地下水动力学201510-12教学内容(40学时)

1、地下水动力学教学内容地下水动力学教学内容2015.10-12第一次课内容一、概述1地下水资源在水文水资源工程专业教学内容中的位置 陆地水资源来源于大气降水转化为地表水和地下水，“三水”相互转化，应该统一研究及合理利用。陆地水文、水文地质学两个学科相互渗透，只是侧重点不同。内蒙古自治区呈北东南西向展布，东西长2500km，面积118.3万km2，跨越东北、华北和西北地区。东部为呈北东向的大兴安岭山脉，其东部为兴安盟、赤峰、通辽，西部为海拉尔、锡林郭勒、乌兰察布。阴山雅布赖北山天山近东西向展布，山脉的北部为内蒙古高原，是中国4大高原的第二高原，平均海拔1000m左右，高原占全区总面积的53.4%，

2、山脉为20%。丘陵、谷地、盆地面积19万km2，约为16.4%，戈壁、沙漠和沙地处在草甸草原、半干旱典型草原和干旱半荒漠、荒漠草原地带，面积30万km2，占全区总面积的25.36%。降水量多年平均自东向西450100mm以下，东部河流、湖泊较密布向西逐渐演变为荒漠沙漠。全区资源丰富，素有“东林西铁，南粮北牧，遍地是煤”之美誉。与全国比较属于地表水资源匮乏地区。本专业侧重于地下水，服务于农田水利工程、矿床水文地质、集中与分散供水、各种建设工程水文地质、生态环境等。2地下水动力学地质学是探索地球起源、海陆变迁、山脉形成、生命起源、生物演化以及地球深部状况的自然科学。其中专门学科的研究有：研究地球结

3、构和地表形态的形成和变化发展规律的有动力地质学（Dynamic geology）、构造地质学（structural geology）、地貌学(geomorphology)、大地构造学(geotectonics)等学科；研究地壳物质成分及其变化规律的有矿物学（mineralogy）、岩石学(petrology)、矿床学(ore deposits)、地球化学(geochemistry)等学科；研究地球形成历史和演化规律以及古生物演化特征的有地史学（historical geology）、地层学（stratigraphy）、古生物学(paleontology)等学科；研究矿产及地下水分布和调查勘探的

4、理论与方法的有地质调查(geological survey)、地球物理勘探(geophysical exploration)、探矿工程(prospecting engineering)、航空地质(aerogeology)、遥感地质(remote sensing geology)、水文地质(hydrogeology)、工程地质(engineering geology)、石油地质(petroleum geology)、煤田地质(coal geology)等学科；研究地球物质运动对人类的影响和防范、改造其危害的有环境地质学(environmental geology)、地震地质学(seismogeo

5、logy)等学科。水文地质学主要内容有：水文地质学基础、地下水动力学、供水水文地质学、矿床水文地质学、水文地球化学等。水文地质学是研究地下水的科学，它研究与岩石圈、水圈、大气圈以及人类活动作用下地下水水量和水质的时空变化规律，并研究如何运用这些规律去兴利除害，为人类服务。水文地质学基础是基本理论，研究地下水在岩土体中运动规律及其应用的科学，称为地下水动力学。流体动力学、侠义、广义地下水动力学的概念，实际应用包括4个方面。3地下水动力学的发展及本课程内容地下水系统涉及到孔隙水、裂隙水、岩溶水，地下水动力学主要用于孔隙水层状含水层，且满足达西线性流。 第一章、二章为地下水动力学基本原理，建立确定性

6、数学模型。第三章为工程地下水问题；第四章之后都为井流，由单井到群井。4章为稳定井流，5章是本教材主要内容：无越流含水层中的完整井流；7章潜水含水层的完整井流；8章为越流系统中的承压完整井流；9章为非均质含水层问题；10章为非完整井流问题。参考文献：多孔介质流体动力学J-贝尔，1983年版，中国建筑工业出版社；地下水水力学J贝尔，1986年版，地质出版社；地下水动力学薛禹群主编，2001年版，地质出版社。第二次课程内容第一章 地下水运动的基本概念与基本定律1.1基本概念：渗流、典型体元，运动要素为：渗流速度、水头和水力坡度。1.2渗流基本定律：达西定律、非线性渗透定律，各向异性岩层中的达西定律；

