DVD在线租赁一等奖

1、DVD摘要本文以DVD在线租赁方案为研究对象，在题目中所给出的调查数据的基础上， 根据不同会员的需要，建立优化模型，探讨在不同情况下如何分配各种DVD数量使得会员的满意度最大。对于问题一，基于各种 DVD的需求数量是一个随机变量，满足二项分布，并趋 于正态分布，由此建立基于二项分布的随机模拟模型，利用中心极限定理，得出想看该DVD最多的会员人数，再结合每张 DVD的平均利用率，得出在不同置信水平下， 网站应准备的DVD的张数。在置信水平为50%寸，一个月内：DVD- DVD5的张数 为：6260，3133,1568,785,315; 三个月： DVD V DVD5 的张数为：3965,1984

2、,993,497,199。对于问题二，建立0-1规划数学模型，将100种DVD合理地分配给1000位在线 订单的会员，以使会员的满意度最大。首先，采用倒数形式将会员对各种DVD的偏爱程度转化为满意度，由此建立目标函数：及列出其相应的约束条件，运用Lin go软件求出DVD的最优分配方案，并列出了其中 前30位会员希望看到的DVD具体分配情况。对于问题三，运用多目标规划模型，求解每种DVD的购买数量及对DVD的分配方案。 由于有60%勺会员每月会租赁DVD两次，而另外40%勺会员每月只租赁一次，所以分 阶段进行求解。第一次租赁时，建立满意度函数，得出第一目标满意度最大为1741;第二目标DVD的

3、购买数量为2850张；第二次租赁时，在第一次租赁的基础上考虑了 月中时DVD归还的情况，得出100种DVD的购买总数量为3111张，并列出了部分 会员的分配情况。对于问题四，在DVD的需求预测时，采用多种预测方法相结合，例如简单随机 抽样、分类预测和灰色预测等，得出最终需要的信息；在DVD的购买与分配时，在预测市场需求的基础上，结合会员满意度，运用多目标规划模型确定DVD购买及分配方案。关键词满意度0-1规划多目标规划模型最优分配方案一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网 站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，

4、音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。 这项服务充分发挥了网络的诸多优势， 包 括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为 顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式 尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序 的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁 次数不得超过2 次,每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放 进网站提供的信封里寄回（邮费由

5、网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1) 网站正准备购买一些新的 DVD通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD勺人数(表1给出了其中5种DVD的数据)。此外，历史数据显示，60%勺会员 每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中 的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50% 在一个月内能够看到该 DVD如果要求保证在三个月内至少95%勺会员能够看到该DVD呢2) 表2中列出了网站上100种DVD现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线 订单(具体数据请从(DVD进行分配，才能使会员获得最大的满

6、意度？请具体列出前30位会员(即c0001 c 0030分别获得哪些 DVD。3) 继续考虑表2,并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理 人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个 月内95%勺会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4) 如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些 重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：(1) 一个周期结束，所租赁出的 DVD全部归还网站，不

7、影响下一个周期的租赁；(2) 个会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度；(3) 会员只有在将第一次租赁的三张 DVD还回网站之后，才能进行第二次租赁；(4) 每个会员同一种DVD只租赁一次；(5) DVD在租赁过程中无损坏；(6) 会员租赁各DVD时是相互独立事件；(7) 需要二次租赁的会员都是在月中归还，在月中再借。三、符号说明及名词解释为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：(其他未说明的符号在文中第一 次出现时会做详细的说明。)符号说明每张光盘利用次数的期望第i个会员租赁第j种DVD会员租到第j种DVD的概率DVD的需求量会员总数第i个会员对第j张DVD的偏爱程度

8、第i个会员对分配到的第j张DVD的满意度第j种DVD的库存量根据第二次租赁订单第i个人的需求网站米购DVD碟片的数量第二次订单中各会员相应的满意度为分阶段购买时，第j种DVD的数量会员使用DVD的时间的天数会员使用该DVD为k天的概率四、问题分析对于问题一，共有2小问，第一问要求我们在假设该网站现有 10万个会员的情 况下，根据对1000个会员的调查结果来确定至少准备的 DVD的数量，并且这个最小 数量能够让想看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。首先，根 据60%勺会员每月租赁DVD两次,而另外的40%会员只租赁一次，可以求出每张光盘 的平均利用率。由于问卷调查的随机性较

