人教版高中数学选修11课后提升作业 二十一 3.2.2 Word版含解析

1、起课后提升作业 二十一导数的运算法则(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·沈阳高二检测)已知f(x)=x-5+3sinx,则f(x)等于()a.-5x-6-3cosxb.x-6+3cosxc.-5x-6+3cosxd.x-6-3cosx【解析】选c.f(x)=-5x-6+3cosx.【补偿训练】函数y=xsinx+x的导数是()a.y=sinx+xcosx+12xb.y=sinx-xcosx+12xc.y=sinx+xcosx-12xd.y=sinx-xcosx-12x【解析】选a.因为y=xsinx+x,所以y=xsinx+x=xsinx+x12=xs

2、inx+x·(sinx)+12x-12=sinx+xcosx+12x.2.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=14x2+cosx,f(x)是函数f(x)的导函数,则f(x)的图象大致是()【解析】选a.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f(x)=12x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除b,d两项,又因为在原点右侧靠近于原点的区间上,sinx>12x,所以f(x)<0,所以靠近于原点的地方在原点的右侧,图象应该落在第四象限,排除c.3.下列求导运算正确的是()a.x+1x=1+1x2b.log2x=1xln2c.3x=3x·l

3、og3ed.x2cosx=-2sinx【解析】选b.因为x+1x=x+1x=1-1x2,所以a选项错误;又log2x=1xln2,所以选项b正确;又3x=3xln3,所以选项c错误;又x2cosx=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx,所以选项d错误.4.已知曲线y=12x2-2上一点p1,-32,则过点p的切线的倾斜角为()a.30°b.45°c.135°d.165°【解析】选b.由y=12x2-2,得y=x,由导数的几何意义知,曲线上过点p的切线的斜率为y|x=1=1,因此过点p的切线的倾斜角为45°.5.(201

4、6·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=2xf(e)+lnx,则f(e)=()a.e-1b.-1c.-e-1d.-e【解析】选c.因为f(x)=2xf(e)+lnx,所以f(x)=2f(e)+1x,所以f(e)=2f(e)+1e,解得f(e)=-1e=-e-1.6.(2016·银川高二检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()a.3b.2c.1d.12【解题指南】解决本题的关键是掌握导数的几何意义,正确求出导函数.【解析】选a.定义域为0,+,设切点为x0,y0,因为fx=y=12x-3x,所以fx0=12x

5、0-3x0=12,解得x0=3或x0=-2(舍去)【补偿训练】已知函数f(x)=lnx-ax2在点(2,f(2)处的切线的斜率是-32,则a=.【解析】由题意,得f(x)=1x-2ax,则由导数的几何意义,知f(2)=12-4a=-32,解得a=12.答案:12【误区警示】(1)“过点a的曲线的切线方程”与“在点a处的曲线的切线方程”是不相同的,后者a必为切点,前者未必是切点.(2)曲线在某点处的切线若有且只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条,切线与曲线的公共点不一定只有一个.7.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,则8a+bab的最小

6、值是()a.10b.9c.8d.32【解析】选b.由题f(x)=2ax+b,又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)=2a+b=2,所以a+b2=1,所以8a+bab=8b+1a=a+b28b+1a=8ab+b2a+528ab·b2a+5=9,当且仅当a=13b=43时“=”成立,所以8a+bab的最小值是9.【补偿训练】设点p是曲线y=x3-3x+b(b为实常数)上任意一点,p点处切线的倾斜角为,则的取值范围是()a.23,b.2,56c.0,256,d.0,223,【解析】选d.y=x3-3x+b,所以y=3x2-3-

7、3,所以切线斜率k-3,所以tan-3,倾斜角的范围为0,223,.8.(2016·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nn,则f2015(x)=()a.sinxb.-sinxc.cosxd.-cosx【解析】选d.f1(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx)=sinx,f5(x)=(sinx)=f1(x),f6(x)=f2(x),fn+4(x)=fn(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以

8、f2015(x)=f3(x)=-cosx.【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)=.【解析】f1(x)=f0(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)=-sinx-cosx,f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.答案:-cosx+sinx二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·南宁高二检测)已知函数f(x)=2lnx+8x

9、,则limx0f(1-2x)-f(1)x的值等于.【解析】f(x)=2lnx+8x,所以fx=2x+8,limx0f(1-2x)-f(1)x=-2limx0f(1-2x)-f(1)-2x=-2f1=-20.答案:-2010.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程的一般形式为.【解析】利用导数的几何意义求切线的斜率,k=y|x=0=-5,点斜式写出切线方程y+2=-5x,即5x+y+2=0,所以答案应填:5x+y+2=0.答案:5x+y+2=0【补偿训练】(2016·南宁高二检测)曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为.【解析】由y=f(x)=xx+2得f(-1)=

10、2,所以所求切线的斜率为2,由点斜式可得y+1=2(x+1),整理得2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0三、解答题(每小题10分,共20分)11.求下列函数的导数.(1)y=(1-x)1+1x.(2)y=xx3xcost(t为常数).(3)y=x2+1x.【解析】(1)y=(1-x)1+1x=1-x+1x-1=x-12-x12,故y=x-12-x12=x-12-x12=-12x-32-12x-12.(2)y=xx3xcost=x32-13cost=x76cost,y=x76cost=76x16cost.(3)y=x2+1x=x2-12+x-12=x32+x-12,y=x32+x-12=32

11、x12-12x-32.【补偿训练】求下列函数的导数.(1)y=exx.(2)y=(2x2-1)(3x+1).【解题指南】(1)直接运用f(x)g(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x)2并令f(x)=ex,g(x)=x,分别求出f(x),g(x)代入即可得出所求的结果.(2)直接运用f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),并令f(x)=2x2-1,g(x)=3x+1,分别代入公式即得出所求的结果.【解析】(1)y=exx=(ex)'x-ex·x'x2=ex·x-exx2=ex(x-1)x2.(2)因为y=(2x2

12、-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,所以y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)-(1)=18x2+4x-3.【误区警示】利用积(或商)的导数运算法则时,注意避免以下错误:f(x)g(x)=f(x)g(x);f(x)g(x)=f'(x)g'(x);f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)g2(x).12.已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且直线l与函数f(x)的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值.【解题指南】解题时应紧扣已知条件“直线

13、l与函数f(x),g(x)的图象都相切”,挖掘出“直线l在两个函数的切点处的导数值相同”这一隐含条件.【解析】由f(x) x=1= 1,故直线l的斜率为1,切点为(1,f(1),即(1,0).所以l:y=x-1,又因为g(x)|x=1=1,切点为1,12+a,所以l:y-12+a=x-1,即y=x-12+a,比较和得-12+a=-1,所以a=-12.直线l的方程为y=x-1.【一题多解】由f(x) x=1= 1,直线l的斜率为1,切点为(1,f(1),即(1,0).所以l:y=x-1,又因为直线l与g(x)的图象相切,联立方程组得y=x-1y=12x2+a,消去y得12x2-x+a+1=0.所以=1-2(a+1)=0,即a=-12.【能力挑战题】若曲线c1:y=x2与曲线c2:y=aex(a>0)存在公共切线,试