7、1.3折射及流网。一、地下水运动的基本概念1、渗流及典型单元体：水力学是古典水动力学，水质点运动有水头、水力坡度和流速3要素；地下水是在空隙介质中流动，任意点的流向、流速是随机的，但总的流向等是可以确定的。为了将水力学已成熟的计算方法引入地下水中，提出典型单元体的概念：典型体元的定义公式（113），图1-1-1。可见典型体元是个物理点，有大小，其体积大小由含水体岩性来决定。有了典型单元体的概念，就引出了渗流，渗流是一假象水流，满足3个条件（3页），图1-1-3a到图1-1-3b。有了渗流的定义，地下水在空隙介质中运动就是连续的，可以引入渗流运动要素。2、渗流运动要素：（1）渗流速度定义为（1-

8、1-6）式，渗透速度与孔隙平均流速的关系式（1-1-8），注意有效空隙的概念、渗透流量。（2）水力学中总水头为（1-1-11）式，地下水中的水头是（1-1-12）式，因为水运动要克服水质点之间的摩擦力和管壁阻力；地下水的空隙介质中的有效孔径一般比较小，阻力大，所以速度水头近于零。(3)水力梯度公式（1-1-14）和（1-1-15）式。二、渗流基本定律1、达西定律：（1）公式（1-2-3）和（1-2-4）式；（2）渗透系数的物理意义，见（1-2-10）式和（1-2-12）式，说明渗透系数与液体性质成反比、与孔径的大小成正比。（3）达西定律的适用范围，由雷诺数决定，见表1-2-1和表1-2-2。2

9、、非线性渗透定律3、各向异性介质中的地下水运动定律：（1）水的密度是标量、速度是矢量、渗透系数是张量在承压含水层中，当水量增加含水层的厚度不变而测压水头增加，反之下降，分析承压含水层的这一变化，为含水介质中水的压缩性和多孔介质的压缩性。得到水的压缩性方程和多孔介质的压缩性方程。，水力坡度是向量；三维达西定律为（1-2-20）式。（2）如果旋转三维流向与三维坐标方向一致，则流速公式为（1-2-24）式。4、水流折射定律：与光的折射公式一致为（1-3-2）式。5、流网：由水力学描述流场方法引入而来。（1）各向同性介质流网（流线与水头线构成的网格）为矩形网格，流线与水头线正交。（2）各项异性介质流网

10、水头线与流线不正交。如果是非均质介质，按介质分界线（面）划分不同区域，在该区域内则是均质介质；介质面发生折射，均质含水层内可分为各向同性介质或各向异性介质。作业：19页112题。预习 ：第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件1、水力学中有连续性方程，引入渗流就变成了渗流连续性方程2、渗流的基本微分方程（指承压含水层的基本微分方程）第三次课程内容第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件一、水力学中有连续性方程，引入渗流就变成了渗流连续性方程。 根据物质不灭的质量守恒定律，流入、流出单元体水的质量不变这一原理；流入、流出单元体水的流量发生变化吗？均衡单元体（图2-1-1）渗流进入的质量渗流流出的

11、质量=在这一时间段（t）内该单元体积内质量的变化量；1、均衡单元体（图2-1-1）渗流进入的质量渗流流出的质量，如在x方向：单位之间通过单位断面的渗流量为渗流速度vx，密度vx为单位断面上的流量的质量，yz为断面宽度，得到该方向上在t时段内流入与流出水流质量的变化量；同理在y、z方向也得到相似方程。在三个方向净流入均衡体的质量为20页（*）式。2、均衡单元体内在t时段内的质量的变化量：nxyz为单元体中水的体积，乘以水的密度则是水的质量；当含水层垂向变形而水平方向不变形时，得到单元体质量的变化量公式（*）。（*）式=（*）式，方程两端同除以t，且取x0，y0，z0，t0，得到渗流连续性方程（2