9、大，所以引入置信水平这个概念，计算在各 个置信水平下，观看该DVD的人数最大值，并用之除以每张光盘的平均利用率即可 得到在该置信水平下第j种DVD应准备的数量，对于第二小问，求解保证在3个月内至少95%勺会员能够看到该DVD的数量，运用同样的方法，只需变换每张光盘的平 均利用率。对于问题二，要求将100种DVD合理地分配给1000位在线订单的会员，并使得 会员的满意度最大。本问题类似于指派问题，因此运用0-1规划模型，决策变量Xj为 第i个会员是否租到第j种DVD，题目中只给出了会员对每种 DVD的偏爱程度，所 以将会员对DVD的偏爱程度转化为满意度，构造满意度函数，列出约束条件，并求 解该目

10、标函数的最大值。对于问题三，分析题目所给的条件，我们首先要明确作为经营管理人员， 不仅要 使得会员满意度达到最大值，还要使网站的经营成本最小，这是一个多目标规划问题。 又由于一个月存在租赁一次和两次的会员，所以进行分阶段求解。第一阶段在月初， 利用表2的数据，随机抽取950人，并尽量满足他们的订单中偏好程度为1,2,3的DVD，由此得出第一阶段购买方案；第二次租赁在月中进行，此时要在第一阶段的 基础上，考虑60%会员归还的DVD数量。对于问题四，将对DVD的需求预测、购买及分配问题进行研究。对于 DVD的需 求预测，我们采取随机调查问卷、分类预测、关联预测、灰色预测等多种预测模型相 结合的方法

11、，得出经营者所需的DVD需求信息。对于DVD的购买及分配，我们假设 每位会员每次可以租赁DVD数量为1-3，每月可租赁次数不限，且对于选择过的DVD 不会再次选择，构建双目标函数，列出约束条件，建立了具有普遍适用性的模型。五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际 建立过程。5.1问题一的模型建立与求解5.1.1 一个月时题目中共给出了 5种DVD的种类，求解保证至少 50%的人一个月内看到各种 DVD需要准备的最小张数，接下来以 DVD1的计算为例，根据题目已知条件，可以 分析出计算公式如下：第j种DVD应准备的数量(1)愿意观看的人数 能看到

12、该DVD人数的比例 每张光盘利用次数的期望因此，要求出DVD1应准备的数量，即求出愿意观看DVD1的人数、能看到DVD1 人数的比例和每张DVD的平均利用率这三个量，步骤如下：1每张光盘的利用次数期望分析题目可知，60%勺会员每月租赁DVD两次,而另外的40沁员只租赁一次,把 每月租赁2次的会员叫做A类会员，把每月租赁1次的会员叫做B类会员，每个会员 能到租到DVD j是一种等概率事件，假设光盘第一次被每月租两次的会员租 ，则DVD 光盘一个月能利用两次，即可被两个会员租到，被只租一次的会员租的DVD光盘一个 月只能利用一次。可得到：每个光盘在一个月能利用次数的期望为：2、概率计算 根据题目已

13、知条件，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD勺人数，由 此可以得出第i张DVD被租的概率，见表1:表1对1000个会员调查的部分结果DVD名称愿意观看的人数200100502510第i张DVD被租的概率0.20.10.050.0250.01由于一般用样本均值代替总体均值，所以10万个会员中DVD1的需求概率可以用1000个会员中DVD1的需求概率来代替，即P=0.2。3、愿意观看的人数对于每个光盘，是否被租赁是随机的，且只有两种情况，租赁或不租赁，因此设随机 变量Xj表示第i个会员租赁第j种DVD i=1,2,m; j=1,2,3,4,5，贝U显然，随机变量服从两点分布，P：X

14、ij=1=Pj； P 1% =0? =1-p，其中Pj为会员租到第j种DVD的概率，又由于会员之间是否租赁第j种DVD是相互独立的，所以DVD的需求数量是满足二项分布的。所以是服从参数n P的二项分布，记为 X - B n, p。于是，丄m（即有m个会员想看，n-m个会员不想看DVD1）的概率为：其中P是每个会员想看DVD1的概率，为0.2 , n是网站会员总数，n=100000。若 每个会员同时看到DVD1 ,则网址至少准备5万张DVD1 ,来应付这种概率极其小的极 端情况，对于网站来说，也存在着极大的资源浪费，由于抽样调查的随机性，不能确 认是否能完全针对10万个会员的喜好，所以保证一个月

15、内看到DVD1的会员至少在50%只能在一定置信水平上办到，计算在置信水平下保证希望看到该 DVD的总会员 人数上限M。当置信水平为0.5时：由中心极限定理：样本看DVD1的会员人数是从总体中随机抽选出来的，而样 本容量为10万，已足够大，所以样本的平均值就以总体的平均值为中心呈正态分布， 记为：其中np为随机变量的数学期望，np 1-p为标准方差，由此得出：运用Matlab 2编程（见附录一）得到 M =20032。在3个未知量都求解出来后，运用公式（1）,可以得出在置信水平为50%寸，DVD1 应准备的数量为6260。运用此方法，变换每种DVD的需求概率可以算出 DVD2, DVD3, DV

