空气中PM2.5问题的研究

1、参赛密码 （由组委会填写） “华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛学 校参赛队号队员姓名1.2.3.1参赛密码 （由组委会填写）题 目 空气中PM2.5问题的研究摘 要：本文主要是分析空气中PM2.5的污染问题，建立了相关分析、多元线性回归模型、模糊综合评价模型、改进柯西分布函数模型、双目标非线性规划模型等，通过定性定量分析，从与PM2.5相关因素分析、分布与演变以及空气质量控制管理等方面进行研究与分析。问题一：1、针对第一问，主要定性定量分析PM2.5余其它5项指标的相关性与独立性。首先，对附件1数据进行初筛和归一化处理，剔除缺失值。其次，建立相关分析模型，分析了各个AQI指标之间的相关性

2、，发现PM2.5与其它除分指标的相关系数均大于0.7，线性相关程度较高；与各个分指标均呈负相关。然后，根据正态性原则，选出不满足统计学规律的点，由上述相关性结论检验这些异常点。2、针对第二问，建立了PM2.5与其它5项分指标之间的多元线性回归模型，并根据剔除缺失值和异常数据求解多元回归方程后，结果为：问题二：1、针对第一小问，本文将时空分布规律分别建立时间模型与空间模型进行求解。首先，建立PM2.5与SO2、NO2、PM10的三元线性回归方程来估计数据2中PM2.5中缺失的2010年1月到2012年12月的数据得到PM2.5的时间分布图，然后建立关于PM2.5的二维插值模型得到了关于各地区的空

3、间分布图。最后根据环境空气质量标准建立了模糊综合评价模型，并根据最大隶属度原则将13个地区的污染程度进行评估，模型结果表明：13个监测点污染程度为轻度污染的有：小寨、长安区、临潼区、曲江文化集团和纺织城，中度污染的有：阎良区、兴庆小区、经开区、广运潭、市人民体育场、草滩、高新西区和高压开关厂。2、针对第二小问，本文建立了不同季节下关于风力、湿度、温度的三元线性回归模型，并利用该地的数据对PM2.5的分指标进行定性与定量的分析，针对第三小问，建立了高斯点源扩散模型，分析扩散与衰减现象。3、针对第三小问，本文建立了PM2.5的浓度扩散模型PM2.5；然后，对PM2.5 污染扩散预测模型进行了参数估

4、计；最后，代入实例得到了各个监测点PM2.5 浓度的预测评估结果，如高新西区为重度污染区域，广运潭为安全区域。4、针对第四小问，用残差检验与稳定性检验了模型合理性，并总结已有研究成果给出了PM2.5 的成因、演变等一般性规律。问题三：1、针对问题一，给出合理的PM2.5治理计划：考虑到实际环境治理过程中，往往是分期进行治理工作的，而且治理进度是先慢变快，再由快变慢（这种变化规律与柯西分布函数的变化规律很相似）。因此可以将PM2.5的治理计划分为前期（准备期），中期（治理期），后期（稳固期）三个时期，并由改进的柯西分布函数对治理计划进行模拟，得出与实际环境治理过程相符的分期治理计划如下：时期前期

5、中期后期年次第一年第二年第三年第四年第五年年终平均浓度256.9381176.5296101.591358.0335治理量23.061980.408974.937943.561323.032、针对问题二，本文考虑经济投入与决策部门满意度两个因素，建立双目标规划模型，既使得五年投入的总经费较少，又使决策部门对投入金额造成的结果满意度较高。在求解过程中，通过将满意度作为约束条件，将双目标规划转化为单目标规划求解，通过不断改变满意度得出4中不同方案，将4种方案合理对比得到了最后的方案为：五年投入总费用为8.59（百万元），每年综合治理量为1.39，专项治理量为8.01，此时的满意度为90% 。一、问

6、题重述1.1 问题背景空气，我们每天都呼吸着的“生命气体”，它的质量直接关乎着人类的生产、生活和生存。因此，空气质量问题的监测、预报和控制等问题是全国人民关注的重点。2012年环境保护部公布的环境空气质量标准，增设了PM2.5和臭氧8小时平均浓度限值；调整了原有指标的浓度限值；并试行了AQI作为空气质量监测指标的规定。该规定中，首次将产生灰霾的主要因素PM2.5的浓度指标列入空气质量监测指标中。1.2 问题重述PM2.5的来源有自然源和人为源，主要成分由水溶性离子、颗粒有机物和微量元素等组成。其形成机理和过程比较复杂，而且进入公众视线的时间很短，所以关于细颗粒物PM2.5的数据相对较少，对于细

