二重积分的概念与性质

1、第九章 二重积分 定积分所研究的对象是定积分所研究的对象是一元函数一元函数，并且积分并且积分图形的面积；图形的面积；是在一个是在一个闭区间闭区间上进行的。利用定积分可求出平面上进行的。利用定积分可求出平面求几何体的体积求几何体的体积s.)()(dxxgxfba xy)(xgy )(xfy abos（旋转体的体积、（旋转体的体积、oxyv)(xfy .d)(2xxfba 已知已知平行截面面积的几何体的体积）平行截面面积的几何体的体积）ab第九章 二重积分 为了解决这样一些实际问题，有必要把定为了解决这样一些实际问题，有必要把定积分的基本思想加以推广，从而建立积分的基本思想加以推广，从而建立二重积

2、分二重积分的概念的概念. 已知已知平行截面面积的几何体的体积平行截面面积的几何体的体积axxx+dxa(x)bv.d )(xxaba 在实际工作中，我们还会碰到以下的问题：在实际工作中，我们还会碰到以下的问题：由一般曲面所由一般曲面所围成的围成的立体的体积立体的体积、以及非均匀、以及非均匀平面的平面的质量、重心质量、重心等等。等等。而这类问题在物理学而这类问题在物理学与与工程技术以及经济学工程技术以及经济学中是经常遇到的中是经常遇到的.4第九章 二重积分第一节 二重积分的概念与性质第二节 二重积分的计算 本节我们将一元函数定积分的概念本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分

3、上，由于二和思想扩展到二元函数的二重积分上，由于二重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一者之间的者之间的共性共性与与区别区别. . 因此，二重积分概念、性质与定积分因此，二重积分概念、性质与定积分类似类似，二重积分的计算方法也是将其转化为定，二重积分的计算方法也是将其转化为定积分积分. .步推广步推广. .导言：导言：学习中要注意与定积分的学习中要注意与定积分的对比对比，把握两，把握两第九章 二重积分（曲顶）柱体体积（曲顶）柱体体积=？特点特点：曲顶曲顶),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(volume)（一）问题的提出（一）问题的提出 以曲

4、面以曲面 为为顶顶，以，以xy平面上区域平面上区域d为为),(yxfz 曲顶柱体曲顶柱体以通过以通过d的边界且与的边界且与z轴平行的柱面为轴平行的柱面为侧面侧面的立体。的立体。 底底，第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质（平顶）柱体体积（平顶）柱体体积高高特点特点：平顶平顶=底面积底面积 第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 求由直线求由直线 x=a, , x=b, , y=0 与曲线与曲线 y=f (x) 0 所围所围成的曲边梯形的面积成的曲边梯形的面积. .方法方法： 整体分割整体分割局部近似局部近似求和积累求和积累无限逼近无限逼近回顾：回顾：xyo(1

5、) 分割分割 化整为零化整为零;1 niiss(2) 近似近似 以常代变以常代变;)( iiixfs (3) 求和求和 积零为整积零为整(4) 极限极限 无限累加无限累加.)(11 niiiniixfss.d)()(lim 10 bainiixxfxfs曲边梯形面积的求解过程及思想方法曲边梯形面积的求解过程及思想方法)(xfy ab第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 而母线平行于而母线平行于z轴的柱面轴的柱面，1. 1. 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积以以xoy平面上的平面上的dyxyxfz ),( , 0),(下面讨论如何计算曲顶柱体的体积下面讨论如何计算曲顶柱体的体积

6、v . .所围成的几何体所围成的几何体.其其顶顶是连续曲面是连续曲面d的边界线为准线的边界线为准线,其其侧面侧面为以为以有界闭区域有界闭区域d为为底底,曲顶柱体曲顶柱体: :xzyod),(yxfz 在每个小区域在每个小区域 上任取一点上任取一点 i 用用任意任意一组一组曲线网曲线网把把区域区域 d分割成分割成 n 个小个小闭区域闭区域xzyod),(yxfz i 整体分割整体分割局部近似局部近似求和积累求和积累无限逼近无限逼近方法：方法：,21n(1)(1)分割分割其中其中 既表示第既表示第i个小区域个小区域i也表示其对应的面积也表示其对应的面积.分别以这些小闭区域分别以这些小闭区域的边界曲

