高考数学中的内切球和外接球问题

1、高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面 体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接 球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查 学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要 运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的 有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在 解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面 积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球

2、的球面上，若该正方体的表 面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16 B. 20 C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长 为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有h 31 x26x 39 会 3 2.6 x h84正六棱柱的底面圆的

3、半径接球的半径R、：产%2.体积:1a，球心到底面的距离dR3.小结本题是运用公式R23d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V3 ,则其外 接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V3 ,则其外 接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则 有2R va2 b2 c2.出现“墙角”结构

4、利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为l Ja2 b2 c2 ,几何体的外接球直径为2R体对角线长l即 r a2 b2 c2 2练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,76,3,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面 积。球的表面积为S 4 R2 16例6一个四面体的所有棱长都为72,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3B. 4C. 3,3 D. 6例7已知球。的面上四点 A、B、C、D, DA 平面ABC, AB BC, DA AB BC <3 ,则球O的体积等于.解析：本题

5、同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径 .而利 用长方体模型很快便可找到球的直径，由于 DA平面ABC , AB BC ,联想长方体中的相应线段关系，构造如图 4所示的长方体，又因为DA AB BC <3 ,则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD图4CD2、例8 （2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上,AB 平面BCD, DC BC,若AB 6, AC 2v13,AD 8,则球的体积是解析：首先可联想到例7,构造下面的长方体，于是AD为球的 直径，O为球心，OB OC 4为半径，要求B、C两点间的球面距离, 只要求出 BOC即可，

6、在Rt ABC中，求出BC 4,所以 BOC 60 , 故B、C两点间的球面距离是4 .（如图5）3本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16B. 20C.24D.32 .小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直 径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为V2,点 S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 解:设正四棱锥的底面中心为Oi,外接球的球心为0 如图1所示.由球的截面的性质，可得001平面AB

7、CD.又SQ 平面ABCD，.二球心0必在SQ所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接 圆的半径就是外接球的半径.在 ASC中，由 SA SC 局,AC 2,得SA2 SC2 AC2,ASC是以AC为斜边的直角三角形 .处1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球-. 23小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半 径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方 法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们 学习.

8、五.确定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4,BC 3 ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512B.125 125 C.6解:设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分, 可知OA OB OC OD.,点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的半径R OA 5.故 V球 4 R3 125 . 236出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球。的球面上，AB BC且PA 7

9、, PB 5, PC <51, AC 10 求球 O 的体积。解： AB BC 且 PA 7,PB 5, PC ,AC 10因为 72 (751)2 102 所以知：AC2 PA2 PC2所以AP PC所以可得图形为:在Rt ABC中斜边为AC在Rt APC中斜边为AC取斜边的中点O ,在 Rt ABC 中 OA OB OC所以在几何体中OPOB OC OA,即为该四面体的外接球的球心5所以该外接球的体积为V 4 R3 50033在 Rt APC 中 OP OB OC【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1 .（陕西理？ 6） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上

10、，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A 3*3B 在C吏 dJ3答案 B2 .直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,则此球的表面积等于 。解:在 ABC中AB AC 2, BAC 120，可得BC 2万，由正弦定理，可 得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O ,球心为。，在RT OBO中，易得 球半径R娓,故此球的表面积为4 R2 20 .3 .正三棱柱ABC AB1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为.答案 84 .表面积为2/3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则

11、此球 的体积为A.逅B . 1C -D 也3333答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8上25知，4a 1 ,则此球的直径为72 ,故选A。5 .已知正方体外接球的体积是32 ,那么正方体的棱长等于（）3A.2 24.2可D.4_2 3答案 D6. （2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. 1 : <3B. 1 ： 3C. 1 ： 373D. 1 ： 9答案 C7. （ 2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为8答案4- 38. （2007天津理？ 12） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1, 2, 3,则此球的表面积为.答案 14九9. （2007全国II理？ 15） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2 4、, 210. （2006辽宁）如图，半径为 2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ,贝U止匕正六棱锥的侧面积是,答案6,711. （辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期