自动控制原理__(10)

1、江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理5.4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据（1）乃氏判据是根据开环频率特性判断闭环系统稳定性的一）乃氏判据是根据开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种几何判据。种几何判据。（2）乃氏判据乃氏判据不需要求解闭环系统的特征根，当系统某些环不需要求解闭环系统的特征根，当系统某些环节（延迟）无法用分析法写出时，可以通过实验法获得节（延迟）无法用分析法写出时，可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环稳定性。系统开环频率特性来判断闭环稳定性。（3）乃氏判据乃氏判据能给出系统的稳定裕量（幅值裕量、相位裕量）能给出系统的稳定裕量（幅值裕量、相

2、位裕量）来描述系统的相对稳定性，能指出提高和改善系统动态来描述系统的相对稳定性，能指出提高和改善系统动态性能的途径，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。性能的途径，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。（4）依据：映射（幅角）原理和系统稳定的条件。依据：映射（幅角）原理和系统稳定的条件。5.4.1 引言引言乃氏判据的乃氏判据的特点特点：本节主要内容：本节主要内容：乃氏判据、稳定裕量及计算。乃氏判据、稳定裕量及计算。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 点开环奈氏图为闭环系统临界稳定)0, 1(01)()(0)()(1)()()(1)()(jjjHjGsHsGsDs

3、HsGsGsjs先看下面对应关系先看下面对应关系因此，可因此，可称称GH中中(-1,j0)点点为使系统为使系统闭环稳定闭环稳定的的开环临开环临界点界点。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理5.4.2 幅角原理幅角原理映射原理映射原理(1) 辅助函数辅助函数F(s)11( )( )( )M sG sN s22( )( )( )MsH sNs设设1212( )( )( )( )( )( )M s MsG s H sN s Ns则：则：GK(s)=Dk(s)=N1(s)N2(s)()()()()()()()()()()()()(1)()(2121212121sMsMs

4、NsNsDsMsMsNsNsNsMsHsGsGsb 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理引入辅助函数引入辅助函数复变函数复变函数121212( )( )( )( )( ) 1( ) ( )( )( )N s N sM s M sF sG s H sN S N S )()(sDsDkb ( )F s( )F ssF (s)的特点的特点：(1)其其零点零点是是闭环闭环极点极点，其其极点极点是是开环开环极点极点，因此，因此F(s)的零、的零、极点个数（用极点个数（用Z表示）相同。表示）相同。(2)系统系统稳定条件是稳定条件是闭环所有极点即闭环所有极点即 F (s)的所

5、有零点全部位的所有零点全部位于于s左半平面左半平面。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理5(2) 幅角原理（映射原理）幅角原理（映射原理） 对于对于s内任一封闭曲线内任一封闭曲线s ，在，在F(s)内都能映射出另一封闭内都能映射出另一封闭曲线曲线F；当；当s包围包围F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点，且个极点，且s不通过不通过F(s)的的任何零、极点时，则当任何零、极点时，则当s顺时针顺时针方向沿方向沿 s转一圈转一圈时，时，F 逆时针逆时针包围包围其坐标原点其坐标原点N圈，且圈，且N=P-Z。 如下图说明：如下图说明： sjs0FjF(s)0Z iP lF

6、(s)的零点（的零点（Z个）个） 极点（极点（P个）个）N圈圈江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理6(3) 乃氏路径及映射乃氏路径及映射 选取选取s右半平面边界线为右半平面边界线为s，称为，称为乃氏路径乃氏路径。如图有：。如图有：=-j0-0+j-j 即：乃氏路径即：乃氏路径=虚轴虚轴+半径为半径为的半圆的半圆而半径为而半径为的半圆可表示为：的半圆可表示为： srsrj9090,e 因因nm，所以此时有：，所以此时有：lim( )lim1( )( )1ssF sG s H s 或或1+K 可见：可见：s内的乃氏路径即内的乃氏路径即s曲线曲线在在F(s)内的映射即

