数电部分逻辑代数和逻辑函数PPT课件

1、 2.1 基本逻辑运算数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以数字电路又称数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的研究工具是，相应的研究工具是逻辑逻辑代数（布尔代数）代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两个值（个值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义。，中间值没有意义。0和和1表示两个对立的逻辑状态。表示两个对立的逻辑状态。

2、例如：电位的低高（例如：电位的低高（0表示低电位，表示低电位，1表示表示高电位）、开关的开合等。高电位）、开关的开合等。A 为原变量， 为反变量 A第1页/共69页 1. 基本运算公式(0-1律，还原律) 与（乘） 或（加） 非0 AA00 AAA 1AAA1 AAAA 011 AAAAAA 第2页/共69页 2. 基本运算定律ABBA CBACBACABACBAABBA CBACBA)()(CABACBA普通代数普通代数不适用不适用!第3页/共69页证明:右边 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律=A +A(B+C)+BC ; 结合律 , AA=A=A(1+B+C)+B

3、C ; 结合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左边)()(CABACBA第4页/共69页吸收律: 吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉 被消化了。AABABABAA（1）原变量的吸收：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A长中含短，长中含短，留下短。留下短。（2）反变量的吸收：证明：BAABABAABAAABA)(长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。想一想： ?ABAA)(第5页/共69页（3）混合变量的吸收：CAABBCCAAB证明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB1吸收吸收正负相对，正负相对，余全完。余全完。第6页/共6

4、9页（德 摩根 (De Morgan)定理）BABABABA可以用列真值表的方法证明：ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 第7页/共69页 3. 基本运算规则先括号 再乘法 后加法。CAZ,BABA 则得到CBABCACBA第8页/共69页将函数式 F 中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反 （求反运算）（求反运算）互补运算互补运算2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：FF 1. 变换时，原函数运算的先后顺序不变第9页/共69页例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF与或式

5、与或式注意括号注意括号注意注意括号括号01 DCBAFDBDACBCAF 1第10页/共69页)(EDCBA 例2：EDCBAF2EDCBAF 2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDCBAF 2EDACABAF 2第11页/共69页对偶式AABACDABYABAA)()(DCBAY第12页/共69页2.2 逻辑函数的变换和化简四种表示方法逻辑代数式 (逻辑表示式, 逻辑函数式)11&1ABY 逻辑电路图:卡诺图n2n个输入变量 种组合。真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。BABAF 2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，

6、并可相互转换第13页/共69页不同表示方法之间的相互转换：第14页/共69页A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：由左图所示三由左图所示三变量逻辑函数的真值变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函表，可写出其逻辑函数式：数式：ABCCABCBAF 验证：验证：将八种输入状态将八种输入状态代入该表示式，均满代入该表示式，均满足真值表中所列出的足真值表中所列出的对应的输出状态。对应的输出状态。第15页/共69页A B C F 0 0 0

7、0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 方法：方法：一般按二进制的一般按二进制的顺序，输出与输入状顺序，输出与输入状态一一对应，列出所态一一对应，列出所有可能的状态。有可能的状态。例如：ABCCABCBAF 第16页/共69页方法：图形符号代替式中的运算符号即可BCACBABYABCBBCA&C1A11 1B&11 YCBAB第17页/共69页逻辑代数式逻辑代数式是把是把逻辑函数的输入、输出关逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，式。

8、也称为逻辑函数式，通常采用通常采用“与或与或”的形式。的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 一个逻辑函数可以表示为不同的表达式。对应的逻辑图也不同。实际应用中，电路越简单，可靠性越高，成本越低，故常需对函数式进行变换和化简。第18页/共69页2.2.2 2.2.2 逻辑函数的变换和化简第19页/共69页2.2.2 逻辑函数的变换和化简（公式法）例1：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB (1)(1)吸收法: :利用BABAAAABA,第20页/共69页例2：ABACBCABCBAABCBACCABCBAABCCABCBAF)()()(反变量吸收反变量吸收提出提出AB

9、=1，并项，并项提出提出A (2) 并项法: 第21页/共69页例3 3： 化简CABCBACBAABCY)()(BBCABBACCAAC A3）配项法)(AACBCAABCBACACABABCAAB化简CBCAABY例4 4：第22页/共69页化简CBACBAABCY（4）加项法ABCCBACBAABCACBC 例5 5：再看一例题第23页/共69页例5 5： 化简DBCDCBADABABCYDBABCDCBAABCDBCDCBAABDBCDCBAB)(DCBCDABCDBCDAB)(DADBCDCBAABCBCDABCDB第24页/共69页 利用公式法进行化简的问题： 复杂 技巧性强 是否

