GCT辅导第五部分线性代数

1、2009年年8月月gct数学数学2021-11-13wuhan university of technology2009年年8月月gct数学数学2021-11-13主要内容主要内容考试要求与试卷分析考试要求与试卷分析第一部分第一部分算术算术 第二部分第二部分 初等代数初等代数第三部分第三部分 几何与三角几何与三角第四部分微积分第四部分微积分第五部分线性代数第五部分线性代数2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第11章章 连续与极限连续与极限1 1函数定义函数定义（第三章已给出）（第三章已给出）2 2函数特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性）函数特性（单调性、周期性、奇偶性、有界

2、性）3 3复合函数复合函数 11.1 11.1 一元函数一元函数11.2 11.2 数列极限数列极限1 1定义定义2 2性质性质2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第11 11章章 连续与极限连续与极限1 1定义及关系定义及关系2 2无穷小量性质无穷小量性质11.3 11.3 函数极限函数极限定义及性质定义及性质11.4 11.4 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第11 11章章 连续与极限连续与极限11.5 11.5 函数连续性函数连续性1 1定义定义2 2函数间断点及分类函数间断点及分类3.3. 运算法则运算法则

3、4.4.闭区间连续函数性质定义闭区间连续函数性质定义（1 1）有界）有界 （2 2）最值存在）最值存在 （3 3）介值存在）介值存在 （4 4）零点定理）零点定理 重点：会判断间断点的类型；利用连续性求函数中参数；利重点：会判断间断点的类型；利用连续性求函数中参数；利用零点定理判断方程根及所在区间。用零点定理判断方程根及所在区间。典型例题练习典型例题练习2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1212章章 导数（微分）导数（微分）12.1 12.1 导数的定义导数的定义12.2 12.2 导数公式及求导法则导数公式及求导法则12.3 12.3 高阶导数高阶导数12.4 12.4

4、 微分微分12.5 12.5 中值定理中值定理2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1212章章 导数（微分）导数（微分）12.6 12.6 洛必达法则洛必达法则12.7 12.7 函数单调性、极值函数单调性、极值（考试重点内容）（考试重点内容）12.8 12.8 函数的最大值、最小值问题函数的最大值、最小值问题（考试重点内容）（考试重点内容）12.9 12.9 函数的凸凹、拐点及渐进线函数的凸凹、拐点及渐进线典型题典型题2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学13.113.1不定积分的概念和简单计算不定积分的概念和简

5、单计算1 1定义定义2 2公式公式3.3. 性质性质13.2.13.2.不定积分的计算方法不定积分的计算方法1 1第一类换元法第一类换元法（凑微分）（凑微分）2 2第二类换元法第二类换元法2009年年8月月gct数学数学2021-11-133.3. 分步积分法分步积分法 dxvuuvuv关键在于正确选择 vu,第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学13.3 13.3 定积分的概念及性质定积分的概念及性质1.定积分：定积分：niiibaxxfidxxf10)(lim)(ii i与与 baxf,),(有关，与积分变量无关，与分割及有关，与积分变量无关，与分割及 i的取值无关。的取值无关。

6、2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学bxax ,重点：几何意义重点：几何意义badxxf)(表示由表示由bxax,x x轴及轴及 )(xfy 围成的曲边梯形面积。围成的曲边梯形面积。 2. 2. 性质性质13.4 13.4 微积分基本公式，定积分计算微积分基本公式，定积分计算牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学13.5 13.5 定积分应用定积分应用1. 1.平面图形面积：平面图形面积： badxxgxfs)()( 注意：要善于根据不同情

7、形，采用对不同变量积注意：要善于根据不同情形，采用对不同变量积分，有时对变量分，有时对变量y y积分可能更简单的求出曲线图形面积分可能更简单的求出曲线图形面积。积。2. 2. 旋转体体积旋转体体积bxaxxfy,),(及及x x轴绕轴绕x x轴旋转一周：轴旋转一周： dxxfvba)(2byayyx,),(及及y y轴绕轴绕y y轴旋转一周：轴旋转一周： dyyvba)(22009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1313章章 一元函数积分学一元函数积分学dyyvba)(23. 3. 平行截面积已知的立体体积平行截面积已知的立体体积4. 4. 平面弧长平面弧长垂直于垂直于x x轴