7、线为准线，的边界曲线为准线， 作母线平行于作母线平行于z轴的柱面，轴的柱面， 这些柱面把曲顶柱体这些柱面把曲顶柱体,个小曲顶柱体个小曲顶柱体分成分成n其体积为其体积为,iv(2) (2) 近似代替近似代替),(ii为为 的直径的直径 的最大值的最大值 idixzyod),(yxfz i ),(ii 以以 为高，为高，),(iif则小曲顶柱体的体积则小曲顶柱体的体积 近似地等于近似地等于iv 小平顶柱体的体积小平顶柱体的体积，为底的为底的以以i.),(iiiifv 即有即有 将所有小平顶柱将所有小平顶柱体的体积求和，体的体积求和， 可得曲顶可得曲顶柱体体积的近似值为柱体体积的近似值为(3)(3)

8、求和求和.),( niiiiniifvv1 11 1 (4)(4)取极限取极限)max(id 记记的体积为的体积为( 表示表示 中任意两点间距离的最大值），中任意两点间距离的最大值），iid.),(lim niiiifv1 10 0则曲顶柱体则曲顶柱体),(iif (2) (2) 近似代替近似代替 由于这种特殊和式的极限应用极广，由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性的研究。的研究。 为了研究问题方便起见，数

9、学上人们就把这种为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种特殊结构的和的极限特殊结构的和的极限称为称为二重积分二重积分。第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质1. 1. 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积 设函数设函数 f (x, y) 是有界闭区域是有界闭区域 d上的有界函数，上的有界函数， 则称函数则称函数f (x,y)在区域在区域d上上可积可积，xyd2.2.二重积分的概念二重积分的概念在在 上上ii，n,21,),(iii .),(1 niiiif niiiif10),(lim记记 ),max(id ,d),( dyxfi ),(ii记为记为若极限若极限作和式作和式任取一点

10、任取一点既表示第既表示第i小块小块, 也表示第也表示第i 小区域的面积小区域的面积.用任意一组曲线网分割用任意一组曲线网分割d成成 n 个小区域个小区域定义定义存在，存在，.的的直直径径表表示示区区域域iid dyxfd),(即即.),(lim10iniiif 并称此极限值为并称此极限值为f (x,y)在在d上的上的二重积分二重积分. （1 1）二重积分的积分值与二重积分的积分值与区域区域d的分割方式的分割方式与与点点 d),(yxf0lim niiiif1),(d积分和积分和积分区域积分区域面积微元面积微元被积函数被积函数积分号积分号（3）若被积函数在）若被积函数在有界闭区域上连续有界闭区域

11、上连续，与与积分变量无关积分变量无关；该值与该值与区域区域d及及（2）二重积分的积分值是一数值，）二重积分的积分值是一数值，即分割与取点具有即分割与取点具有任意性任意性；对二重积分作几点说明：对二重积分作几点说明：被积被积表达式表达式积分变量积分变量则一定可积则一定可积.),(ii 被积函数被积函数f (x,y)有关有关，的取法无关的取法无关；2.2.二重积分的概念二重积分的概念3.3.二重积分的几何意义二重积分的几何意义 (1) 若在若在d上上f (x,y)0, 则则 表示以区域表示以区域d为为 dyxfd),(3)若若f (x,y)在在d的某些子区域上为正的的某些子区域上为正的, 则则 表