12、-1-1）式。二、分析承压含水层中水合多孔介质的压缩性，确定水、多孔介质的压缩性方程1、在承压含水层中，当水量增加含水层的厚度不变而测压水头增加，反之下降，分析承压含水层的这一变化，为含水介质中水的压缩性和多孔介质的压缩性。见图2-2-1为单位面积柱体，厚度为承压含水层的厚度（M），测压水头为P/；应力分析：（2-2-1）式，左端相为上部荷载的总压应力，在含水层内与之达到平衡的反向应力由两部分组成：其一是颗粒接触面上应力，即ms；其二是介质中水所承受的应力，即（1m）p。由于m«1，定义ms为称为有效应力，得到（2-2-2）式。注意（1）水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相

13、反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三中变形。（2）弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的部分为弹性变形，不能恢复的部分为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。2、水的压缩性方程（2-2-6），多孔介质的压缩性方程（2-2-9）以及水头与水压变化关系方程（2-2-11）在承压含水层中，当水量增加含水层的厚度不变而测压水头增加，反之下降，分析承压含水层的这一变化，为含水介质中水的压缩性和多孔介质的压缩性。得到水的压缩性方程和多孔介质的压缩性方程。（1）水的压缩性方程：满足虎克定律（弹性变形定律）（2-2-3），体积

14、与压强的变化成反比，称为介质中水的压缩或膨胀系数；得到（2-2-5）式，式中当压力增加，即由p0到p等于-p。压力增大，水的体积变小，也就是水的密度变大，反之亦然，但水的质量不变为m=V，得到（2-2-6）或（2-2-6）式也是水的状态方程，因（2-1-1）式中含有变量密度，所以建基本方程需要（2-2-6）式。（2）多孔介质的压缩性方程：介质空隙弹性变形满足虎克定律，得到骨架压缩或膨胀变形有效应力与骨架体积变形虎克定律为（2-2-7）式，岩土体积压缩系数为。当上部荷载不变时，压强变化与有效应力变化大小相等方向相反，即d=-dp，代入（2-2-7）式得到（2-2-8）式。水压的变化引起岩土体积的

15、变化，实际上就是岩土空隙体积的变化，得到（2-2-9）式及（2-2-9）式。（3）水头与压强变化方程：由（1-1-12）式得到压强变化与水头变化方程。三、渗流的基本微分方程（指承压含水层的基本微分方程）1、渗流的连续性方程（2-1-1）式，是质量守恒定律，这里要变其为水力学常用的与水头有关的方程，将（2-3-1）式、（2-1-9'）、（2-2-6'）和（2-2-11）式代入（2-1-1）式得到（2-3-2）式。（2-3-1）式的由来：孔隙度与孔隙比的计算公式，由于，可见如果含水层水平方向不变，在垂直方向上z=Vb，所以这一项是多孔介质均衡体中固体部分的厚度，代入（2-2-1）式

16、，得到（2-3-1）式；将骨架的压缩性方程（2-2-9）和(2-2-11)代入（2-3-1）、将（2-2-6）和（2-2-11）代入（2-3-1），解决了（2-2-1）式右端的问题，公式为（2-3-2）式。2、旋转坐标使计算坐标与主渗流方向一致，并且在渗流方向上水密度变化远远小于渗流速度的变化，将达西定律代入，得到（2-3-5）式。3、由（2-3-6）式定义弹性给水率，最终得到承压含水层的基本微分方程（2-3-7）式。第四次课程内容一、渗流基本微分方程的讨论1、单位给水度的物理意义：由（2-3-6）定义，得到右端项两项，和n。（1）分析n的物理意义：在一个单位的含水层体积中（图2-1-1），体

17、积为Vb=1，则其中水的初始状态体积为V0=1×n，由水的压缩状态方程（2-2-5）及（2-2-11）式，得到：可见，n这一项表示单位孔隙介质体积中，当水头下降一个单位时，由于水的膨胀而释放出来的水量（体积）。水头变化与水体积变化方向相反，所以存在一个负号。（2）分析的物理意义：在同一个单位含水层体积中，初始单位含水层体积V0=1×n。当水头发生变化是，认为含水层厚度仅在垂向上，即厚度发生变化，而在水平方向上不发生变化：由m0m，因此孔隙介质由于压缩或膨胀引起的水体变化是：将（2-2-10）孔隙介质的压缩状态方程和（2-2-1）式代入上式，得可见，的物理意义是：当水头下降一

