对弧长的曲线积分

1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十一章 ab一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为ab , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求

2、极限” kkkks),(可得nk 10limm为计算此构件的质量,ks1kmkm),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxmd),(nk 10limks1kmkm),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结

3、束 kknkksf),(lim10lsyxfd),(如果 l 是闭曲线 , 则记为.d),(lsyxf分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 l 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? (3)lsyxfd),(有何几何意义？则定义对弧长的曲线积如果 l 是 xoy 面上的曲线弧 ,3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21

4、d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 （5）若在曲线弧上，有),(),(zyxgzyxf，则dszyxgdszyxf),(),(（6） 若曲线弧对称于x轴，函数),(zyxf关于变量zy,是奇函数，则. 0),(dszyxf（7） 若曲线弧对称于xoy面，函数),(zyxf关于变量z是奇函数，则. 0),(dszyxf（8） 若曲线弧对称于平面xy ，则dszxyfdszyxf),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 tttttfsdyxfld)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积

5、分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txl,d),(存在lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10lsyxfd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limlsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf机动 目录 上页 下页 返回 结束 xdydsdxy

6、olsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 l 的方程为),()(bxaxy则有lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrl则syxfld),()sin)(,cos)(rrf设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(ttt

7、f机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:例例1. 计算,dlsx其中 l 是抛物线2xy 与点 b (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyllsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 o (0,0)1lxy2xy o) 1 , 1 (b机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算半径为 r ,中心角为2的圆弧 l 对于它的对称轴的转动惯量i (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,r xyolsyild2d)cos()sin(sin2222rrrdsin23 r0342sin22 r)cossin(3

8、 r则 )(sincos:ryrxl机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dsxil其中l为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arl利用对称性 , 得sxild414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arlyox机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakat

9、ktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zzyyxx0 :2222zyxazyx, 则sx d2sxd) 1(2sxd2332a)131(22aasx d2sda2圆的形心在原点, 故0xax22, 如何机动

10、 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:d d s例例6. 计算,d)(222szyxi其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 有一半圆弧cosrx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2rskfxdcos2rksindd2rskfydsin2rkrroxy0dcos2rkfx0dsin2rkfy0cossin2rkrk40sincos2rkrk2故所求引力为)

11、,(yx,sinry 求它对原点处单位质量质点的引力. rkrkf2,4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxl周长为a , 求syxxyld)432(22提示提示:0d2sxyl原式 =syxld)34(1222sld12a12o22yx3利用对称性sxyld2sxyld2上sxyld2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设均匀螺旋形弹簧l的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zi(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).s

12、yxilzd)(22202atkad222222kaa(2) l的质量smld222ka 而sxld22kaa20dcostt0(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 syld22kaa20dsintt0szld22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k第二节 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线

13、弧 的长度)lszyxfd),(),(为常数szyxgld),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxllsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyllsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrllsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo备用题备用题1. 设 c 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seicyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提

14、示: 分段积分xeiaxd0d40aeaxeaxd2202机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. l为球面2222rzyx面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标解解: 如图所示 , 交线长度为rozyxrr1l3l2lslld31423r23 r由对称性 , 形心坐标为321d1lllsxlxyz321ddd1lllsxsxsxl1d2lsxl20dcos2rrl34r机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 填空题填空题.)(pr),2 , 1 , 2(),3 , 2, 1 (),1 , 3, 2(. 1bajcbacbac上的投影在向量则向量已知向量.)2 , 5 , 2() 1 , 4, 1(),0 , 1 , 3(. 2平面方程为的以及经过三点.,),(),(),(, 3) 1 , 1 (, 2) 1 , 1 (, 1) 1 , 1 (),(. 3)1 , 1()1 , 1(yxyx