最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习

1、最大公因数和最小公倍数应用的 典型例题和专题练习典型例题 例 1 、有三根铁丝，一根长 18 米，一根长 24 米，一根长 30 米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可 以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是 18 、24 、 30 的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。解答：（18 、24 、30 ） 6（ 18+24+30 ）÷ 6 12 段答： 每段最长可以有6 米，一共可以截成12 段。例 2 、一张长方形纸，长 60 厘米，宽 36 厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长

2、可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大， 也就是说，正方形的边长要尽可能大， 截完后又正好没有剩余， 这样正方形 边长一定是 60 和 36 的最大公因数。解答：（ 36 、60 ） 12（ 60÷ 12）×（36÷ 12）15 个答： 正方形的边长可以是12 厘米，能截15 个正方形。例 3 、用 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样

3、多，那么做成花束的个数一定是96和 72 的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96 和 72 的最大公因数。解答：（ 1 ）最多可以做多少个花束（96 、72 ） 24（ 2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷ 244朵（ 3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷ 243朵（ 4）每个花束里最少有几朵花4+3 7 朵例 4 、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5 分钟发车一次，第二路车每隔10 分钟发车一次，第三路车每隔6 分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5 的倍数、 10 的倍数、 6 的倍数

4、，也就是说是5 、10 和 6 的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5 、10 、 6 的最小公倍数。解答： 5、10 、 6 30答： 最少过 30 分钟再同时发车。例 5 、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个；第二道工序每个工人每小时可完成 12 个；第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。解

5、答：（ 1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？3 、12 、5 60（ 2）第一道工序应安排多少人60 ÷ 320人（ 3）第二道工序应安排多少人60÷ 125人（ 4）第三道工序应安排多少人60 ÷ 512人例 6 、有一批机器零件。每 12个放一盒，就多出 11 个；每 18 个放一盒，就少1 个；每 15 个放一盒，就有7盒各多 2个。这些零件总数在300 至 400 之间。这批零件共有多少个？分析与解：每 12 个放一盒，就多出11 个，就是说，这批零件的个数被12 除少 1 个；每18 个放一盒，就少 1个，就是说，这批零件的个数被1

6、8 除少 1；每 15个放一盒，就有 7盒各多 2 个，多了2 × 7 14 个，应是少1 个。也就是说，这批零件的个数被15 除也少1 个。解答：如果这批零件的个数增加1 ，恰好是 12 、18 和 15 的公倍数。1、刚好能12 个、 18个或 15个放一盒的零件最少是多少个12 、 18 、15 1802、在 300至 400 之间的 180的倍数是多少 180 × 2 3603、这批零件共有多少个360-1359 个例 7 、公路上一排电线杆，共25 根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60 米，可以有几根不需要移动？分析与解：不需要移动的电线杆，一定既

7、是 45的倍数又是 60 的倍数。 要先求 45和 60 的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。解答：1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？45 、60 180 （米）2、公路全长多少米？45 ×25（-1） 1080 （米）3、可以有几根不需要移动？1080 ÷ 180+17（根）例 8 、两个数的最大公因数是4 ，最小公倍数是252 ，其中一个数是分析与解：根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。去除以 28 即可。4 × 252 ÷ 28=1008÷ 28=3628 ，另一个数是多少

8、？”先求出4 与 252的乘积， 再用积专题练习1. 有 24 个苹果， 32 个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？2. 数学兴趣小组有 24 个男同学， 20 个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？3.有 38 支铅笔和41 本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3 支，练习本还缺1 本。得奖的好少年有多少人？4. 有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？5. 市场是 20 路和 21 路汽车的起点站。 20 路汽车每 3 分钟发车一

9、次， 21 路汽车每 5 分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？6. 中心小学五年级学生，分为 6 人一组， 8 人一组或 9 人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？7. 五年级学生参加植树活动，人数在 3050 之间。如果分成 3 人一组， 4 人一组， 6 人一组或者 8 人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？8.有一个数，用4 、 5 、 6 去除，都能整除，这个数最小是多少？9 、一些小朋友做游戏，第一次分组每组4 人余下 2 人，第二次每组5 人也余下2 人，第三次分组每组6 人还是余下 2 人。问最少多少名小朋友做游戏？