7、内的映射即F曲线曲线只决定于虚只决定于虚轴，即轴，即=-j0-0+j的部分。而此时的的部分。而此时的F即即F(j)曲线。曲线。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 特别说明特别说明：在奈氏路径中，：在奈氏路径中，= -0- 和和= 0+是关于实轴是关于实轴对称的，所以一般只需画出对称的，所以一般只需画出=0+的虚轴及其在的虚轴及其在F(s)平面的映平面的映射部分即可，为使奈氏判据使用起来简单，下面的讨论均指射部分即可，为使奈氏判据使用起来简单，下面的讨论均指=0+的虚轴及其映射部分。的虚轴及其映射部分。 (4) F(s)与与GH 的映射关系的映射关系F(s)=1

8、+ G(s)H(s) G(s)H(s)= -1+ F(s) F(s)坐标原点坐标原点 GH 即为（即为（-1, j0）点）点 所以：所以： 当当=0+变化时，变化时，F(s)内内F逆时针逆时针包围其坐标原包围其坐标原点的圈数点的圈数N=乃氏曲线乃氏曲线G(j)H(j)逆时针包围逆时针包围GH 内（内（-1，j0）点）点的圈数。即有下面对应关系：的圈数。即有下面对应关系：s F GH =0+s第一象限边界线第一象限边界线 乃氏曲线乃氏曲线G(j)H(j) F(j)曲线对应曲线对应=0+的部分的部分江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理8 由此，幅角原理可以叙述为：由

9、此，幅角原理可以叙述为： 如果某系统在如果某系统在s右半平面中含其闭环传递的右半平面中含其闭环传递的Z个极点和开环个极点和开环传函的传函的P个极点时，则个极点时，则s右半平面的包络线在右半平面的包络线在GH中的映射就是中的映射就是系统的开环奈氏曲线系统的开环奈氏曲线G(j)H(j)，而且当，而且当=0+变化时，奈变化时，奈氏曲线氏曲线G(j)H(j)逆时针逆时针方向包围（方向包围（-1, j0）点的圈数为：）点的圈数为：)-(21ZPN 其中：其中： N F (s)内内F逆时针包围其坐标原点的圈数，即逆时针包围其坐标原点的圈数，即GH 内内乃乃氏曲线氏曲线逆时针包围（逆时针包围（-1，j0）点

10、的圈数）点的圈数。 P s内内F (s)的极点数即的极点数即s右半平面右半平面开环极点数开环极点数。 Z s内内F (s)的零点数，即的零点数，即 s右半平面右半平面闭环极点数闭环极点数。 显然显然Z=0时系统稳定时系统稳定。此时。此时闭环系统稳定的充要条件闭环系统稳定的充要条件可表述可表述为：为：N = P/2。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理(1) 0型系统型系统 特点特点：系统：系统开环传函不含开环传函不含0极点极点，开环系统稳定。，开环系统稳定。 奈氏判据：当奈氏判据：当=0变化时，开环奈氏曲线变化时，开环奈氏曲线逆时针逆时针包围（包围（-1, j

11、0）点的圈数）点的圈数N = P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定，此时时，闭环系统稳定；否则不稳定，此时不稳定闭环特征根的个数为不稳定闭环特征根的个数为Z = P-2N。 设设P为系统开环传函右半平面极点数，为系统开环传函右半平面极点数，N为乃氏曲线为乃氏曲线逆时逆时针针包围包围临界点（临界点（-1，j0）的圈数。则的圈数。则乃氏稳定判据乃氏稳定判据为：为：5.4.3 乃氏稳定判据乃氏稳定判据)-(21ZPN (2) 非非0型系统型系统 特点特点：系统：系统开环传函含有开环传函含有0极点极点，开环系统处于临界稳定。，开环系统处于临界稳定。 说明：开环传函含有零极点因子，相当于说明：开环传函含有

12、零极点因子，相当于s 经过了经过了F(s)的零的零极点，这不符合幅角原理的要求，因此不能直接应用奈氏判据，极点，这不符合幅角原理的要求，因此不能直接应用奈氏判据，需要做一些数学处理。需要做一些数学处理。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理je0 090s()oo， 如图所示，可用半径为无穷小的如图所示，可用半径为无穷小的1/4圆圆弧弧“代替代替”s=0的极点。这的极点。这1/4圆弧可表示圆弧可表示为：为： 开环传函含有开环传函含有0极点因子的极点因子的数学处理数学处理：je0 090s()oo， 此时，开环传递函数可表示为：此时，开环传递函数可表示为： j00