16、D4, DVD5 的数量分别为：3133,1568,785,315。为了使结果更全面，本文计算了在不同置信水 平的情况下，5种DVD应准备的数量，结果见表2：表2保证至少50%的人一个月内看到该DVD需要准备的张数置信水平50%62603133156878531560%62713141157478931870%623831501581P 79432180%63013163159080132590%631531741598P 80732999%634231941613817335可以看出,当置信水平为50%寸，解出的M与2万很接近。事实上,2万是均值np , 概率模型可以看出，这个数值只能达到5

17、0%勺置信水平。于是，M只要比2万稍微大一 点（增加1%）,就可以使得置信水平从50%上升到90%所以，应该准备6315张DVD1,比 起确定性模型中的6250,多准备65张是值得的,而却没必要准备更多的DVD1。而随着 n的增大，M与均值np相对越来越接近，当n时，用概率模型和确定性模型得出 的结论是一样的。5.1.2三个月时要求保证三个月内至少 95%勺会员能够看到该DVD。通过转化问题，将每张光 盘的数学期望计算成4.8，把问题看转化成一个月让95%勺会员能够看到该DVD。同 样运用公式（1）,其他两个未知量的计算方法一样，最后得出在不同置信水平下，5种DVD应该准备的数量，见表3:表3

18、保证至少95%勺人三月内看到该DVD需要准备的张数置信水平50%3965198499349719960%3971198999750020170%39791995100150320380%39902003100750720690%40002010101251120899%4017202310215182125.2问题二的模型建立与求解网站要将100种DVD合理的分配给1000位在线订单的会员，并保证使得会员的 满意度最大，在接受到订单时，网站管理人员需要考虑的是各种类 DVD的偏爱程度 以及该种类DVD的现有数量；而对于会员来说，满意度主要与两方面有关：收到DVD 的时间和对各DVD的偏好程度。

19、如图1所示：图1满意度的构成满意度应由偏爱程度和收到的时间二者相乘而的，但此处仅考虑某一次的分配， 并且在制定方案后，网站同时将 DVD寄往所有会员，因此各会员收到DVD的时间相 等，满意度就仅由会员对DVD的偏爱程度的差异所决定。在这里，我们规定当会员接收到偏爱程度最高的 3张DVD时，满意度最大，这 类似于指派问题，因此在本问题中运用 0-1规划模型，决策变量Xj为第i个会员是否 租到第j种DVD，则会员的满意度由两部分组成，首先网站管理人员要使会员接收到的DVD为会员在线订单中的DVD ;其次，网站管理人员要将会员偏爱程度较高的订单优先发送， 所以满意度函数为：其中bj为第i个会员对分配

20、到的第j张DVD勺满意度，分析题目中的表2,对于 1000位会员，其对100种DVD的偏爱程度aj （其中表示第i个会员对第j张DVD 的偏爱程度）大约分为10个等级，用数字1,210表示，数字0表示对应的DVD当 前不在会员的在线订单中。aj的数字越大，表示偏爱程度越小，会员得到该 DVD时 的满意度越小，因此本文通过会员对每种 DVD的偏爱程度来体现满意度，为了方便 计算，使数值越大，满意度越大，所以定义偏爱程度与满意度关系如下：由此得到会员的满意度矩阵为：约束条件：1）网站分发给会员每种DVD的数量，不能超过现有的库存量；2）又网站从社会效益的角度考虑，通过会员的总满意度来决定分配方案，

21、 为了最大限度地不使网站的顾客流失，所以尽量保证会员都接收到3张DVD。由以上2个约束条件，可以得到满意度的函数为：运用Lingo3编程（见附录二）可以得到前 30位会员获得DVD的情况，见表4表4前30位会员获得DVD的情况123123841985584976416247P 5167325080416078718412666861166684561891953664550538 :268138r 5557313571298195537810037417655:60859r 69815963662268952314150587821 :78968r 3437235289263055136685