10、10 、一间浴室长 1.8 米，宽 1.44 米。现在要给浴室地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？11 、有一袋水果糖，8 块 8 块数多 5 块 ;6 块 6 块数多 3 块； 4 块 4 块数多 1 块。这代水果糖最少有多少块？一个数被3 除余 1 ，被 6 除余 4 ，被 8 除余 6 。这个数最小是几？12 、王老师买回一些练习本，如果平均分给5 个班则多出3 本，如果平均分给6 个班则多出4 本。已知这些练习本在 80 100 本之间，你知道王老师买了多少本练习本？13 、工人师傅买了一块长方体木块，体积是693立方分米，只知道它的长、宽、高分别相差2 分米，你

11、能求出长、宽、高各是多少分米吗？例 1 、有三根铁丝，一根长 18 米，一根长 24 米，一根长 30 米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18 、24 、 30 的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。解答：（ 18 、24 、30 ） 6（ 18+24+30 ）÷ 6 12 段答： 每段最长可以有6 米，一共可以截成12 段。例 2 、一张长方形纸，长 60 厘米，宽 36 厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正

12、方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大， 也就是说，正方形的边长要尽可能大， 截完后又正好没有剩余， 这样正方形 边长一定是 60 和 36 的最大公因数。解答：（ 36 、60 ） 12（ 60÷ 12）×（36÷ 12）15 个答： 正方形的边长可以是12 厘米，能截15 个正方形。例 3 、用 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把 96朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是9

13、6和 72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96 和 72 的最大公因数。解答：（ 1 ）最多可以做多少个花束（96 、72 ） 24（ 2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷ 244朵（ 3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷ 243朵（ 4）每个花束里最少有几朵花4+3 7 朵例 4 、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5 分钟发车一次，第二路车每隔10 分钟发车一次，第三路车每隔6 分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5 的倍数、 10 的倍数、 6 的倍数，也就是说是5 、10 和 6

14、的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5 、10 、 6 的最小公倍数。解答： 5、10 、 6 30答： 最少过 30 分钟再同时发车。例 5 、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个；第二道工序每个工人每小时可完成 12 个；第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。解答：（ 1）在相同的时间内，每道

15、工序完成相等的零件个数至少是多少？3 、12 、5 60（ 2）第一道工序应安排多少人60 ÷ 320人（ 3）第二道工序应安排多少人60÷ 125人（ 4）第三道工序应安排多少人60 ÷ 512人例 6 、有一批机器零件。每 12个放一盒，就多出 11 个；每 18 个放一盒，就少1 个；每 15 个放一盒，就有7盒各多 2个。这些零件总数在300 至 400 之间。这批零件共有多少个？分析与解：每 12 个放一盒，就多出11 个，就是说，这批零件的个数被12 除少 1 个；每18 个放一盒，就少 1个，就是说，这批零件的个数被18 除少 1；每 15个放一盒，

16、就有 7盒各多 2 个，多了2 × 7 14 个，应是少1 个。也就是说，这批零件的个数被15 除也少1 个。解答：如果这批零件的个数增加1 ，恰好是 12 、18 和 15 的公倍数。1、刚好能12 个、 18个或 15个放一盒的零件最少是多少个12 、 18 、15 1802、在 300至 400 之间的 180的倍数是多少 180 × 2 3603、这批零件共有多少个360-1359 个例 7 、公路上一排电线杆，共25 根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60 米，可以有几根不需要移动？分析与解：不需要移动的电线杆，一定既是 45的倍数又是 60 的倍数

17、。 要先求 45和 60 的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。解答：1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？45 、60 180 （米）2、公路全长多少米？45 ×25（-1） 1080 （米）3、可以有几根不需要移动？1080 ÷ 180+17（根）例 8 、两个数的最大公因数是4 ，最小公倍数是252 ，其中一个数是28 ，另一个数是多少？分析与解：根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4 与 252 的乘积， 再用积去除以 28 即可。4 × 252 ÷ 28=1008÷

18、28=36【模拟试题】1 、 24 的因数共有多少个？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？2 、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）3 、两个自然数的乘积是420 ，它们的最大公因数是12 ，求它们的最小公倍数。4 、两个自然数相乘的积是960 ，它们的最大公因数是8 ，这两个数各是多少？5 、两个数的最小公倍数是126 ，最大公因数是6 ，已知两个数中的一个数是18 ，求另一个数。6 、有一种长51 厘米，宽39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？7 、有三根铁丝长度分别为

19、 120 厘米、 90 厘米、 150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？8 、有两个不同的自然数，它们的和是48 ，它们的最大公因数是6 ，求这两个数。9 、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？10 、有 A 、 B 两个两位数，它们的最大公因数是6 ，最小公倍数是90 ，则 A、 B 两个自然数的和是多少？【试题答案】1 、 24 的因数共有多少个？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？答： 24 的因数共有8 个， 36 的因数共有9 个， 24 和 36