13、0e( )( )( )( )()sKG s H sG s Hss j00o 可见，当可见，当s 沿半径为无穷小的圆弧从沿半径为无穷小的圆弧从j0变化到变化到j0+时，奈氏曲时，奈氏曲线则在无穷远处由线则在无穷远处由0变化到变化到-90，即，即顺时针顺时针方向变化的角度方向变化的角度为为90。 因此，若开环系统含有因此，若开环系统含有个积分环节，在应用奈氏判据时，个积分环节，在应用奈氏判据时，应先绘出应先绘出=0+的奈氏曲线，再从的奈氏曲线，再从=0+开始开始逆时针逆时针补画一个半补画一个半径为径为，相角为，相角为90的大圆弧增补线（至的大圆弧增补线（至=0处），作为奈氏曲处），作为奈氏曲线的起

14、始部分，然后再根据线的起始部分，然后再根据0型系统奈氏判据的方法判断系统的型系统奈氏判据的方法判断系统的稳定性。稳定性。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理乃氏稳定判据使用说明：乃氏稳定判据使用说明：(1) 乃氏曲线乃氏曲线 0型系统型系统乃氏曲线在乃氏曲线在= 0点是封闭的（加上实轴的一部点是封闭的（加上实轴的一部分），分），无需作辅助线无需作辅助线；对于；对于非非0型系统型系统，乃氏曲线，乃氏曲线= 0点不封点不封闭，闭，需做辅助线需做辅助线，方法是从，方法是从=0+开始开始逆时针逆时针作半径为作半径为，角度，角度为为90的圆弧至的圆弧至=0。(2) 开环

15、右半平面极点数开环右半平面极点数P可根据已知的开环传函确定。可根据已知的开环传函确定。(3) 乃氏曲线乃氏曲线逆时针逆时针包围包围(-1，j0)点时，点时，N为正为正；反之；反之N 为负。为负。(4) 乃氏曲线穿过（乃氏曲线穿过（-1，j0）点时，闭环临界稳定，此时）点时，闭环临界稳定，此时N是不是不定的。定的。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理乃氏稳定判据中乃氏稳定判据中N的简易判断方法的简易判断方法 穿越法穿越法 因为开环奈氏曲线因为开环奈氏曲线逆时针逆时针包围包围(-1, j0)点一圈，则其必然由点一圈，则其必然由上向下上向下穿越穿越(-1, j0)左边

16、负实轴一次，因此可利用左边负实轴一次，因此可利用=0变化时变化时开环奈氏曲线上、下穿越开环奈氏曲线上、下穿越(-1, j0)点左边负实轴的次数来计算点左边负实轴的次数来计算N，从而判断系统闭环稳定性。从而判断系统闭环稳定性。 将开环奈氏曲线从上而下，即逆时针穿越将开环奈氏曲线从上而下，即逆时针穿越(-1, j0)左边负实左边负实轴称为正穿越一次，用轴称为正穿越一次，用N+表示，反之称为负穿越一次，用表示，反之称为负穿越一次，用N- 表表示。如果奈氏曲线起始或终止于示。如果奈氏曲线起始或终止于(-1, j0)点以左的负实轴上，则点以左的负实轴上，则称为半次穿越，同样有称为半次穿越，同样有+0.5

17、次穿越和次穿越和-0.5次穿越。次穿越。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 则开环奈氏曲线在则开环奈氏曲线在=0变化时，逆时针方向包围变化时，逆时针方向包围(-1, j0)点的圈数为：点的圈数为： N = N+ - N- 【例题分析例题分析】见见P138-140例例5-75-10。练习：练习：P159习题习题5-7。作业：作业：P159-160习题习题5-6，5-8。本节结束！本节结束！江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理5.5 控制系统的控制系统的相对稳定性相对稳定性即：稳定裕量及指标即：稳定裕量及指标1. 开环频率特性图上