22、376298从表4中我们可以清楚的看到这30个会员中每个会员所分配的光盘种类，并且 使他们获得最大的满意度。5.3问题三的模型建立与求解作为网站经营管理人员，要全方位考虑问题，不仅要使得会员满意度达到最大值， 还要使得网站的经营成本最小，也就是使光盘的购买数量最少，这是一个多目标规划 问题，题目中要求使1个月内95%勺会员看到他想看的DVD，其中有60%勺会员每月 会租赁DVD两次，而另外40%勺会员每月只租赁一次，显然本问题是一个多阶段决策 问题，需要分阶段进行求解，因此我们假设一个月会有两次订单，分别在月初和月中， 网站分2次进行购买：5.3.1第一阶段购买当会员进行第一次租赁时，首先利用

23、表 2的数据给出第一阶段购买方案。对于网站经 营管理人员，提早知道了这1000个会员的订单要求，要使1个月内95%勺会员看到他想 看的DVD，并且光盘购买数量要最少，所以网站经营人员会随机抽取 950人，并尽量 满足他们的订单中偏好程度为1,2,3的DVD，而另外50人，由于要是经营成本最小， 所以分配到的DVD数量为0。会员的这种分配类型可用0-1变量ai表示，并规定其取 值为： 将第j种DVD的购买数量记为Cj，结合问题二可以确定目标函数为：1000 100100max U bj Xij ， min 二：cji 4 j 4j=1约束条件：1） ，为了然满意的会员完全满意，只能忽略5%不满意

24、的会员，因此会员只会分到 0 或3张DVD ；2）为了资源利用率达到最大化，所以会员订购的第j种DVD的总数量为该种类DVD 的库存量；3）要使总成本最小，所以网站只保证 950人分配到3张DVD。 所以，最后得出多目标函数为：1000 100100max ' '、： q xij ， min ' cji 4 j 4j=1由于双目标规划难以在Lingo中实现，因此我们将总购买量最小这一目标放到约1000束条件中，得到Xjj二Cj j =1,2,100这一约束条件。i 4运用Lingo编程（见附录二），得到第一目标满意度最大为1741.67 ;第二目标DVD 的购买数量为2

25、850张，经统计整理，100种DVD的最优购买数量见表5：表5100种DVD的最优购买数量DVD种类DVD购买数量1-2021,34,26,38,20,27,29,33,30,24,29,31,33,30,26,38,27,24,29,3721-4033,28,34,22,28,27,26,19,23,40,26,33,30,29,37,34,20,23,24,2741-6049,34,24,34,34,25,31,23,29,32,39,26,32,26,28,31,30,28,34,3361-8026,31,29,32,31,29,27,31,31,28,35,34,22,30,26,22

26、,20,28,29,2681-10027,15,21,18,30,20,34,22,24,23,37,27,23,21,37,24,35,30,17,32由表5我们可以知道每种应准备 DVD的张数，且总张数为2850张。由于1000 位会员的分配情况较复杂，且数据量太大，在此本文只列出其中部分会员（会员C0001 到会员C0030）DVD的具体分配情况，见表6：表6会员C0001到会员C0030 DVD的具体分配情况123123882986849764244475167450804160787184167:84861166684561891619534553658 :268138:555715

27、719929819553781004176795560859r 699419596322689527312242582178968348223435230P 445513858813762532第二阶段购买假设第一次在月初时对 DVD进行购买并分配，第二次在月中将有60%勺会员返还DVD并进行二次租赁，题中没有给出 60%勺人第二次租赁的订单，我们将利用题 目中的表2,随机选取600 （ 1000 60% ）位会员的在线订单，作为第二次租赁订单。 为了方便求解，本文选取前600位会员作为第二次租赁的会员。这600位会员在第一 次租赁时，网站已经将会员偏爱程度较高的优先分配，由于会员2次租赁中，

28、不会重复租赁同一种DVD，所以在第二次订单中他们偏爱程度编号为 1, 2, 3的DVD的需 求应记为0 （否则，因为目标函数是满意度最大，所以最后得出的还是偏爱程度编号 为1, 2, 3的DVD的需求），此时，这60%勺会员的最大满意度由2部分组成：部 分会员在第一次租赁要求已满足的基础上，分配到偏爱度为4,5,6的DVD和部分第一次未租赁到DVD的会员在第二次时获得偏爱程度为1, 2, 3的DVD。记第二次订 单中各会员相应的满意度为dij ,其中yj表示网站是否未为会员i购买第j种DVD , 1,21,600 , j =1,2|,100 , 这样避免了会员两次租赁时的重复，如果第i个会员在

