第五节对面积的曲面积分

1、第五节第五节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分二、对面积曲面积分的计算法二、对面积曲面积分的计算法一、曲面面积一、曲面面积（第十章（第十章 第四节）第四节）g 表示的几种表示的几种几何形体以及其上的积分几何形体以及其上的积分：d闭区间闭区间a,bl(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲（有限曲 面片）面片）( (空间有界空间有界 闭区域闭区域) )( (空间有限空间有限 曲线段曲线段) )二重积分二重积分三重积分三重积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分几何形体上的积分几何形体上的积分 gfp dg ,;dfx y d ,

2、,fx y z dv ,;lfx y ds , ,fx y z ds 重积分重积分对弧长的（第一类）曲线积分对弧长的（第一类）曲线积分对面积的（第一类）曲面积分对面积的（第一类）曲面积分( , , )f x y z ds 当几何形体当几何形体g为一光滑曲面为一光滑曲面 时时,相应相应的积分的积分 ( , , )f x y z ds 曲面面积元素曲面面积元素积分曲面积分曲面 , ,fx y z 就就是是函函数数在在曲曲面面 上上的的对面积的曲面积分对面积的曲面积分( (或或第一类曲面积分第一类曲面积分) )若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分记为记为( , ,

3、 )f x y z ds ( , , )f x y z ds 计算对面积的曲面积分计算对面积的曲面积分 化为二重积分化为二重积分 , ,x y z 在在 上上变变化化？曲面曲面面积元素面积元素设设有有界界闭闭曲曲面面xydxoy 为为 在在面面上上投投影影区区域域， ,xyz x yd在在上上偏偏导导数数连连续续. .对应的投影区域为对应的投影区域为,d ,ds 在在 上上任任取取小小曲曲面面块块m xyzoxydds一、曲面的面积一、曲面的面积 d),(yx :,xyzz x yx yd ，( , , ( , ),m x y z x yds为为上上任任一一点点( , , ( , ).tdsm

4、 x y z x y为为上上过过的的切切平平面面z 以以边边界界为为准准线线，母母线线平平行行于于 轴轴的的( , )zz x y d),(yxmdsxyz to tda截截切切平平面面为为， .dsda 曲面块曲面块切平面块切平面块ds 小小柱柱面面截截曲曲面面 为为；da()dsdaxoy 与与在在面面上上的的投投影影均均为为当当 很小时，很小时， 则有则有 的的面积元素面积元素： ,ddaxoy 为为在在面面上上的的投投影影cos ,dda221cos,1xyzz 221xydszz d a n z 221xydazz d 切平切平(曲曲)面的法向量面的法向量(,1),xynff (02

5、 ）dsda sds 221xydszz d 的的面积元素面积元素： 曲面曲面 的面积公式为：的面积公式为： 221xyxydzzd 计算对面积的曲面积分计算对面积的曲面积分 化为二重积分化为二重积分 , ,x y z 在在 上上变变化化( , , )f x y z ds ？ ,zz x y 221xydszz d xyxoyd 向向面面投投影影曲面积分元素为曲面积分元素为对面积的曲面积分的计算公式为对面积的曲面积分的计算公式为化为二重积分化为二重积分 22, , ,1xyxydfx y z dsfx y z x yzz d 221,xydszx yzx y d :,zz x y 如果曲面如果

6、曲面 的方程由的方程由 x=x(y,z) 或或 y=y(x,z)给出，也可类似地把对面积的曲面积分化给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为为yoz面或面或xoz面上的二重积分面上的二重积分。 22, , ,1yzyzdfx y z dsfx y zy zxx d 22, ,1xzxzdf x y z dsfx y x zzyy d :,xx y z :,yy x z22221dsxyzaz 计计算算，其其中中 ：hoxyzaaaxyd例例1 1被平面被平面 截出的顶部截出的顶部. . , 0zhha曲面面积元素曲面面积元素它在它在xoy面上的投影区域面上的投影区域222zaxy的的方方程程为为

7、解解2222:xydxyah222221xyadszz ddaxyoxyzaaahxyd222adsdaxy 的面积元素=22222211xydadsdzaxyaxy 222xydadxdyaxy 2222200ahadda 22dad da 2lnaah 2222:xydxyah222:,zaxyxyz111oxyd,xyzds 计计算算其其中中 是是三三个个坐坐标标面面和和1xyz平平面面围围成成的的四四面面体体的的整整个个边边界界曲曲面面. .例例2解解 边界曲面边界曲面 由四块组成：由四块组成：1234 它们的表达式分别是它们的表达式分别是1200:,:,xy1 3 2 4 3401:

8、,:zxyz于是于是1234xyzdsxyzds 由于在由于在 , ,0fx y zxyz所以所以30:z 上上, ,1230 xyzds 10:,x20:,yxyz111oxyd1 3 2 4 围成的三角形围成的三角形.41,zxy在在上上：2213xydszz dd4又又 在在xoy面上的投影区域面上的投影区域xyd001,xyxy是由是由xyz111oxyd4 1xy10 ,10: xxydxy4xyzdsxyzds 110031xxdxyxy dy 1231003123xyyxxdx 3101336120 xxdx 2213xydszz dd41,zxy在在上上：0101:,xydyx

9、x 13xydxyxyd 例例3 计算计算 ，其中，其中 为圆柱面为圆柱面 介于平面介于平面 z =0 和和 z =h(h0)yzd222dsxyz 这样就需投影到这样就需投影到yoz面上面上，解解 由于由于 不能表示成不能表示成 z=z(x,y) 的形式的形式,且在第一卦限的部分且在第一卦限的部分. 22xry现写成现写成xyzohr投影区域投影区域 为矩形为矩形:yzdhzry 0 ,0222ryx 又又有有于是于是0,22 zyxyryx22221yzrdsxx ddydzry 22: xry22222221yzddsrdydzxyzrzry 2222001rhrdydzrzry 022

10、01arctanrhrzdyrrry 2201arctanrhdyrry 而而所以所以2201rdyry 2arcsinlim11 rrrr222arctan.2dshxyzr 瑕积分瑕积分1112201lim()rrrdy rrry 小小 结结计算对面积的曲面积分计算对面积的曲面积分 化为二重积分化为二重积分1.1.把积分曲面把积分曲面 代入代入被积函数；被积函数； 2.2.根据积分曲面根据积分曲面 的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出曲面面积元素求出曲面面积元素. . 3. 3. 将将 向相应的坐标面向相应的坐标面投影投影，得到二重，得到二重积分的积分的积分区域积分区域. . ( , , )f x y z ds ,zz x y 代代入入221xydszz d xyxoyd 向向面面投投影影 :,zz x y若若 22, , ,1xyxydf x y z dsf x y z x yzz d 22, , ,1yzyzdf x y z dsf x y zy z