18、系统开环频率特性图上系统临界稳定点（线）临界稳定点（线） (-1，j0)为乃氏图为乃氏图上使系统闭环稳定的上使系统闭环稳定的开环临界点开环临界点。 对应对应Bode图上为两条图上为两条临界稳定线临界稳定线：1800120)(lg)( dBL幅频临界线幅频临界线相频临界线相频临界线江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理2. 定义两个重要的定义两个重要的频率频率： 截止频率截止频率 c：开环乃氏图上对应于幅值为：开环乃氏图上对应于幅值为临界值临界值1的点的频的点的频率或率或 幅频幅频Bode图与临界线图与临界线0db线（线（轴）的交点频率。表达轴）的交点频率。表达式为

19、：式为：A(c)=1或或L(c)=0dB。穿越频率穿越频率 x：开环乃氏图上对应于相位为临界值：开环乃氏图上对应于相位为临界值-180的点的点的频率或相频的频率或相频Bode图与图与-180临界线的交点频率。临界线的交点频率。 表达式为：表达式为： ( x)= -180 。3. 稳定裕量稳定裕量定义：在频率特性图中，稳定裕量是指系统的定义：在频率特性图中，稳定裕量是指系统的稳定运行点稳定运行点到到临临界稳定点界稳定点（临界稳定线）临界稳定线）之间的之间的“距离距离”。在实际工程。在实际工程系统中常用系统中常用相位裕量相位裕量和和增益裕量增益裕量h表示。表示。江南大学物联网工程学院江南大学物联网

20、工程学院自动控制原理自动控制原理u 相位裕量又称相角裕量相位裕量又称相角裕量(Phase Margin) ：定义：相位裕量是指定义：相位裕量是指在截止频率在截止频率 c处，使系统达到不稳定时所处，使系统达到不稳定时所需要需要附加的相角滞后量附加的相角滞后量。 0180()180cccG jH j 定义表达式：定义表达式：物理意义物理意义：()180c u 幅值裕量又称增益裕量幅值裕量又称增益裕量(Phase Margin)h：定义：增益裕量定义：增益裕量是指是指在穿越频率在穿越频率 x处，使系统达到不稳定时，处，使系统达到不稳定时，开环频率特性的开环频率特性的幅值还可以增加的倍数幅值还可以增加

21、的倍数。)()(lg20)(lg20lg20)(:)()(1)(1xxxxxxxHGAhLBodeHGAh 图中图中乃氏图中：乃氏图中：物理意义物理意义：1)( hAx 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理0Kg1乃氏图上的相位裕度与幅值裕度乃氏图上的相位裕度与幅值裕度（a）稳定系统稳定系统ReIm -1cgMNIm 1负相位裕度负相位裕度（b）不稳定系统不稳定系统gImReMN0Kg1M点点N点点)(1801)(ccA)(1180)(xxAhh1h1江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理Bode图上的相位裕度与幅值裕度图上的相位裕

22、度与幅值裕度c902701800dB20lgh0dB（a）稳定系统稳定系统( c x)0 180902701800dB20lgh0dBg（b）不稳定系统不稳定系统( c x)0 180)(0)(lg20)(cccdBAL)(180)(lg20lg20 xxAhccxx江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理结论：结论：0o 根据稳定裕量指标可判断系统稳定性根据稳定裕量指标可判断系统稳定性 0，h1或或20lgh 0dB时系统稳定时系统稳定 0 ，h=1或或20lgh= 0dB 时系统临界稳定；时系统临界稳定； 0，h1或或20lgh 0dB 时系统不稳定；时系统不稳

23、定； 对对最小相位最小相位系统，因为系统，因为与与h（20lgh）有唯一的对应关系，）有唯一的对应关系，因此，可因此，可只用相位裕量只用相位裕量来判断系统的稳定性来判断系统的稳定性。一般工程要求：一般工程要求：=30 60； 20lgh=610dB。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理相对稳定性在乃氏图与相对稳定性在乃氏图与Bode图中的比较图中的比较（a）系统稳定）系统稳定（b）系统临界稳定）系统临界稳定（c）系统不稳定）系统不稳定江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理u 两种特殊情况两种特殊情况 的处理：的处理：（a）曲线与单位