7、颗粒物PM2.5的客观规律也了解不够。因此，我们利用现有数据研究以下问题。1.2.1 PM2.5的相关因素分析AQI监测指标为：二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒物PM10、细颗粒物PM2.5、臭氧和一氧化碳等6 项。有研究表明，二氧化硫、二氧化氮和一氧化碳是可能形成PM2.5的气态物体，请根据附件1或附件2中数据或自行采集数据，利用或建立适当的数学模型对AQI中的6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析。如果你们进而发现AQI基本监测指标以外的、与PM2.5强相关的（可监测的）成分要素，请陈述你们

8、的方法、定量分析结果、数据及来源。1.2.2 PM2.5的分布与演变及应急处理请依据附件2、附件3中的数据或自行采集某地区的数据，通过数学建模探索完成以下研究：1、描述该地区内PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的环境空气质量标准分区进行污染评估。2、建立能够刻画该地区PM2.5的发生和演变（扩散与衰减等）规律的数学模型，合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响，并利用该地区的数据进行定量与定性分析。3、假设该地区某监测点处的PM2.5的浓度突然增至数倍，且延续数小时，请建立针对这种突发情形的污染扩散预测与评估方法。并以该地区PM2.5监测数据最高的一天为例，在全地区PM2.5

9、浓度最高点处的浓度增至2倍，持续2小时，利用你们的模型进行预测评估，给出重度污染和可能安全区域。4、采用适当方法检验你们模型和方法的合理性，并根据已有研究成果探索PM2.5 的成因、演变等一般性规律。1.2.3 空气质量的控制管理数据1所在地区的环境保护部门考虑治污达标的紧迫性和可行性，在未来五年内，拟采取综合治理和专项治理相结合的逐年达到治理目标的方案。请考虑以下问题：1、该地区目前PM2.5的年平均浓度估计为280（单位为），要求未来五年内逐年减少PM2.5的年平均浓度，最终达到年终平均浓度统计指标35（单位为），请给出合理的治理计划，即给出每年的全年年终平均治理指标。2、据估算，综合治理

10、费用，每减少一个PM2.5浓度单位，当年需投入一个费用单位（百万元），专项治理投入费用是当年所减少 PM2.5浓度平方的0.005倍（百万元）。请你为数据1所在地区设计有效的专项治理计划，使得既达到预定PM2.5减排计划,同时使经费投入较为合理，要求你给出五年投入总经费和逐年经费投入预算计划，并论述该方案的合理性。二、问题分析2.1 问题一的分析对于问题一，可以分为两个小问：首先要定量分析AQI中6个检测指标之间的相关性和独立性；其次主要分析PM2.5的浓度指标与另外5个分指标之间的相关性。针对第一小问，附件1给出的大量数据，不可避免的会出现数据缺失和异常值，数据缺失会对相关性分析有一定影响，

11、所以首先需要对数据进行预处理，剔除缺失值。在分析各指标相关性时，个别异常值对于相关性分析影响不大，所以暂时不作剔除。第一小问，定量分析6项指标之间相关性时。由于各个指标的标准不同，首先利用对数据进行归一化处理，然后再利用处理得到相关系数来衡量各个指标之间的关系强度。然后根据大样本数据需要满足正态性原则，即剔除不满足统计学规律，远离数据正态分布所对应的位置的点和浮动范围脱离总体的点。最后根据第一小问得出的相关性定量关系，检验由于不满足正态原则而剔除的数据是否合理。针对第二小问，要求建立分析PM2.5和其5项指标的相关性模型，本文将PM2.5作为因变量，其它指标作为自变量，利用第一小问预处理后的数

12、据，建立多元线性回归方程，从而得到PM2.5值与其余5项分指标的相关方程。2.2 问题二的分析针对问题二第一小问，需要综合时间和空间分析PM2.5的分布状况，而时空分布图是一个四维图，不便于绘制，所以本文将时空分布图分为时间分布图和空间分布图分别建立模型进行分析。首先建立PM2.5与SO2、NO2、PM10的三元线性回归方程来估计数据2中PM2.5中缺失的2010年1月到2012年12月的数据得到PM2.5的时间分布图，然后建立关于PM2.5的二维插值模型得到了关于各地区的空间分布图。最后根据环境空气质量标准建立了模糊综合评价模型，并根据最大隶属度原则对13个地区的污染程度进行评估。针对问题二

13、第二小问，够刻画该地区PM2.5的发生和演变的数学模型并考虑风力、湿度等天气和季节因素，并利用该地的数据进行定性与定量的分析。因此本文建立了不同季节下关于风力、湿度、温度的三元线性回归模型，并建立高斯点源扩散模型分析其扩散与衰减现象。针对问题二第三小题，在第二小问的基础，建立了针对此突发情况的基于高斯点源函数的污染扩散预测二维插值模型，并找出了全地区最高浓度PM2.5的一天，使其浓度增至两倍并持续两小时，并用所建立的模型进行预测，根据MATLAB的仿真结果得到了重度污染与可能污染的区域。2.3 问题三的分析针对问题三第一小问需要给出一份合理的治理计划。本文考虑到实际环境治理过程中，往往是分期进

14、行治理工作的，而且治理进度是先慢变快，再由快变慢。这种情况与可惜分布函数较为类似。因此可以将PM2.5的治理计划分为前期（准备期），中期（治理期），后期（稳固期）三个时期，并使用改进柯西分布函数对治理情况加以模拟，得出与实际情况相符合的分期治理计划。针对问题三第二小问需要给出五年投入总经费和逐年经费投入预算计划，本文考虑经济投入与决策部门满意度两个因素，建立双目标规划模型，既使得五年投入的总经费较少，又使决策部门对投入金额造成的结果满意度较高。三、模型假设与符号说明3.1 模型假设1、假设测量仪器没有损坏，异常数据为不可避免的人为统计；2、假设全市天气处于均一的条件下；3、假设风向流动稳定，风

15、速不会变；4、假设排放源是连续且均匀的，不会受其他因素影响；5、假设不用考虑PM2.5治理的其他可能情况，只考虑综合治理和专项治理。3.2 符号说明各指标第天所测数据综合治理投入的总费用各指标中归一化处理后的值专项治理投入的总费用已知数据点与选定点的距离第年PM2.5年终平均指标点对应的数据值满意度数据点与选定点的加权平均值综合治理第年减少的PM2.5浓度各监测点的权向量专项治理第年减少的PM2.5浓度四、问题一的模型建立与求解4.1 数据的初筛观察附件1给出的1422个样本数据，发现个别样本的数据值缺失以及可能的异常值，例如，2013年4月29日以及6月7日的PM10数据缺失。由于这些缺失值

16、会对相关性和独立性分析过程中有一定影响，所以本文首先对数据进行预处理，减小在分析过程中产生的误差，因此，将2013年4月29日以及6月7日的数据舍去。4.2 数据归一化由于各原始数据的量纲往往不一样，指标值的数量级也差别很大，为了使各因素之间具有可比性，需对原始数据进行无量纲化、无数量级的处理，以便比较不同量纲和不同数量级的各个因素，可以采取数值归一化。即将数据映射到01范围内处理，更加便捷快速。由于AQI是无量纲指数1，所以只需要对附件1的数据进行无数量级的处理，根据线性函数转换，表达式如下： （1）其中，表示各指标第天所测数据；表示各指标中归一化处理后的值；表示第天。4.3 相关与独立性定

17、量分析模型的建立相关分析4是处理变量与变量之间关系的一种统计方法，通常利用两个变量之间的相关系数来分析变量之间的线性相关程度，据此进行线性回归分析，所以要分析AQI中6项监测指标之间的相关性和独立性，就是要得到各因素之间的相关系数。本题中通过积差相关系数中的简单相关系数来判断相关关系。相关系数计算公式为： （2）其中，表示相关系数介于-11之间；表示样本数；和分别表示两变量的第天所测数据，和分别为表示变量的平均值。当时，表示两变量负相关，时，两变量为正相关；当时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系；当时，表示两变量间无线性相关关系；当时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且越接近1，两变量

18、间线性关系越密切；越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。一般分为三个等级：（1）为低度线性相关；（2）为显著性相关；（3）为高度线性相关。4.4 相关与独立性定量分析模型的求解用处理AQI中6个分指标以及对应污染物含量归一化后的数据，得到的相关系数，计算结果如表4-1所示。表4-1 AQI中6个分指标之间的相关系数指标二氧化硫二氧化氮PM10一氧化碳臭氧PM2.5二氧化硫10.8050.6780.657-0.1820.724二氧化氮0.80510.7270.625-0.0650.732PM100.6780.72710.586-0.0690.779一氧化碳0.6570.6250.5861-0.3

19、830.822臭氧-0.182-0.065-0.069-0.3831-0.355PM2.50.7240.7320.7790.822-0.3551由表4-1可以得到：（1）高度线性相关的指标组（）：（）,（）,（）,（）,（）,（）。（2）显著性相关的指标组（）：（）,（）,（）,（）。（3）低度线性相关的指标组（）：（）,（）, （）, （）,（）。（4）PM2.5与其它除分指标的相关系数均大于0.7，线性相关程度较高；与各个分指标均呈负相关。4.5 检验检测数据的正确性和准确性在对大样本的测试过程中，不可避免的存在一定的误差，因此需要检测结果的正确性，这是提高数据质量的重要措施和关键环节。4

20、.5.1 正态分布性剔除异常值由于自然届大多事物都是近似正态分布的，因此测试结果的正确性也就是检测数据的正态分布性，将不满足统计规律的数据剔除。检验数据的正态分布性有多种方法：频数分布直方图、图、图等。本文利用软件，对数据1中武汉市检测点数据绘制图，检验其正态分布性，剔除异常值。图是以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指标坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限曲线附近。以可吸入颗粒物正态Q-Q图为例（其余见附录一），如图4-1所示：图4-1 可吸入颗粒物正态Q-Q图观察图4-1，可吸入颗粒物的分空气质量分指数大致服从正态分

