第七节无穷小的比较

1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限;)(,0lim)1( o 记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果

2、定义定义: :.0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;,lim)2(低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比就说就说如果如果 ;, )0(lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 cc;,1lim)4( 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果 (5)lim(0,0),.kc ckk 如如果果就就说说是是的的阶阶无无穷穷小小.0, )0, 0(lim0阶无穷小阶无穷小的的是是时时就说当就说当如果如果kxxkccxkx 例例1 1解解.tan4 ,0:3的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 430tan4limxxxx30ta

3、nlim4 xxx, 4 .tan4 ,03的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时故当故当xxxx 例例2 2.sintan,0的阶数的阶数关于关于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 例例10, sinxxxx当当时时 为为的的几几阶阶无无穷穷小小？不是任何两个无穷小量都可以比较不是任何两个无穷小量都可以比较.用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(

4、211cos22xoxx . )(, o 条件是条件是的充要的充要则则穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设. )(主部主部的主要部分的主要部分是是称称 基本无穷小基本无穷小,的函数的函数若研究的都是若研究的都是 x;1,)2(为为基基本本无无穷穷小小常常取取的的无无穷穷小小若若是是xx ;,0)1(为基本无穷小为基本无穷小常取常取的无穷小的无穷小若是若是xx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x,sinxx,arcsinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx,1xex,21cos12xx),0(1)1( axaxa)111(xnxn . )1, 0(l

5、n1 aaaxax二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim .lim 例例1 1.2sin3tanlim0 xxx求求解解.22sin,33tan,0 xxxxx时时当当 xxx23lim0 原式原式.23 例例2 2.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 .cos1)1ln()1(lim320 xxexx 求求例例解解20212limxxxx 原式原式

6、.4 ,21,02xexx时时当当 ,)1ln(xx ,21cos12xx .2sin1sin1lim420 xxxx 求求例例解解,sin211sin1,0 xxxxx时时当当 ,)2(2sin22xx204sin21limxxxx 原式原式81 xxx8sinlim0 例例.1)1sin(lim)1(21 xxx .21sinlim)2(xxx .)cos1(cos1lim50 xxxx 求求例例解解)cos1)(cos1(cos1lim0 xxxxx 原式原式)cos1(cos1lim210 xxxx xxxx2121lim2120 .21 注意注意 1.无穷小等价关系不是相等关系。无穷

7、小等价关系不是相等关系。 2. 无穷小乘积因子可分别等价代换，无穷小代无穷小乘积因子可分别等价代换，无穷小代数和一般不能分别对其中某个项作等价代换。数和一般不能分别对其中某个项作等价代换。例例6 6.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 例例7 7.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解xxxx3sin)cos1(5tanlim0 原式原式 xxx

8、xx3sincos13sin5tanlim0 xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 xxxxxx321lim35lim200 .35 拆项原则：拆项后每项极限均应存在拆项原则：拆项后每项极限均应存在 .三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无

9、穷小的阶.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？解解不能不能 例如当例如当 时时x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.一、一、 填空题：填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.

10、=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.练练 习习 题题7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . .8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 . .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式 . . 2 2、确定、确定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ；