考研数学高等数学强化资料-中值定理证明

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2、值定理证明题型的证明思路和技巧 知识点回顾一连续函数的性质1最值定理设函数在上连续，则在上能够取到最大值与最小值，即2介值定理设函数在上连续，和分别为在上的最大值与最小值，若满足,则3零点存在定理设函数在上连续，且，则。二微分中值定理1罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即；那么在内至少存在一点，使得。2拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；那么在内至少存在一点，使得。3柯西中值定理如果函数和满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；（3）对任意的，；那么在内至少存在一点，使得三积分中值定理：

3、设函数在区间上连续，则在积分区间上至少存在一点使得下式成立： 考点精讲一对连续函数性质的考查【例1】：在上连续，满足对任意有，证明：使【例2】：在上连续，证明：，使小结：本题的重要意义：（1）方法上，要证明，则首先设出在上的最值，再证明即可（2）结论上，本题的结论对都是成立的，特别的当时的结论，即，该结论要记住，在微分中值定理的相关证明中可以直接应用。【例3】：均在上连续，证明：，使得二罗尔定理的使用【例4】：设函数在上连续，在上可导，且。试证明：必存在，使得【例5】：设函数在闭区间上连续, 在开区间内二阶可导, 且（1）证明存在,使得（2）证明存在使得【例6】：设在区间上具有二阶导数，且试证

4、明：存在和，使，及.小结：本题用到的理论知识有：1.零点定理：设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有一点,使.2函数极限的局部保号性定理：如果,且(或),那么存在常数,使得当时,有(或).3.罗尔定理：如果函数满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即,那么在内至少有一点(),使得.【例7】：设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.三辅助函数的构造【例8】：设函数在区间上连续，在内可导，且，证明存在，使。小结：辅助函数的构造是中值定理证明题中的难点，一般来说，由于都是对运用罗尔定理，最后得到的都是，

5、所以我们希望由能整理成所需证明的等式，这里一个自然的想法就是把需要证明的等式两边相减，再求出其原函数即为。【例9】：证明柯西中值定理：若,满足：1)在闭区间上连续；2)在开区间内可导,且，则在开区间内至少存在一点,使得.小结：对于形式较为复杂的中值定理的证明，可以先将要证明的等式化简，化为容易积分的形式，再求原函数。【例10】：假设函数和在上存在二阶导数，并且，试证：（1）在开区间内，；（2）在开区间内至少存在一点，使【例11】：设函数在上连续，开区间内可导，并且，证明存在使得。【例12】：设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使.小结：如果要证明存在使，统一的求辅助函数的方法如下，两边同时

6、除以得，积分可得则可构造辅助函数。【例13】：，证明存在使（为了书写的简便以后都默认具有所需的可导性与连续性）【例14】：，证明存在使.【例15】：，证明存在使【例16】：设函数在区间上连续，在内可导，且.试证：（1）存在，使；（2）对任意实数，必存在，使得.四双中值问题1.具有轮换对称性或题目中明确要求互不相同时【例17】：设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,证明：存在,使得【例18】：已知函数在上连续，在内可导，且，证明：（I）存在使得；（II）存在两个不同的点，使得2.不具有轮换对称性，题目中也未要求互不相同【例19】：设函数在上连续，在内可导，且.试证存在，使得.小结：看到要证明的等式后，先不要管其中的，把所有分别挪到等式的两端，分别凑成与的形式，从中我们可以读出，进而得到与。【例20】：，证明：使得。【例21】：，证明：使得。【例22】：，证明：使得。