21、布，但是有两个点明显不符合正态分布，远离数据正态分布所对应的位置，需要将其剔除。由此方法得到可能的异常值有2013年1月27日的PM10和PM2.5监测值，以及3月10日的PM10监测值，2月2日的监测值。4.5.2 异常值检验根据第一小问相关性模型得出的相关性结论，相关性大的两个分指标，如果其中一个指标的值过大或过小，则另一个检测值也应与其相关。因此，按照此原则分析检验所提出的异常数据发现，可吸入颗粒物与PM2.5的相关系数为0.779，且显著性水平0<0.05，因此我们可以认为可吸入颗粒物与PM2.5具有显著的相关性。因此预处理的数据中1.27日数据为正常数据，予以保留。综上所述，所

22、删除的异常值为：4.6 PM2.5含量与其它5项分指标的相关性模型建立多元线性回归分析的模型为： （3）式中都是与无关的未知参数，其中称为回归系数。现得到个独立观测数据，由（3）得 （4）记为 （5）因此，（3）可以表示为 （6）其中，为阶单位矩阵。根据多元线性回归模型得到多元线性回归方程： （7）其中表示PM2.5的归一化后数值，分别代表其它5项分指标的含量，代表回归系数，表示随机误差。4.7 多元线性回归模型的求解4.7.1 剔除缺失值与异常值前模型的求解运用最小二乘法，利用直接对多元线性回归方程进行求解，得到结果如表4-2：表4-2 多元线性回归系数回归系数参数估计值0（常量）-0.02

23、11（SO2）0.0342（NO2）0.113 3（PM10）0.5764（CO）0.4975（O3）-0.126R=0.915， p<0.0001由表4-2可知，此回归方程91.5%可以解释其余5项指标对应污染物与PM2.5的关系，并由显著性检验可知其Sig=0.0001<0.05，满足显著性检验。因此，此回归模型可用，其回归方程为： （8）其中，为二氧化硫含量，为二氧化氮含量，为可吸入颗粒物，为一氧化碳，臭氧。4.7.2 剔除缺失值与异常值后模型的求解运用最小二乘法，利用直接对多元线性回归方程进行求解，得到结果如表4-3：表4-3多元线性回归系数回归系数参数估计值0（常量）-0

24、.0331（SO2）-0.0162（NO2）-0.0373（PM10）1.0784（CO）0.4395（O3）-0.160R=0.946， p<0.0001由表4-3可知模型拟合度为0.946，说明此回归方程作为线性拟合的概率为94.6%可用，并且由显著性检验可知其Sig=0.0001<0.05，满足显著性检验，此回归方程可用，其结果为： （9）其中，为二氧化硫含量，为二氧化氮含量，为可吸入颗粒物，为一氧化碳，臭氧。综上所述，比较剔除缺失值与异常值前后的线性回归方程，剔除后的相关系数R比剔除前大，解释度更高，所以优先选择方程（9）作为最终多元线性回归方程。同时观察线性回归方程（9）

25、的回归标准残差的标准P-P图（如图4-2），检验此五元线性回归模型。结果表明，此回归方程的标准化残差满足标准化残差P-P图，因此PM2.5与其他5项分指标及其与对应污染物含量之间的相关性可以用回归方程（9）来描述。图4-2 回归标准残差的标准P-P图五、问题二的模型建立与求解5.1 PM2.5的时空分布及其规律的模型建立及求解要描述PM2.5的时空分布及其规律，需要综合时间和空间分析PM2.5的分布状况，而时空分布图是一个四维图，不便于绘制，所以本文将时空分布图分为时间分布图和空间分布图建立模型进行分析。5.1.1 PM2.5的时间分布及其规律的模型建立及求解在问题一中，本文建立了关于PM2.

26、5的五元线性回归模型，但是由于数据二中损失了大量的PM2.5、与的数据，同时与PM2.5的相关性不高，因此，在问题二中，无法采用五元线性回归模型。但是根据问题一的结论，PM2.5与SO2、NO2、PM10的线性相关度高并呈正相关，因此可以反映与PM2.5的关系，所以本文建立PM2.5与SO2、NO2、PM10的三元线性回归方程来估计数据2中PM2.5中缺失的2010年1月到2012年12月的数据。根据2010年1月到2012年12月已知的SO2、NO2、PM10数值，利用多元线性回归模型得到PM2.5关于SO2、NO2、PM10的线性回归方程为： （10）以高压开关厂和兴庆小区为例，根据三元回

