内含报酬率计算方法

1、内含报酬率计算方法内含报酬率计算方法计算内含报酬率是长期投资决策分析中重 要方法之一，它优于其他投资分析的主要原因在 一于：计算中考虑到货币的时间价值。 其理论介 绍多见于管理会计、投资决策等教科书， 其计算方法多囿于插值法（内插值法、外插值 法）、几何法（平面几何相似三角形线段比）。近 期，关于内含报酬率的解法问题，又在一些会计 刑物展开纷纷扬扬、连篇累牍的讨论。以下笔者 将多年研究的成果一一内含报酬率新的解法理 论介绍于后。（1）内含报酬率计算公式的数学描述内含报酬率是指项目寿命期内，资金流入量 的现值总额与资金流出量现值总额相等面净现 值等于零时的折现率。现金净流量则是项目投资 所引起的

2、未来的现金流入量减流出量后的净额。为便于公式的推导，将下文中所涉及的因素 用以下符号表示：N-净现值；NCFt第t期的现金净流量；i 利息率，折现率；NCFo初始投资额；I-内含 报酬率；n项目有效期；a、b、c分别为常数。根据现金净流量及净现值定义，净现值的通 项公式可用以下关系式表示：N=NCFi(1+i )-1+ NCF2(1+i)-2+ NCFt (1+i) -t -NCFon=NCFt(1 i) t NCF0t 1(1)下面我们来看i变动对N的影响，也即讨论 值现值与折现率、折现率与内含报酬率的关系：当i=0时：-.ntnNCFtN0= lim N = lim 1 NCFt (1+i

3、) -NCF 0NCF01即当折现率趋于零时，净现值恰是未折现的 现金流入量与流出量之间的差。当i=I时Ni =(3)NCFtt 1(1+i)-t即内含报酬率正是净现值为零时的折现率， 它表明了折现率与内含报酬率的关系。当iIX时：m(1+i)-t-NCFo=-NCF表明净现值趋于原始投入的相反值，现金流 入量趋于零，N的值汽车于N=-NCFo直线。图示一:以上i变动与净现值的关系，以及折现率与 内含报酬率的关系，可用解析图一表示：(0, N净现值与折现N-N由以上数学分析和图示解析可见：i由0宀 %时，N由Nof NCFo, N随i增大而减少，随i 减小而增大，这说明净现值与折现率之间存在着

4、 反比例曲线关系。(0关于内含报酬率的近似值的问题现行的内含报酬率的解多采用插值法（也有 用平面几何相似三角形线段比求得），其实质是 以直代曲，故通常我们求出的“内含报酬率”是 其近似值，即净现值与折现率之间虽是反比例曲 线关系，但我们假设小区间内或瞬间表现为直 线，这样就可以求出I的近似值。以下，我们通 过图示和计算实例来讨论选择不同测试点对内 含报酬率的影响。例某企业拟投资340万元建一产业项目， 投资建设期为0年。项目有效经营期为10年， 期末无残值，每年的现金净流量为 60万元。即 已知：N°=340, Nii0=6O, n=10。则该投资项目 在不同折现率条件下的净现值如下

5、表所示：折现率（i）10%11%12%13%14%年金 值系 数3.1455.8895.6505.4265.216净观 值（I）28.713.34-1-14.44-27.04当测试值选择在P两侧临近点：11%、12%时,则内插法计算（见解折图示二）图示二:B (12%折现率:11%X%?% 1%12%净现值:13.3414.3413.340 x=13.34/14.34=0.930265i=11%+0.930365%=11.930265%这里“以直代曲”计算出的i=11.930265>l,它只是内含报酬率的近似值。当选择测试值在P点一侧（同向）10%、11%时，适用外插法计算（见解析图三）

6、图示三:(0 ,C(i ,%6 寸 898 L LH%6 寸 8980+% 厂 L.II6 寸 898oH9co9L/K:coLHX 寸00“丁><+匸><0卜000 寸 eooL卜OOCXIX&To>o>>>OOLALLJ可见，求得的内含报酬率的近似值 i<l ;同 理选择测试值在P点的另一侧时，i仍小于I。选择测试值P点两侧较远点10%、14% 时，仍用插值法计算（见解析图示四）图示四：'B( 14%折现率:10%X%?%4%14%净现值:28.755.7428.7027.04x/4=28.7/55.74x=2.0595

7、6i=10%+2.05956%=12。05956%计算出的内含报酬率的近似值i>11.930265%>I 。通过以上选择不同测试点计算结果比较得知：“以直代曲”计算出的i值， 只是I的近似值；(2)当测试点选择在P点两侧 时，计算出的内含报酬率的近似值大于 I; (3) 当测试点选择在P点同侧时，计算出的内含报酬 率的近似值i小于I ; (4)测试点越临近P点，其 近似于I的值精确度越高。(3)3内含报酬率新角解析公式法 1 (直线性方程式)理论依据。设净现值与折现率之间存在着 直线性关系，有ai+bN=C成立，那么只要测算 出两点A、(i，Ni)、B (i2, N2),就能得出净