29、第一次分配到第j张DVD时， 则在第二次分配中，第i个会员对第j张DVD勺满意度为0。由此得到在第二次租赁时满意度的目标函数为：600 100600 100max 二 二：zij djj , mi nW： ziji=1 j =1i=1 j=1其中，Zj为根据第二次租赁订单第i个人的需求网站采购DVD碟片的数量，dij为 第二次订单中会员的满意度。约束条件：1）每个会员只能租赁0或3张DVD ;2）为了使会员满意度最大，至少保证各类 DVD的购买总数大于总需求量。综上所述可以得到在第二次阶段时，网站管理人员应购买的DVD数量如下：600 100600 100min 二二 zij , max 二二

30、 zij diji=1 j=1i =1 j d由于双目标规划难以在Lingo中实现，因此我们将总购买量最小这一目标放到约600束条件中，得到V Xjj二Cj j =1,2, ,600这一约束条件。i=1第一次租赁的DVD有60%会在定期内返还，所以在本月再次出租时这部分返还的 DVD可以再次租赁。这时，为了求得最少的DVD数量，我们必须充分利用这些DVD , 当第二次租赁的DVD总数大于第一阶段会员还回来的 DVD总数时，网站只需在原有 的第一阶段购买的DVD的数量上，加上第二次分配需要的DVD数与月中会员归还的 DVD数的差值；当第二阶段租赁 DVD的总数小于第一阶段会员换回来的 DVD的数

31、 量时，第二阶段就不用购买，综上所述，可以得出网站购买的各类DVD数量：其中j =1,2,100 , wj表示网站在第二次租赁时，购买第j张DVD的数量。运用Lin go编程（见附录三），得出100种DVD的购买总数量为3111张，而各种 DVD的购买数量见表7：表7100种DVD的购买数量DVD种类DVD购买数量1-2030,35,34,37,31,26,30,33,35,30,27,29,27,29,26,38,35,29,33,3721-4032,29,35,29,27,28,27,24,28,40,28,33,36,28,40,33,30,27,26,3241-6049,38,26,3

32、4,37,30,31,23,30,32,39,30,30,26,30,38,33,28,31,3361-8026,32,31,42,30,40,31,33,36,41,34,33,24,33,24,21,28,29,30,3481-10029,18,26,25,33,33,33,24,23,30,38,29,31,32,38,24,33,31,24,34由表7我们可以知道每种应准备 DVD的张数，且总张数为3111张。由于1000 位会员的分配情况较复杂，且数据量太大，在此本文只列出其中部分会员（会员C0001 到会员c0030）DVD的具体分配情况，见表8：表8会员c0001到会员c0030

33、）DVD的具体分配情况123123111491048765 :62715P 11313132901217812349682566901221341833402766672255045668225r 81861731353667751017703743725 1416723r 81906166828839154598638504980924647574246892633892452707084985.4问题四的模型建立与求解作为一名网络的经营者，在经营过程中，主要考虑以下几个方面的问题：对DVD 进行市场需求预测；利用市场预测的结果并结合在线会员的订单， 选取购买方案，进 行合理分配。在这个过程

34、中，要从经营者长远利益考虑，因而一方面减少购买DVD所 需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。以下将建立相关模型，解决上述问题。5.4.1 DVD的需求预测对于市场需求的预测有很多，以下几种预测可以相互结合，得出最终需要的信息。 简单随机抽样，对于本文也就是通过网站对会员进行随机问卷调查，由此可以掌握他们对各种DVD的偏爱程度，统计每种DVD的数量概率，进而推测会员的需求信息； 分类预测，由于会员在选看DVD时，性别、年龄、知识水平、宗教信仰等都会影响他 们的兴趣。因而，可以将 DVD进行分类，同时利用会员信息预测对该 DVD感兴趣的 人群数量；关联预测，一个导演会有多部片子，一个演员也会

35、出演很多部片子，会员 都会有很多自己的影迷，因而我们可以通过网站以前关于该导演的片子或该演员出演 的片子感兴趣的人群预测下一部某导演或某演员的片子的市场需求；灰色预测，收集每段时间会员对不同的需求量，进而预测出下一时期的 DVD需求量。542 DVD的购买与分配利用市场需求预测的相关信息，结合会员满意度，确定DVD购买及分配方案。一方面减少DVD的购买量，另一方面最大化满足各会员的需求。本文假设会员人数为I，DVD种类数为m，网站拥有第j种DVD的数量为Cj， 每位会员每次可以租赁的DVD数量为0-3，个月内会员可租赁次数不限，假设会 员不会选择租赁过的DVD。会员使用DVD的时间为k天（即从租出到归还的时间），则该 DVD在一个月内 可重复使用次数为30，通过网站以往数据可以得出会员使用该DVD为k天的概率k30 30Pk，即可得到该张DVD可重复利用的期望30 Pk。