27、归方程（10）可以估算得到2010年1月到2012年12月PM2.5缺失的分指数数据，并根据时间序列画出PM2.5的2010年至2013年的PM2.5分指数时间分布图，如图5-1所示。（其余地区时间分布图见附录二）：图5-1 高压开关厂和兴庆小区PM2.5分指数时间分布图由图5-1可以看出，高压开关厂和兴庆小区从2010年到2012年的PM2.5的分指数呈现同样的趋势，在1月和12月前后都是最高的6月左右是最低的，按照季节排序：冬秋春夏。5.1.2 基于Shepard二维插值的PM2.5空间分布模型的建立1. 数据的采集与处理用谷歌地图标出西安市13个监测点的坐标位置，并用Excel算出各地区

28、2013年1月1日2013年4月6日时间段的平均PM2.5分指数值，见表5-1：表5-1 西安市13个监测点的坐标和平均PM2.5分指数监测站X轴Y轴平均PM2.5分指数高压开关厂0.000.00213.75兴庆小区-6.75-0.34194.21纺织城15.220.95188.28小寨3.18-0.65174.90市人民体育场6.110.28204.63高新西区-1.79-4.59210.90经开区3.788.93196.46长安区-0.28-12.10178.64阎良区30.4143.91190.56临潼区29.4911.62179.17曲江文化集团6.50-8.26182.62广运潭13

29、.996.15204.03草滩8.2019.96210.042. Shepard二维插值模型根据题干与附件相关数据，当给定城区地点坐标（x, y），既可以确定该点的PM2.5含量。因此建立任意空间平面点坐标与该空间点PM2.5浓度的对应函数关系为：在实际的解决上述表达式时，由于位置、浓度组成的三维曲面拟合非常困难，因此很难得到精准的模型表达式，所以本文利用数值二维插值的方法定量给出空间的分布值。本文使用的Shepard方法又称为反距离加权平均法，该方法的基本思想是：在费给定的数据点处，定义其数值由已知点的数据与该点距离做加权平均值，即： （11）其中，为已知数据点与选定点的距离，为点对应的数据

30、值，为数据点与选定点的加权平均值。5.1.3 基于Shepard二维插值的PM2.5空间分布模型的求解根据表5-1中数据，用（程序见附录三）作出各监测点含量随位置变化的三维空间图5如图5-2所示，同时给出了其PM2.5分指数等势分布图如图5-2：图5-2 各监测点PM2.5含量二维插值图图5-3 各监测点PM2.5分指数等势图由图5-2可以看出，PM2.5污染浓度较轻的地区是小寨、长安区、临潼区、曲江文化集团和纺织城；污染较严重的是阎良区、兴庆小区、经开区；污染程度严重的是广运潭、市人民体育场、草滩、高新西区和高压开关厂。5.2 PM2.5的污染模糊综合评价模型的建立模糊综合评价方法2，是应用

31、模糊关系合成的原理，从多个因素（指标）对被评价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法，其具体的步骤为： （1）确定被评判对象的因素论域，；（2）确定评语等级论域，。通常评语有（很高，高，较高，···，较低，低，很低）；（3）进行单因素评判，建立模糊关系矩阵 （12） 其中为中因素对于中等级的隶属关系；（4）确定评判因素权向量，是中各因素对被评事物的隶属关系，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼点，即根据评判时各因素的重要性分配权重；（5）选择评价的合成算子，将与合成得到。 （13）其中：为PM2.5污染程度综合评价指数，为模糊算子。5.3 PM2.5的污染模糊综

32、合评价模型的求解首先根据新修订的环境空气质量指数将PM2.5指数划分为六个等级41，评语等级论域（优，良，轻度污染，中度污染，重度污染），得到单因素评判矩阵：对附件2中13个监测站点PM2.5指数进行统计，得到各个站点的PM2.5对应的等级频数，如表5-2：表5-2 13个监测站点PM2.5指数的频数监测站一级二级三级四级五级六级高压开关厂11227232526兴庆小区11930171722纺织城02431191621小寨52234122414市人民体育场01723161925高新西区21723202326经开区12026161919长安区32629122615阎良区22121222817临潼

33、区12820151916曲江文化集团22236112316广运潭11428221528草滩11324222824然后，根据表5-2可以得到评判因素权向量：其中，为各监测点的权向量。最后，通过模糊矩阵合成运算得到目标综合评判为以高压开关厂为例，运用编程得到综合评价集，该地区的PM2.5指标综合评价集说明各评价等级的评价值为：优1，良7.2，轻度污染29.45，中度污染42.25，重度污染35.1。根据最大隶属度原则，中度污染42.25作为该地区空气质量综合评价结果，即该地区污染情况为中度污染。最后，运用上述评价方法，对所有监测点进行评价，13个监测点最后综合评判结果如表5-3（程序见附录四）：表

