定积分的概念与性质

1、6.1 6.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质6 6.1.1.1 1 定积分的概念定积分的概念6 6.1.1.2 2 定积分的性质定积分的性质例例1 1曲边梯形的面积曲边梯形的面积由区间上的由区间上的连续曲线，连续曲线， 轴与直线轴与直线， 所围成的平面图形称为曲边梯所围成的平面图形称为曲边梯形形ba,)0)()(xfxfyax bx x1.1.引例引例为计算曲边梯为计算曲边梯形的面积，形的面积，可按下述方法进行：可按下述方法进行：bbaa6.1.6.1.1 1 定积分的概念定积分的概念(1)(1)用分点用分点把区间分成个小区间：把区间分成个小区间：其中第个小区间长度为其中第个小区间长度

2、为nnxxxxxa 1210, 2 , 1(1ixxxiiii10,xx21,xx，nnxx,1，b),nn梯形的面积记为梯形的面积记为 . .曲边梯形的面曲边梯形的面积等于积等于 过每一分点作轴的垂过每一分点作轴的垂线，把曲边梯形分成线，把曲边梯形分成 个小曲边梯形，个小曲边梯形，其中第个小曲边其中第个小曲边1, 2 , 1nixixniiaaabbaabbniia1（2 2）在每一小区间）在每一小区间 内任取一点内任取一点，以为底边、为高作，以为底边、为高作小矩作，其面积小矩作，其面积 iixx ,1), 2 , 1(niiix)(ifiiixfs)(), 2 , 1(ni当当 很小时，很

3、小时， , ,曲边梯形曲边梯形的面积近似地等于所有小矩形面积之和的面积近似地等于所有小矩形面积之和ixiisaaabbniiniiinxfss11)(3)(3)如果分点个数如果分点个数无限增大无限增大( (即即 ) )，且趋于且趋于零时，的极限就是零时，的极限就是曲边梯形的面曲边梯形的面积，即积，即ninixxmax1nsaabbsiixnxxnifss1)(limlim00 例例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物

4、体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路

5、程的精确值定义定义6.16.1设函数在区间上有定设函数在区间上有定义用点，义用点， 把把区间分为个小区间：区间分为个小区间：)(xfba,bxxxxxann1210ba,n), 2 , 1(1nixxxiiiiixx ,1),(1iiiixx记在每一小区间记在每一小区间上任取一点，上任取一点，niiinxfs1)(10,xx，21,xx，nnxx,1，称为积分和称为积分和2.2.定积分的概念定积分的概念如果当如果当 无限增大，且无限增大，且 中最大者中最大者 时，的极限存在，时，的极限存在，且极限值与的划分方法及点的取法无且极限值与的划分方法及点的取法无关，则称函数在区间上关，则称函数在区间上

6、可积可积，此极，此极限值称为函数在区间上的限值称为函数在区间上的定积分定积分，记作，即记作，即nix)max(01inixxxnsi)(xfba,ba,)(xfba,baxxfd)(baxniixfxxf1)(limd)(0，其中称为其中称为被积函数被积函数，称为，称为积分区间积分区间；称为称为积分下限积分下限，称为，称为积分上限积分上限，称为，称为积分变量积分变量，称为，称为被积表达式被积表达式)(xfba,abxxxfd)(被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和由定义由定义6.1. 6.1. 例例1 1，例，例

7、2 2所讨论的问题可所讨论的问题可分别叙述为分别叙述为(1)(1)曲边梯形的面积是曲边方曲边梯形的面积是曲边方程在区间上的定积分，即程在区间上的定积分，即aabbs)(xfy ba,baxxfsd)(2)(2)变速直线运动的路程变速直线运动的路程s s可表示为可表示为d21( )ttsv tt (1) (1) 函数在区间上的定积分是函数在区间上的定积分是积分和的极限，如果这一极限存在，则它是积分和的极限，如果这一极限存在，则它是一个确定的常量它只与被积函数和积一个确定的常量它只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量使用的字母分区间有关，而与积分变量使用的字母的选取无关的选取无关)(xfba,)

8、(xfba,babattfxxfd)(d)(. .对于定积分的概念，应注意以下几点：对于定积分的概念，应注意以下几点：(2)(2)在定积分的定义，总是假设，在定积分的定义，总是假设，如果如果，我们规定，我们规定ba ab abbaxxfxxfd)(d)(，(6.1.2)(6.1.2)即互换定积分的上、下限，定积分要变号即互换定积分的上、下限，定积分要变号如果，由如果，由(6.1.2)(6.1.2)可得可得ba aaxxf0d)(. .(3)(3)可以证明：如果在区间上可可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件有界是其可积的必要条件)(x

9、fba,ba,)(xf)(xf这一结论也可以叙述为：如果函数这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可在区间上无界，则在上不可积积)(xf)(xfba,ba,小结：小结：定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限性质性质1 1被积表达式中的常数因子可以提被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即到积分号前，即babaxxfkxxkfd)(d)(性质性质2 2两个函数代数和的积分等

10、于各函两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即数积分的代数和，即bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(，6.1.6.1.2 2 定积分的性质定积分的性质这一结论可以推广到任意有限多个函数代这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情况数和的情况性质性质3 3对任意的点，有对任意的点，有bacabcxxfxxfxxfd)(d)(d)(c这一性质称为定积分的可加性，应注意，这一性质称为定积分的可加性，应注意， 的任意性，意味着不论的任意性，意味着不论 还是还是 这一性质均成立这一性质均成立cbac,ba,c性质性质4 4如果在区间上，恒有如果在区间上，恒有，则，则ba,)(

11、)(xgxfbabaxxgxxfd)(d)(性质性质5 5如果被积函数，则如果被积函数，则baabxd1)(xf性质性质6 6如果函数在上有最大值如果函数在上有最大值和最小值，则和最小值，则)(xfba,mmbaabmxxfabm)(d)()(性质性质7(7(积分中值定理积分中值定理) )如果函数在区间如果函数在区间上连续，则在内至少有一点，使得上连续，则在内至少有一点，使得ba,ba,baabfxxf)(d)(),(ba， 这一性质的几何意义是这一性质的几何意义是: :由曲线，轴和直由曲线，轴和直线，所围成的曲边线，所围成的曲边梯形面积等于区间上某梯形面积等于区间上某个矩形的面积，这个矩形的

12、个矩形的面积，这个矩形的底是区间，其高为区间底是区间，其高为区间 内某一点处的函值内某一点处的函值 . . )(xfy xax bx ba,ba,ba,)(f由上式得到的由上式得到的，称为函数在区间上的平均值称为函数在区间上的平均值baxxfabfd)(1)()(xfba,性质性质8 8如果函数在对称区间如果函数在对称区间 上上连续且为奇函数，那么连续且为奇函数，那么)(xf, a a( )d0aaf xx如果函数在对称区间如果函数在对称区间 上连续且上连续且为偶函数，那么为偶函数，那么)(xf, a a0( )d2( )daaaf xxf xxyxxxxa21. +1,=-1, =2 试试用用定