“反证法”在高中数学中应用探究

1、“反证法”在高中数学中应用探究高中数学相对于其他学科，拥有较强的逻辑性与规律性，这时数学 方法的运用就显得尤为重要，就思维惯性而言，解决问题往往从正|何入手, 然而难免会遇到一些思维障碍或者困难，这时就需要另辟蹊径，从逆向思 维的角度来对待问题，而反证法作为典型数学解决问题的方法之一，在几 何和数论屮的运用尤为广泛.一、“反证法”概述一般情况下，反证法可以这样解释：证明：命题a成立.这时可以首先假设：此命题a不成立（命题a的条件不变），这时根据命题a不成立，往往会得到一个反命题c （一个或者多个）， 山反命题c而推出结论b,结论b很显然是矛盾或者错误的（根据某个正 确的定理或者结论）.由此可以

2、证明：假设并不成立，或者假设是错误的.从而得出：命题a得证.反证法的运用有一套规律的模式和方法可循，一般来说顺序可以归纳 为先否定一一然后推理一一根据推理得出结论一一发现结论的不合理一 肯定原命题这种命题的证明过程也是一个否定之后再否定的过程，利用正确的推导过程来得出孑盾，利用正确的理论来否定这个孑盾，进而肯 定最初始的命题，所以也叫做“否定中的否定”概括地说，反证法的证明规律分为以下三个步骤：结论否定f得出孑 盾一承认结论.具体过程如下：（1）假设：假定要证明的命题或者结论不正确，或者列出一个相反 的假设.（2）推导：利用上文假设或者反设的条件来进行推导和证明，进而 得出一个新的结论.（3）

3、结果：发现新结论的不成立，进而肯定原命题或者结论的正确 性.值得注意的是，反正法的运用过程中，必须而且一定要有“反设”的 存在，这有対求证命题进行相反假设，才是真正意义上的反证法其中反 证法冇在命题冇两种情况存在时则需要区别对待；唯-性即命题的只存在 一个反面结论，则只需耍将这个反设推倒即可；多元性即结论的反设有 多种，这是需要将这些反面的结论一一推倒，只有这样原命题才能得证， 这种方法也可以叫做列举法.二、解决“不可能同时”或者“至少存在”命题在解决几何数学的问题屮，往往会遇到这样的证明题：证明这种图形 的某种特征的不唯一性或者至少有一个满足条件，这时如果从正面直接入 手，往往很难找到匹配的

4、理论依据，证明过程也会陷入瓶颈，反证法在这 种情况下便能很方便地对这个结论进行否定并给出证明，证明的结论也会 很容易找出孑盾，进而保证原命题的正确性.例1若a, b, c都是小于1的正数，求证：(1-a) b, (l-b)c, (lc) a三个数不可能同时大于14.证明:假设(1-a) b, (1-b) c, (1-c) a同时大于14,由于a, b, c 都是小于1的正数，则有32< (la) b+ (lb) c+ (lc) a< (la) +b2+ (lb) +c2+ (lc) +a2二32得出孑盾，故原命题成立.三、证明“不存在”问题在解决儿何证明题的过程中，往往会遇到这样的

5、情况：要证明这个图 形并不具备某种性质，另一种情况是证明具有这种特点的图形是不存在 的，这种命题大多是带有否定的性质，这时直接证明的话就会显得烦琐复 杂，如果考虑采用反证法，将这种命题的反面即把带有某种肯定性质的结 论进行论证，过程往往会简化得多，所以这种证明不存在类型的命题大多 也采用反证法.例2不存在自然数x、y,使得x的平方加y和y的平方加x都为完 全平方数.证明：假设存在自然数x、y,使得x2+y和y2+x都为完全平方数.即存在正整数ni, n,使得：x2+y二m2y2+x=n2由于x, y, m均为正整数，则mx+1欲证明式不成立，只需证明y2+x< (y+1) 2,即不存在n

6、使式成aly=m2x2,代人即证（m2-x2） 2+xx2m2-2x2+1.由式得 2m2-2x2+122 (x+1) 22x2+l=4x+l>x.当式成立时，不存在n使式成立，即两式不能同时成立. 也就是不存在自然数x、y,使得x2+y和y2+x都为完全平方数.四、证明“唯一性”问题在几何或者代数中，常常会遇到一些命题需要证明结论的唯一性，即 冇且只冇一个符合条件.对这种有关唯一性的证明题型，如果直接证明则往往没有反证法效率 高，因此在解决此种问题时大多会采用反证法来证明.例3求证：方程3x=17的解是唯一的.分析：可以通过假设存在两个解，得出孑盾.由对数的定义易得，方程的一个解是xl=log317.假设还存在一个解x2,且(x2hxl),则有3x2=17因为 3x1=17,即 3x23x1=1 (1)由假设 x2hxl,即 x2-xlh0.当时 x2-xl>0, 3x23xl>l. (2)当时 x2-xl<0, 3x23xl<l. (3)显然(2)、(3)和(1)都矛盾，所以假设不成立，原方程有唯一解.总z,反证法是逆向思维的一种直接反映，是相对于惯性思维而存在 的不同的数学思维方法，这种思维的形成有利于学生打破思维惯性，拓宽思维视野，体验到数学方法和方式的多元化和多样性而学