34、5-3 13个监测点最后综合评判结果监测站评价集结果高压开关厂17.229.4542.2535.1中度兴庆小区111.433.134.826.7中度纺织城014.436.335.9525.35轻度小寨513.235.8533.0524.9轻度市人民体育场010.226.933.1530.75中度高新西区210.227.93833.9中度经开区11230.4532.925.65中度长安区315.633.9532.626.85轻度阎良区212.628.853929.55中度临潼区116.83229.623.4轻度曲江文化集团213.2373325.8轻度广运潭18.430.738.330.6中度草

35、滩17.827.541.335.4中度综上，13个监测点污染程度为轻度污染的有：小寨、长安区、临潼区、曲江文化集团和纺织城，中度污染的有：阎良区、兴庆小区、经开区、广运潭、市人民体育场、草滩、高新西区和高压开关厂。这和表5-1所显示的PM2.5分指标平均值污染程度相符合，表明模糊综合评价模型可行。5.4 问题二第2小问模型的建立与求解问题要求建立能够刻画该地区PM2.5 的发生和演变（扩散与衰减等）规律的数学模型，合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响，并利用该地区的数据进行定量与定性分析。对此，可先利用该地区的数据进行PM2.5 与风力、湿度等天气和季节因素间的多元回归分析，即建立PM2.

36、5 浓度的估算模型；然后，考虑PM2.5 自身的扩散问题，可利用大气污染物的扩散原理建立PM2.5 扩散的偏微分方程模型。5.4.1 PM2.5与气象因素间的多元回归模型的建立1. 数据预处理及相关性分析PM2.5 扩散时，除了自身扩散机理外，其还受一些气象因素的影响，如空气湿度、温度、风速、风压等天气和季节因素的影响。对于季节，我国对季节的划分：将一年分为四个季节，即春、夏、秋、冬。农历一至三月为春季；四至六月为夏季；七至九月为秋季；十至十二月为冬季。对于湿度，与天气状况有着密切的关系，本文在查阅气象局信息与大量文献后，将数据中的天气状况近似做了如表5-4所示的转换。表5-3 13个监测点最

37、后综合评判结果天气状况晴多云阴小雪雨夹雪小雨相对湿度30%40%50%60%70%80%对于温度，则取数据3中最高温与最低温度的平均值。对于风速，根据风速与风级的对照表，由于基本都为小于等于三级风，若为平均值或等级值将为定常数不具有统计作用，对此我们另外在相关气息官网上查阅到的该地区风速情况的具体数据以及历史数据，对此为风速数据。2. PM2.5 与气象因素间多元线性回归模型的建立将PM2.5与湿度、温度、风速等因素建立三元回归模型，并将2013年数据分为春、夏、秋、冬来分别建立三元回归模型假设其多元线性回归模型为： （14）其中，自变量为湿度，为温度，为风速，因变量y为PM2.5的分指数值为

38、随机误差，且服从。5.4.2 PM2.5与气象因素间的多元回归模型的求解采用采用最小二乘估计法，通过SPSS可计算出回归系数，从而可得春夏秋冬晚四种情形的三元回归方程，如下表5-4所示。季节PM2.5 分指数与各气象因素间的回归方程R统计量春季夏季秋季冬季从结果可知：六、问题三模型的建立与求解6.1 第一小问PM2.5治理模型的建立考虑到实际环境治理过程中，往往是分期进行治理工作的，而且治理进度是先慢变快，再由快变慢，治理前期：需要进行很多的准备工作，治理过程遇到的困难也最多，进度自然很慢。治理中期：有了前期的准备工作及治理经验作基础，较前期而言，治理进度会大幅提升。治理后期：需要对前期及中期

39、的治理成果进行稳固，而且由于治理量已经减少到一个相对较小的水平，因此如果需要使PM2.5继续减少，要付出的努力必然更大，因此在治理后期，治理进度会很低。 为了与实际治理过程相符，本文决定对PM2.5的治理采用分期治理的方法，将未来5年分为三个时期：前期（第一年）、中期（第二三四年）、后期（第五年）。考虑到分期治理计划的治理进度首先由慢变快，然后在再由快变慢。这种变化规律与柯西分布函数的斜率（y的变化快慢）变化规律相似，因此可以考虑使用柯西分布函数来确定每个时期PM2.5的治理计划。柯西分布函数为： （15）其中，。图6-1 柯西分布函数图形6.2 基于改进柯西分布函数模型的建立与求解根据题目要

40、求，要将PM2.5的年平均浓度280未来五年内逐年减少，最终达到年终平均浓度统计指标35。所以将原来的柯西分布函数中改为，即原来的分布函数改为： （16）令，根据点（0,280）和（5,35）经过（13）中的柯西分布函数，并通过模拟，找出了与分期治理计划进度变化规律最为相似的柯西函数： （17）其中，表示第年PM2.5年终平均浓度统计指标值。改进后柯西分布函数图6-2：图6-2 改进后柯西分布函数图由图6-2可以看出，改进后的柯西分布函数图的曲线走向更接近于实际环境治理过程中分期处理的情况。由得到的柯西分布函数可以确定分期治理计划，如表6-1所示：表6-1 PM2.5分期治理计划时期前期中期后