12、示在这些子区域上表示在这些子区域上 dyxfd),(2) 若在若在d上上f (x,y)0, 则则 表示以区域表示以区域d为为 dyxfd),( （4 4）当当 时时, ,1),( yxf d d则则以以f (x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积为曲顶的曲顶柱体的体积.为底，为底，以以f (x,y)为曲顶的曲顶柱体体积的相反数为曲顶的曲顶柱体体积的相反数.为底，为底，曲顶柱体体积的代数和曲顶柱体体积的代数和.子区域上为负的，子区域上为负的，在在d的另一些的另一些=区域区域d的面积的面积. 假设函数假设函数 f (x,y)， g(x,y)在区域在区域 d上都是可积的上都是可积的. dyxgyxfd),(

13、),( dyxkfd),(1) (2) 21d),(ddyxf(3) (4) 若在若在d上处处有上处处有f (x,y)g(x,y)，.d),(d),( ddyxgyxf4.4.二重积分的性质二重积分的性质则有下述性质：则有下述性质：二重积分有与定积分类似的性质二重积分有与定积分类似的性质.则有则有( (可加性可加性) ).d),(d),( ddyxgyxf( (数乘性数乘性) ).( d),(为为常常数数kyxfkd ( (区域可加性区域可加性) ).d),(d),(21 ddyxfyxf( (单调性单调性) )对有界闭区域对有界闭区域 d 上连续函数上连续函数 f (x,y), 设设f (x

14、,y)在有界闭区域在有界闭区域 d上连续，上连续，.d),(myxfmd 若在若在d上处处有上处处有mf (x,y)m， （6）定理定理 ( (中值定理中值定理) ),( dyxfd),(使使 为为f (x,y),(f（5）定理定理 ( (估值定理估值定理) )则则为区域为区域d的面积，的面积，且且使使则在则在d上存在一点上存在一点在在d上的上的),(必在必在d上存在一个点上存在一个点积分中值定理说明：积分中值定理说明：平均值平均值.),(f 4.4.二重积分的性质二重积分的性质在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知222()d,xyadee 解解22()

15、dxyde ab2.aab e4.4.二重积分的性质二重积分的性质,ab 故故,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值4 41 1 m),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解4.4.二重积分的性质二重积分的性质, 2 2 ),(0 00 0 yxmethod1. dddyxdyx,)()(32的大小的大小与与比较比较 处的切线方程为处的切线方程为在在容易求得容易求得)0 , 1(2)1()2(22 yx. 1 yx1 yxoxy13如图所示如图所示, 1 yxd上上在在3 32 2)()(y

16、xyxd 上上有有在在.)()(32 dddyxdyx .2)1()2(22所所围围成成是是由由圆圆周周其其中中 yxd例例3 3 4.4.二重积分的性质二重积分的性质解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在d内内有有 eyx 21,oxy121d4.4.二重积分的性质二重积分的性质1)ln(0 yx故故当当1 yxr时时, , 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.solution.例例5 5 4.4.二重积分的性质二重积分的性质,),(1lim22020)()(20 yyxxdyxf求求solution.2 20 01 1 l

17、im原原式式),(lim0 f ),(lim00 fyx ).,(00yxf （积分中值定理）（积分中值定理）（函数的连续性）（函数的连续性）.),(为连续函数为连续函数其中其中yxf例例6 6 4.4.二重积分的性质二重积分的性质),( f 2 2 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质小结 dyxfd),(（一）概念（一）概念（二）性质（二）性质六条性质六条性质（三）几何意义（三）几何意义 dyxfd),( v.),(lim10 niiiif作业：作业：p351 3（2），4（2）第一节 二重积分的概念与性质思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行

18、比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答第一节 二重积分的概念与性质练练 习习 题题练习题答案练习题答案目的要求：目的要求：一.了解二重积分的概念与基本性质二.会将二重积分化为累次积分三.掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算方法重点：2.二重积分的计算及应用四.会利用二重积分计算平面图形的面积及几何体的体积1.二重积分的概念.4:,)10(22之值之值估计估计 dyxddyx solution.