高中数学 321几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教A版必修1

1、课题：3.2.1 几类不同增长的函数模型精讲部分学习目标展示1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题衔接性知识我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象基础知识工具箱项目定义符号常见函数模型直线模型可以用直线模型表示指数函数模型能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a1），常形象地称为“指数爆炸”，且对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a1），函数值增大的速度越来越慢，且幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型为常数(1) 指数函数、对数函

2、数和幂函数的增长趋势比较性质 函数在上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着的增大，图象上升的速度逐渐变快随着的增大，图象上升的速度逐渐变慢随着值的不同而不同(2) 指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较性质 函数在上的增减性减函数减函数减函数衰减的速度先快后慢先慢后快相对平稳图象的变化随着的增大，图象下降的速度逐渐变慢随着的增大，图象下降的速度逐渐变随着值的不同而不同典例精讲剖析例1有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少

3、20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 20x，则总费用，在乙商场购买，费用y = 600x.（1）当0x10时，(800x 20x2)600x 购买影碟机低于10台，在乙商场购买.（2）当x = 10时，(800x 20x2) = 600x 购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当10x18时，(800x 20x2)600x 购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x18时，600x440x 购买影碟机多于18台，在甲商

4、场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.例2为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：每月工资公积金1000元以下不交纳1000元至2000元交纳超过1000元部分的5%2000元至3000元1000元至2000元部分交纳5%，超过2000元部分交纳10%3000元以上1000元至2000元部分交5%,2000元至3000元交10%,3000元以上部分交15%【解析】设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，则当0<x<1000

5、时，yx；当1000x<2000时，y1000(x1000)(15%)0.95x50；当2000x<3000时，y10001000(15%)(x2000)(110%)0.9x150；当x3000时，y10001000(15%)1000(110%)(x3000)(115%)0.85x300.因此y与x的关系可用分段函数表示如下例3(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x

6、变化的函数式如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【解析】(1)利息本金×月利率×月数y100100×0.36%·x1000.36x，当x5时，y101.8，5个月后的本息和为101.8元5为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.如意卡便民卡（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y1 = k

7、1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.（2）令y1 = y2，即，则.当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，即如意卡便宜；当x96时，y1y2，即便民卡便宜.6商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少已知标价为每件300元时，购买人数为零标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结

8、果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解析(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则nkxb(k<0)，nx300.y(x300)·(x100)(x200)210000，x(100,300x200时，ymax10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元(2)由题意得，(x300)·(x100)10000×75%x2400x300007500，x2400x375000，(x250)(x150)0，x1250，x2150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.B类试题（

9、尖子班用）1某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为()A45元B55元 C65元 D70元答案D解析设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500(x50)×10100010x件，故月利润为y(x40)·(100010x)10(x40)(x100)，40<x<100，当x70时，y取最大值，故选D.2某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为

10、b，则()Aab Ba>b Ca<b Da、b的大小无法确定答案B解析一月份产量为a(110%)，二月份产量ba(110%)(110%)a(11%)，b<a，故选B.3甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发 B乙比甲跑的路程多 C甲、乙两人的速度相同 D甲先到达终点答案D解析从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点4如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A

11、离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()A3.5m B3m C2.5m D2m答案C解析建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为ya(x1)22.抛物线过点A(0,1)将(0,1)点代入方程得a1，y(x1)22.令y0，得x1，x1(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，选C.5英语老师准备存款5000元银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有_元答案5514.99解析根据题意，五年后的本息共5000(11.98%)55514.99(元)6设物体在800到1600之间的温度T是时间t的函

12、数：T(t)at2btc(a0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t0表示1200，t取正值表示1200以后，若测得该物体在800的温度为8°C，1200的温度为60°C,1300的温度为58°C，则T(t)_.答案3t2t60解析将t4，T8；t0，T60；t1，T58分别代入函数表达式中即可解出a3，b1，c60.7等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是 解析2xy20，y202x由得：5<x<10，故y202x(5<x<10)8为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使

13、用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.如意卡便民卡（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.（2）令y1 = y2，即，则.当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，即如意卡便宜；当x96时，y1y2，即便民卡便宜.9.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数

14、越少已知标价为每件300元时，购买人数为零标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？ 解析(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则nkxb(k<0)，nx300.y(x300)·(x100)(x200)210000，x(100,300x200时，ymax10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200

15、元(2)由题意得，(x300)·(x100)10000×75%x2400x300007500，x2400x375000，(x250)(x150)0，x1250，x2150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.10学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？分析制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快解析设x名工人制课桌，(30x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，制作100张课桌所需时间为函数P(x)，制作200把椅子所需时间为函数Q(x)，完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值欲使完成任务最快，须使P(x)与Q(x)