41、期年次第一年第二年第三年第四年第五年年终平均浓度256.9381176.5296101.591358.0335治理量23.061980.408974.937943.561323.03由表6-1可以看出： （1）治理前期：治理进度较慢。这是因为前期需要进行很多的准备工作，又由于缺少PM2.5的治理经验，治理过程遇到的困难也最多。 （2）治理中期：治理进度最快。这是因为有了前期的准备工作及治理经验作基础，治理进度自然会大幅提升。 （3）治理后期：治理进度最慢。这是因为需要对前期及中期的治理成果进行稳固，而且由于PM2.5的已经减少到一个相对降低的水平，治理更难，因此如果需要使PM2.5降低幅度不变

42、，那样会增加很多人力物力。所以治理后期，PM2.5的治理进度相对会变慢。6.3 第二小问PM2.5治理计划模型的建立要设计有效的专项治理计划，使得既达到预定PM2.5减排计划，同时使经费投入较为合理。同时，对于规划与决策分析问题，可以引用效用函数来刻画规划决策的满意度，由于每年减少PM2.5的年平均浓度越多，决策部门越满意，但是消耗的经费也会相应增加，这样满意度又会降低，对此可以建立效用函数引入满意度，并结合投入费用最少的模型建立双目标规划模型。6.3.1 双目标函数分析1. 投入总费用目标函数该问题要求同时考虑综合治理和专项治理下，达到预定PM2.5减排计划的同时希望经费投入较为合理。问题中

43、给出了综合治理费用，每减少一个PM2.5浓度单位，当年需投入一个费用单位（百万元），专项治理投入费用是当年所减少 PM2.5浓度平方的0.005倍（百万元）。由于问题本身还可能存在其他对PM2.5不确定影响的复杂性，这里假设仅考虑PM2.5的专项治理和综合治理问题，设为投入的总费用，为综合治理投入的费用，为专项治理投入的费用，则投入的总费用最少可表示为： （18）其中，为第年综合治理PM2.5的平均浓度，为第年专项治理PM2.5的平均浓度。2. 满意度目标函数引入效用函数： （19）其中，为第年减少的年平均浓度，代表决策部门满意度。对于参数，利用“高通滤波系统中下限截止频率”的方法可以确定为，

44、其效用函数曲线如图6-3所示：图6-3 满意度效用函数图在经费投入时，也希望PM2.5减排计划得到很好的实施与实现，能很好地达到预定PM2.5减排计划，对此存在PM2.5减排计划实施满意度的因素，假设综合治理和专项治理下的总满意度为F，总满意度越高，说明整体治理计划越合理，则未来五年的PM2.5减排计划实施满意度最大可表示为： （20）基于综合治理的难度比专项治理大，并且投入的经费也相对较高，如果要达到相同满意度，综合治理的投入肯定比专项治理高出很多，所以直接取平均值不合理。因此，本文分别给综合治理和专项治理设定权重为：0.8和1.2。得到新的最大满意度： （21）6.3.2 约束条件分析1.

45、 五年内PM2.5 需减少的年平均浓度总和的约束由数据1中PM2.5分指标值可以计算得到该年初试的平均浓度为，要求未来五年内逐年减少PM2.5的年平均浓度，最终达到年终平均浓度统计指标35，对此有约束： （22）2. 每年综合治理的效用函数的约束由于每年综合治理的效用函数随该年PM2.5 的年平均浓度减少量而决定，对此有约束：+ （23）3. 每年专项治理的效用函数的约束由于每年专项治理的效用函数随该年PM2.5 的年平均浓度减少量而决定，对此有约束： （24）6.3.3 双目标非线性规划模型的建立针对这个双目标非线性规划问题，基于6.3.1和6.3.2的分析，建立双目标非线性规划模型如下：

46、（25）模型说明：（1）、目标1 为投入总费用最少；（2）、目标2 为PM2.5 减排计划实施满意度最大；（3）、表示综合治理投入的费用；（4）、表示专项治理投入的费用；（5）、为第年经综合治理PM2.5减少的年平均浓度；（6）、为第年经专项治理PM2.5 减少的年平均浓度；（7）、表示第年综合治理的效用函数；（8）、表示第年专项治理的效用函数。6.4 双目标非线性规划模型的求解6.4.1 模型的改进此目标规划是多目标规划，为了使此规划问题简单易行，对此采用主要目标法，将多目标规划转化为单目标规划。若有P个目标函数，假设为主要目标，而其余P-1个目标函数都有一组允许的界限值，即希望满足要求：