8、的平面截立体轴的平面截立体 所得截面为所得截面为 )(xsbxa则则 体积体积 badxxsv)(4. 4. 平面弧长平面弧长dtttl)()(2 2 )(xfy bxa则则 dtttl)()(22典型例题与练习典型例题与练习2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1414章章 行列式行列式1. 1. 定义定义14.1 14.1 行列式行列式2. 2. 性质性质tdd 某行为某行为0 0则则d=0d=0；互换互行变号；常数因子；互换互行变号；常数因子可提到行列式符号外；两行对应成比例，行列式等于可提到行列式符号外；两行对应成比例，行列式等于0 0。3. 3. 几个特殊的行列式几

9、个特殊的行列式（1 1）对角）对角 （2 2）上三角）上三角 （3 3）下三角）下三角2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1414章章 行列式行列式14.2 14.2 行列式的计算行列式的计算（1 1）利用降阶方法）利用降阶方法 （2 2）利用性质变换或几种特殊）利用性质变换或几种特殊行列式行列式 （3 3）迭代；找出）迭代；找出 与与 、 的关系。的关系。nd1nd2nd重点：利用定义及性质能迅速求出行列式。重点：利用定义及性质能迅速求出行列式。例题与练习例题与练习2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1515章章 矩阵矩阵m n 15.1 15.1 矩

10、阵运算及性质矩阵运算及性质 由由n m n m 个数个数 排成排成mm行行n n列的矩形数表列的矩形数表 称为称为m nm n矩阵矩阵a=ba=b：（1 1）a a、b b必须同型必须同型（2 2） （i=1,2,i=1,2,.n, j=1,2.n, j=1,2.m.m）m nijijab)n, 2 , 1j;m, 2 , 1i (aijmnm2m12n22211n1211aaaaaaaaaa2009年年8月月gct数学数学2021-11-13 15.2 矩阵运算矩阵运算 （1）a+b=b+a （2）（）（a+b）+c=a+（b+c） （3）a+0=a （4）-a=（aij） （5）ab=c(

11、cij) （6）乘法乘法 15.3可逆矩阵可逆矩阵练习练习2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1616章章 向量向量16.1 16.1 向量的概念向量的概念 1 1、定义定义 2 2、线性运算线性运算16.2 16.2 向量的线性相关向量的线性相关 1 1、向量的线性组合与线性表出向量的线性组合与线性表出 2 2、线性相关与线性无关线性相关与线性无关16.3 16.3 向量组的秩向量组的秩例题与练习例题与练习2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1717章章 线性方程组线性方程组17.117.1 线性方程组的概念线性方程组的概念17.2 17.2 齐次线性

12、方程组齐次线性方程组 基础解系：基础解系： 同一线性方程组的基础解系不唯一，但等价，可用初同一线性方程组的基础解系不唯一，但等价，可用初等变换法求基础解系。等变换法求基础解系。 0ax 1ti1(1) ,(2) a0(3)ktiii 无关任一解 2009年年8月月gct数学数学2021-11-1317.3 17.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组a ax x=b=b上述方程的解上述方程的解aax x=b=b的一个特解的一个特解 aax x=0=0的基础解系的基础解系 例题与练习例题与练习第第1717章章 线性方程组线性方程组2009年年8月月gct数学数学2021-11-13第第1818章章

13、 特征矩阵与特征向量特征矩阵与特征向量18.1 18.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念1、定义、定义 设设a为为n阶矩阵，若阶矩阵，若 及非零及非零n维列向量维列向量x，s.t ， 则则 是是a的特征值，的特征值，x是属于特征值是属于特征值 的特征向量。的特征向量。2、计算、计算 ，特征多项式计算，特征多项式计算n阶矩阵阶矩阵a的特征多项式在复数域有的特征多项式在复数域有n个根个根 (i = 1,2n) 的非零解的非零解是属于特征值是属于特征值 的特征向量。的特征向量。 3 3、特征向量及性质特征向量及性质,r axxdet()0iaii2009年年8月月gct数学数学2021

14、-11-1318.2 18.2 矩阵相似对角化问题（重点）矩阵相似对角化问题（重点） 若存在矩阵若存在矩阵p可逆，使得可逆，使得 则则 ab 若若ab 则矩阵则矩阵a，b有相同的特征多项式，特征值，相同的行有相同的特征多项式，特征值，相同的行列式列式 矩阵矩阵a是是n阶方阵，则阶方阵，则a可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 a有有n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量 属于属于a的不同特征值的特征向量线性无关的不同特征值的特征向量线性无关 若有若有n个无关向量个无关向量 满足满足 取取则则 告诉了告诉了p的寻找方法的寻找方法 n阶矩阵阶矩阵a可对角化等价于可对角化等价于 a的每个特征值的重数的每个特征值的重数 这个特征这个特征值对应无关的特征向量的个数值对应无关的特