24、圆有三个交点，其相角裕度的值各不相同；）曲线与单位圆有三个交点，其相角裕度的值各不相同；（b）曲线与负实轴有三个交点，其幅值裕度的值也各不相同。）曲线与负实轴有三个交点，其幅值裕度的值也各不相同。 对以上两种特殊情况，一般以对以上两种特殊情况，一般以最坏最坏情况考虑情况考虑。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 根据定义首先计算两个截止频率根据定义首先计算两个截止频率c和和g： c的计算的计算： 方法方法1：根据开环传函由各转折频率分段，写出近似表达：根据开环传函由各转折频率分段，写出近似表达式，令式，令A(c)=1c； 方法方法2：先绘幅频：先绘幅频Bode图

25、图L() 三角形关系三角形关系c。 x 的计算的计算： 方法方法1：令：令(x)=-180 x； 方法方法2：G(j) H(j)=P() +jQ() 令令Q()=0 x。 分别计算分别计算和和h：的计算的计算：u 两种稳定裕量两种稳定裕量 的的计算计算：)(180c 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理h的计算的计算：4. Bode图与系统性能的关系：图与系统性能的关系： 低频段低频段K，稳态性能稳态性能且且K、e ss稳态性能稳态性能低频段越高、越陡低频段越高、越陡)()(lg20)(lg20lg20)(:)(1)()()(xxxxxxxxHGAhLBodeA

26、hHGA图中乃氏图中：中频段中频段c和和c处的斜率及中频宽处的斜率及中频宽动态性能动态性能ct s动态快速性且动态快速性且c t s快速性快速性c处的斜率处的斜率相对稳定性，要求为相对稳定性，要求为-20dB/dec且所占频带且所占频带越宽，系统稳定性越好。越宽，系统稳定性越好。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理- 20dB/dec系统一定稳定且系统一定稳定且也较大。也较大。 - 40dB/dec系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，也不大。也不大。 - 60dB/dec系统一定不稳定。系统一定不稳定。 高频段：反应系统抗高频

27、噪声的能力。高频段：反应系统抗高频噪声的能力。 高频段越陡，抗干扰能力越强。高频段越陡，抗干扰能力越强。【例题分析例题分析】)(.()(1211010ssssGK 已知单位负反馈系统已知单位负反馈系统 ，试求，试求和和h。计算结果：计算结果：c2.2s-1，0.4；x2.2s-1，h1(0dB)作业：作业：P160习题习题5-12，5-17。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理5.8 闭环频率特性与时域性能指标闭环频率特性与时域性能指标5.8.1 闭环频率特性主要性能指标闭环频率特性主要性能指标( )R s( )C sG(s)图5.59 一单位负反馈系统()()

28、1()G jjG j()()()( )( )1( )jjjAeMeAe 闭环系统的幅频特性与相频特性为：闭环系统的幅频特性与相频特性为：( )()Mj ( )()j 闭环系统对数幅频特性为：闭环系统对数幅频特性为：20lg( )20lg()Mj江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 M0=1时系统为时系统为无静差系统，否则为有静差系统。无静差系统，否则为有静差系统。M(0)越接越接近近1，则，则有差系统的稳态误差越小。有差系统的稳态误差越小。 零频幅值零频幅值M0定义：定义：=0时的闭环幅频时的闭环幅频特性特性M()的值。即的值。即:0( 0)( 0)C jMR

29、j 意义：零频幅值意义：零频幅值M0表表示系统的示系统的稳态性能。稳态性能。 谐振峰值谐振峰值M r 和峰值频率和峰值频率r 定义：定义：Mr定义为闭环幅频特性的最大值定义为闭环幅频特性的最大值 Mm与零频幅值与零频幅值M0之比。之比。即：即：mr0MMM 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理意义：意义：Mr表征系统相对稳定性；表征系统相对稳定性；r表征系统的动态响应速度。表征系统的动态响应速度。 Mr相对稳定性相对稳定性；r快速性快速性 。r是对应于谐振峰值处的频率是对应于谐振峰值处的频率 。 带宽频率（带宽）带宽频率（带宽） b 定义：闭环幅频特性的幅值减小到定义：闭环幅频特性的幅值减小到0.707M0时的频率。时的频率。 意义：反应系统对噪声的滤波特性。意义：反应系统对噪声的滤波特性。b越越大，大，频带越宽，频带越宽，表表明系统能通过的信号频率很宽，反应速度快；明系统能通过的信号频率很宽，反应速度快；b越小，