47、（26）这样就可将双目标规划模型转化成单目标规划模型： （27）对于界限值，一般取。6.3.3中有两个目标函数，设为；为投入总费用最少的函数；为PM2.5治理计划实施满意度最大的函数F。令为主要目标函数即综合治理和专项治理总费用最少为主要目标函数，的界限值为。则模型的表达式简化为： （28）根据比较不同满意度得到的投入总经费选出最适合的具体方案。6.4.2 模型的结果通过（附录五）编程求解，可得到不同满意度F界限值下对应的最小投入总经费，以及相对应每年的综合治理和专项治理的具体方案如表6-2：表6-2 未来五年综合治理和专项治理具体处理方案 方案年份方案一方案二每年综合治理量每年专项治理量每年

48、综合治理量每年专项治理量第一年3.376.021.398.01第二年3.376.021.398.01第三年3.376.021.398.01第四年3.376.021.398.01第五年3.376.021.398.01满意度0.950.9最小投入总经费17.788.59 方案年份方案三方案四每年综合治理量每年专项治理量每年综合治理量每年专项治理量第一年0.848.560.578.82第二年0.848.560.578.82第三年0.848.560.578.82第四年0.848.560.578.82第五年0.848.560.578.82满意度0.850.8最小投入总经费6.024.80综合其满意度和最

49、小投入总费用，最终选取了比较合适的满意度=90%，五年投入总费用最少为8.59百万。每年综合治理的PM2.5年平均浓度为1.39 ，投入总费用为6.95百万；每年专项治理的PM2.5年平均浓度为8.01 ，投入总费用为1.60百万。6.4.3 方案合理性分析及其选择由表6-2可以看出，满意度从0.95到0.9时，投入总经费降了9.91百万，变化率为183.8%；满意度从0.9到0.85时，投入总经费降了2.57百万，变化率为51.4%；满意度从0.85到0.8时，投入总经费降了1.22百万，变化率为24.4%。可以看出，随着满意度的减小，投入总费用也会减小，且变化率越来越小，综合满意度、最小投

50、入费用，最终选取五年投入总费用最少为8.59百万比较适中。专项治理投入经费比综合治理投入经费少很多，但是治理的PM2.5平均浓度又比综合治理高，并且专项治理相对于综合治理比较全面细致，所以致力于专项治理比较符合实际。模型求解出的每年综合治理和专项治理减少的PM2.5年平均浓度如下：通过所得数据反推可知五年减少的PM2.5年平均浓度为47，最终能达到最终的35，该方案既达到了预定PM2.5减排计划，同时也达到了使经费投入较为合理的目的，可见该方案是合理的。七、模型的评价与推广7.1 模型的评价7.1.1 模型的优点（1）第一问用了数据归一化、相关分析和多元线性回归模型。归一化法的优点是简便、准确

51、，将不同量纲和数量级的数处理成相同量纲和数量级的数据。相关分析是处理变量与变量之间关系的一种统计方法，它可以将两组数据之间的相关性很好地描述出来。多元线性回归模型，采用了最小二乘法对回归系数进行估计，并对回归方程进行了残差检验，且对缺失值进行剔除最终得到拟合度达到94.6%的多元线性回归方程。（2）第二问用了模糊综合评价模型和高斯点源模型。模糊综合评价模型采用了加权平均原则方法对结果进行分析，结果令人满意。高斯点源模型可以结合很多天气因素（如：风力、气温、压强、湿度等）进行分析。（3）第三问改进了柯西分布函数模拟可能的减排PM2.5的状况；用双目标非线性规划模型设计了具体减排的方案。7.1.2

52、 模型的缺点 （1）相关分析只能分析单个指标之间的相关性，不能分析多个指标和多个指标之间的关系。（2）多元线性回归模型用于研究PM2.5和其它5个指标之间的关系，准确度达到94.6%，还需要继续提高。（3）高斯点源模型求解结果不够稳定，需要优化。7.2 模型的推广高斯扩散模型可以研究气体的扩散，还可以应用于其他方面，比如：水流中污染物的扩散；土地中重金属的污染。八、参考文献1 环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行): 中华人民共和国国家环境保护标准, HJ 633-2012.2 姜启源等. 数学模型(第三版) M, 高等教育出版社, 2003.8.3 张恒斌, 杨敏, 魏换其. 空气中PM

53、2.5问题的研究J. 广西师范学院学报: 自然科学版, 2014(4): 96-102.4 环境空气质量标准, 中华人民共和国国家标准, GB 3095-2012.5 张俊波. 驻马店市空气质量时空分布特征及影响因素分析J. 大气科学研究与应用, 2011.2.九、附录附录一 其余五个指标Q-Q图：附录二 其余各地区的PM2.5分布 附录三A=xlsread('统计.xls');B=size(A);a=zeros(13,6);for j=1:B(2)    for i=1:B(1)   &

54、#160;    if A(i,j)>=0 && A(i,j)<=50            a(j,1)=a(j,1)+1;        elseif A(i,j)>=51 && A(i,j)<=100            a(j,2