8、现 值与折现率的特定式；再根据 N=0时，求出 即内含报酬率I的近似值，其解析图形见图示五。由A、B两点知：A(i i， ABB(i 2,内含报ai1 bN1 C ai2 bN2 C(5)(6)(5) - (6)得:a(ii-i2)+b(Ni-N2)=0b/a=-(i i-i2)/(Ni-N2)c/a=ii+Nib/a=ii-N1(ii-i2)/(Ni-N2)般式变为：i=c/a-Nb/a(8)(9)将(7)、(8)代入(9)得：i=ii-Ni(ii-i2)/(Ni-N2)+ (ii-i2)N/(Ni-N2)=ii+(Ni-N2)(ii-i2)/(Ni-N2)当N=0时i=ii+Ni(ii-i

9、2)/(Ni-N2)(10)实例计算。为便于与“插值法”计算结果 对比，仍用以上例题，并选相应的测蔗点代入计 算。(1) 取折现率分别为11%、12%的测试值代 入(10)式：i=11%+13.34 X(12%-11%)/13.34-(-1)=11%+13.34/1434=11.930265%(2) 取折现率分别为10%、11%的测试值代入(10)式：i=10%+28.7 X(11%-10%)/(28.7-13.34) =10%28.7/1536=11.86849%(3) 取折现率分别为10%、14%的测试值代入(100式：i=10%+28.7X(14%-10%)/28.7-(-27.04)

10、=10%+0.0205956=12.05956%(4) 内含报酬率新解一解析公式法2(反比例曲线性方程式)理论依据。根据净现值通项公式(1)，假设折现率与净现值的关系可用以下反比例曲线方程式描述：N=a/（1+i）+b同样，我们只要测试两次，就可计算出内含 报酬率的近似值，其解析图见图示六其公式推导如下：已知：A（ii，Ni）、B（i2、N2）两点图示六：B(i 2,(0，(11)(12)Ni a/(1 ii) bN2a/(1 i2) b由(11) - ( 12)得:Ni-N2=a(1+ii)-1-(1+i2)-1a=(Ni-N2)(1+ii)(1+i2)(i2-ii)-1(13)将(13)代

11、入(11)得:b=N1-(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1(14)当 N=0 时 ,l=-(a+b)/b(15)将(13)、(14)代入(15)得：i= (N1 N2)(1 i1)(1 i2)1 N1 (N12)(1 i2)(i2 h) 1N1 (N1 N2)(1 i2)/(i2 h)=i2N1(i1+1)-i1N2(i2+1)/N 1(i1+1)-N2(i2+1)实例计算(16)选折现率分别为11%、12%的测试值代入(16 )式(仍用插值法中举例)12% 13.34 (11%1) 11%( 1) (12%1)13.34 (11%1)( 1) (12%1)i177.68

12、88 12.32100 (14.80741.12)= 190.00881592.74=11.92968%选折现率分别为10%、11%的测试值代入(16)式:14% 28.7 (10%1)10% 13.34 (11%1)28.7 (10%1)13.34 (11%1)i347.27 148.074100 (31.5714.8074)二囂二11。88336%选择折现率分别为10%、14%的测试值代 入(佝式：14% 28.7(10%1)10% ( 27.04) (14%1)i28.7(10%1)( 27.04) (14%1)=441.98 312.36100 (31.5731.236)=754.34

13、/6280.6=12.01064%(5)三种方法计算结果比较以上三种方法取相同测试点的计算结果见下表:采用方法 与取点两侧近点测 试值同向测试 值两侧远点 测试值插值法 （或几何 法）（以直 代曲）11.930265%11.86849%12.05956%解析公式法111.930265%11.86849%12.05956%（以 直代曲）解析公式法211.92968%11.88336%12.01064%（以 曲代曲）公式法2 与以上方 法计算结 果比较-5.85 W-51.487 10-4-4.892 10-4计算结果表明：1. “插值法”、“几何法”、“解 析公式法1”，实质都是以直代曲的比例法，计 算结果一致；1在以直代曲的计算中，测试值临 近P点（内含报酬率点）两侧时，救出的|>|， 而采用以曲代曲解析公式法2计算出的i小于用 以上各法计算出的内含报酬率近似值，这说明公 式法2计算出的结果精确度高；3当测试值取P 点同向一侧时，以直代曲计算出的 i<l，而以曲 代曲计算出的内含报酬率的近似值大于前几法 求出的i值，这也同样证明运用