10、最简尚不得而知 第25页/共69页 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法 2.3.1. 2.3.1. 最小项和最大项构成逻辑函数的基本单元。第26页/共69页第27页/共69页 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点CBACBACBABCACBACBACABABC变量赋变量赋值为值为1 1时时用该变用该变量表示；量表示；赋赋0 0时用时用该变量该变量的反来的反来表示。表示。可见输可见输入变量入变量的八种的八种状态分状态分别唯一别唯一地对应地对应着八个着八个最小项。最小项。第28页/共69页A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

11、1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC 当输入变量的赋值当输入变量的赋值使某一个最小项等使某一个最小项等于于1时，其他的最时，其他的最小项均等于小项均等于0。第29页/共69页之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。有的输入变量，不可能再分解。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：例如：对于三变量的对于三变量的逻辑函数，如果

12、某逻辑函数，如果某一项的变量数少于一项的变量数少于3个，则该项可继续个，则该项可继续分解；若变量数等分解；若变量数等于于3个，则该项不能个，则该项不能继续分解。继续分解。不能分解不能分解CBACBACABCBAABCCCBBAA )(第30页/共69页相邻相邻 最小项的合并：最小项的合并：若两个最小项逻辑相邻则可以若两个最小项逻辑相邻则可以消去一对互反的因子合并成一项。消去一对互反的因子合并成一项。 逻辑相邻；逻辑相邻；与与例：例：BCACBAA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBAC

13、BACBABCACBACBACABABC不不是是逻逻辑辑相相邻邻。与与CBACBA第31页/共69页ABCCBACBACBACBAF 逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子第32页/共69页第33页/共69页第34页/共69页CBACBACBACBACBACBACBACBA第35页/共69页iimM CBAm 222MCBACBAm第36页/共69页2.3.2 逻辑函数的两种标准形式1 AA第37页/共69页CAABYCBBACCABY)()(CBABCACABABC7631mmmm)7 , 6 , 3 , 1( imii第38页

14、/共69页ACDBAYCBBADCCBAY)()(151411109mmmmm)15,14,11,10, 9( imiiCBAABCDCBACDBA)(DDABCDCBACDBA)(DDCBADCBADABCABCDDCBACDBA第39页/共69页imYikkmYikkikkikkMmmY第40页/共69页CAABY)7 , 6 , 3 , 1( imYii5420MMMMMYikk)()()(CBACBACBACBA第41页/共69页2.3.3 卡诺图 卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。第42

15、页/共69页说明：一格一个最小项相邻两格为逻辑相邻项第43页/共69页有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC00011110010 1 3 2 4 5 7 7 6 F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4,7单元取1，其它取0 A B C 编号 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7第44页/共69页0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3

16、 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号:第45页/共69页 从真值表到卡诺图：对应填写2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB01010111输出变量输出变量Y的值的值输入变量输入变量例1：二输入变量卡诺图第46页/共69页逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。0100011110 ABC00000111输入变量输出变量Y Y的值A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1

17、1例2：三输入变量卡诺图注意：00与10逻辑相邻。第47页/共69页ABCD000111100001110110100 01110 011110四变量卡诺图四变量卡诺图编号为编号为0010单单元对应于最元对应于最小项：小项：DCBAABCD=0100时函时函数取值数取值函数取函数取0、1均可，称为均可，称为无关项。只有一只有一项不同项不同例3：四输入变量卡诺图第48页/共69页2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示 从函数式到卡诺图：第49页/共69页ACDDBADCBAYCDBBADCCBADCBAY)()(CDBAABCDDCBADCBADCBA15111085mmmmm第50页/共69页151

18、11085mmmmmY第51页/共69页DCBADABCCDBADCBAY第52页/共69页2.3.5 逻辑函数的卡诺图化简n2n=1=1，合并一对因子n=2=2，合并两对因子第53页/共69页ACABC第54页/共69页DBCBD第55页/共69页第56页/共69页合并圈的选取：圈儿宁大勿小； 圈数宁少勿多； 圈圈含新第57页/共69页例1：化简F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD000111 1000011011010 0111 11 11111 111110ADCCBDBDCBDCBDBCBDCAF 第58页/共69页),(),(765210mmmmmmCB