 cm22例2.等腰三角形的底边为10cm,周长为36cm则它的面积是 cm25 等边 ABC勺高为3cm,以AB为边的正方形面积为.例1.正方形的面积是2,它的对角线长为（）6一个三角形的三边的比为 5 ： 12 ： 13，它的周长为60cm则它的面积是练习：例1:如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm,那么这个三角形的周长直角三角形斜边上的高是和面积分别是多少？4. 等腰 ABC勺面积为12cmi,底上的高AD= 3cm则它的周长为/13、如图：带阴影部分的半圆的面积是 （二取3）。.例3 已知：等腰三角形中，一边长是 6

10、cm，另一边是8cm，求一腰上的高. 剖析对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因可能是只对图 3或图6 4中的一种情况计算，而忽视了两种情况都要计算A图3正确解答分两种情况讨论：若以3，在2 2 2 2 2Rt ABD和Rt BCD中，分别由勾股定理，得 BD二AB -AD二BC -CD ,即 AB2 -AD2 二 BC2 -(AC -AD)2，所以 82 - AD2 = 62 -(8 - AD)2即AD234所以BD = Jab2 -AD2 =82竺)Y 14丿3 .=;若以8cm为底，6cm为腰，则4如图 4，在Rt ABD和Rt BCD 中，分别由勾股定理，得BD2 二 AB2A

11、D2 二 BC2CD2 ,即 AB2AD2=BC ? (AC - AD),所以62 -AD2=82 -(6 AD)2，即 AD ，所以 BD 二.AB2 - AD2363285图1D已知：在厶 ABC中, AB = 15 cm, AC =13 cm,剖析视如图2的情况.由于给定的条件中并没有给出图形， 所以求解时只考虑如图1情况，而忽正确解答 分两种情况：如图 1,在Rt ADB和Rt ADC中，分别由勾股定理，得 BD = AB2 - AD2 = .152 -122 = .81 = 9 ； CD= . AC2 - AD2 =.132 -122 = . 25 = 5.所以 BC =BD CD

12、=9 5=14 .故 Sa abcJbcLaDu1 14 12=84(cm2);如图 2,在 Rt ABD 和 Rt ACD中,2 2分别由勾股定理，得 BD 二 AB2 - AD2 = . 152 -122 = 89 ;CD 二.AC2 -AD2 = 132 -122 = .25 =5.所以 BC = BD - CD =9-5 =4 .故 Sa abcHBcLjADh1 4 12=24(cm2)2 2考点二、利用列方程求线段的长5如图，铁路上 A, B两点相距25km, C, D为两村庄，DALAB于A, CBLAB于B,已知DA=15km CB=10km现在要在铁路 AB上建一个土特产品收

13、购站E,使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站多少km处？AE例 3 .如图 ABC 中，.C =90 , . 1 =/2 , CD =1.5 , BD =2.5，求 AC 的长例5.如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高2 cm，两树相距8 cm，一只小鸟从一棵 树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mADC分析：根据题意建立数学模型，如图AB =8 m，CD =2 m , BC =8 m ,过点D作DE _ AB，垂足为 E ,贝V AE =6 m，DE =8 m在Rt ADE中，由勾股定理得 AD = .AE2，DE2 =10 6如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离

14、为300米,又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与 该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离.例7:如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm BC=8cm现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边重合，你能求出CD的长吗？析解：因两直角边 AC=6crp BC=8cim所以由勾股定理求得 AB=10 cm,设CD=x由题 意知则 DE=x AE=AC=6BE=10-6=4, BD=8-x.在 Rt BDE由勾股定理得：42+x2=(8-x)2 , 解得x=3,故CD的长能求出且为3.例4.如图Rt.SBC，三C =90 AC =3,BC

15、 =4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积类型二 构造Rt，求线段的长例2 如图，将一个边长分别为 4、8的长方形纸片ABC折叠，使C点与A点重合, 求EB的长.例3.如图，P为边长为2的正方形ABCD寸角线AC上一动点，E为AD边中点，求ERDP 的最小值。例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 3dm 2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程是 dm三、展示应用2、如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cmA丿B12、. 一种盛饮料的圆

16、柱形杯，测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 cm，问吸管要做多长?5. 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯,则该地毯的长度至少是 米。2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？A4B11、如图一个圆柱，底圆周长 6cm高4cm, 只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm 3、将一根24cm的筷子，置于底面直径为 15cm,高8cm的

17、圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度hem,则h的取值范围是（）A、h< 17cm B 、h>8cm C 、15cm< h< 16cmD 、7cm< h< 16cm二、勾股定理的逆定理（一）知识要点：1、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 bc2，那么这个三角形是直角三角形。判断步骤：（1）比较a、b、c大小，找最长边；（2 ）计算两条短边的平方和，看是否 与最长边的平方相等。注：这一命题是勾股定理的逆定理它可以帮助我们判断三角形的形状 为根据边的关 系解决角的有关问题提供了新的方法 定理的证明采用了构造法利

18、用已知三角形的 边a,b,c(a 2+b2=c2)，先构造一个直角边为 a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边 为c,进而通过“ SSS证明两个三角形全等，证明定理成立 .应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 : c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b， c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及a2 b2 =c2只是一种表现

19、形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a， b， c满足a2 c2 =b2，那么以a， b， c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形2、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 bc2中，a，b，c为正整数时，称a， b， c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13; 8、15、17； 7,24,25 ；9， 40， 41 等知识点三、应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三

20、边长为 a，b，c，判定 ABC是否为Rt. ： a =1,5， b=2 ， c=2.5 a=5， b=1 ， c =43解：a2 b2 =1.52 22 =6.25，c2 =2.52 =6.25.ABC是直角三角形且.C =90 kb2c2=1，a2二25，b2c-a=ABC不是直角三角形916例1.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面 。(填“合格”或“不合格”)例2试判断：三边长分别是ab2 ,a2 b2,2ab(a b)的三角形是不是直角三角形？ 例7.三边长为a , b , c满足a b =10 , ab =18 , c =8

21、的三角形是什么形状? 解：此三角形是直角三角形理由：Ta2 b2 =(a b)2 _2ab =64，且 c2 =64.a2 bc2所以此三角形是直角三角形3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C地将其拦截.已 知甲巡逻艇每小时航行 120海里，乙巡逻艇每小时航行 50海里，航向为北偏西40°, 则甲巡逻艇的航向为北偏东 50度.CA解： AC=12"云=12 海里，BC=5(X 兀=5 海里 / aC+bC=aB ABC是直角三角形vZ CBA=50/Z CAB=40甲的航向为北偏东 50°.题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知 ABC中，AB=13cm , BC =10 cm , BC边上的中线 AD=12cm，求证: AB =AC证明：7 AD 为中线，.BD=DC=5cm在 ABD 中，；AD2 BD2 =169 , AB2 =169 . AD2 BD2 =AB2 ,2 2 2.ADB =90 , AC =ADDC =169 , AC =