18、个单位时，由于孔隙介质受压缩，从单位体积孔隙介质中所释放出来的水量。所以e表示：当水头下降（或上升）一个单位时，从单位体积含水层中，由于水的膨胀（或压缩）和含水层介质的压缩（或膨胀）所释放（或储存）的水量。2、如果忽略含水介质在压缩（或膨胀）过程中所引起的含水介质渗透性的变化，则渗流的基本微分方程为： （2-3-10）（1）如果是水平方向为同性，异性变化仅在垂向上，则得（2-3-11）式；冲洪积承压含水层一般显示这种情况。（2）承压含水层，水平方向与垂直方向渗透性变化，如果是完成井流，变三维坐标为轴坐标得（2-3-12）式。3、对于等厚的二维平面承压含水层渗流，忽略含水介质在压缩（或膨胀）过程

19、中所引起的含水介质渗透性的变化（下述方程都满足这一条件），由（2-3-10）式得到（2-3-13）式。（1）该式两端同乘以含水层厚度M，令： （2-3-14） （2-3-15）得到（2-3-16）式，式中：（1）T为含水层的导水系数（L2/T）；（2）e为承压含水层的弹性给水度；表示：当水头下降（或上升）一个单位时，从单位面积体含水层柱体（高为M）中，由于水的膨胀（或压缩）和含水层介质的压缩（或膨胀）所释放（或储存）的水量。（2）对于这种二维平面流，如果是均质（等厚）承压含水层，轴对称完整井流，变化坐标系，得： （2-3-17），令： （2-3-18）（2-3-17）式变成（2-3-19）式。

20、参数a在承压含水层中称为水头扩散系数或含水层压力传导系数；在潜水含水层中称为水位扩散系数。是重要的水文地质参数，以后讨论。4、稳定流，水头不随时间发生变化：二维平面流，如果是均质（等厚）承压含水层，轴对称完整井流，则由（2-3-17）得到（2-3-20）式。二维平面流，如果是均质（等厚）承压含水层，可得如果是三维稳定流，则得说明：注意，一些渗流问题，如坝下渗流或无压流等问题，有时忽略其弹性释放，也可以获得上述同样的方程，但这并不一定意味着这些方程描述的是稳定流，稳定流是指流动方程及其定解条件都表示出水头不随时间发生变化。例如水库坝基渗流其流动方程为稳定流形式，但库水位的升降、潜水位的波动可由边

21、界条件和初始条件给出。5、加入源或汇项：（1）对于承压含水层，平面上为同性，而在垂向上为异性，且是完整井流为轴坐标，由（2-3-11）式得到(2-3-21)式。（2）对于平面二维异性含水层可得（2-3-22）式，如果是等厚含水层可得（2-2-23）式。（3）对于承压含水层、平面二维、等厚、完整井流（径向流）变换坐标得到（2-3-24）式。上述式中：为三维流（或取单位厚度的平面二维流）的源汇项（不含弹性储存或释放），定义为单位体积含水层、单位时间内产生（为正值）或消耗的水量（为负值）；W为二维流的源汇项，定义为单位面积含水层柱体、单位时间内产生（为正值）或消耗的水量（为负值）。注意量纲。6、广义

22、承压含水层的渗流方程：非均质各向异性、含水层厚度变化、其渗透系数在压缩（或膨胀）过程中也发生变化，而且计算坐标与渗流方向不一致时，方程如下：（2-3-25）二、潜水流动的裘布依假定对于剖面二维流（图1-1-4）承压含水层中的流线是水平的平行线，被限制在含水层之间；潜水含水层流线自潜水面向下，由曲率大的曲线逐渐曲率变小，到达潜水含水层底板时为水平直线；它是二维剖面流。潜水面渗流速度，当潜水面坡度很小、渗径s由x代替时，得出(2-4-1)，单宽流量公式为（2-4-2）式称为裘布依方程；用正切代替正弦函数，意指渗流速度的垂直分量远远小于水平分量，忽略其就是裘布依假定。引入了裘布依假定，潜水含水层的三

23、维流转化为二维流，二维流转化为一维流，注意适用条件。三、潜水流动的布西涅斯克微分方程4点假定条件29页1、二维剖面流，见图2-4-2，基准面确定在水平的隔水层底板，均衡式为：流入上断面单宽流量流出下断面单宽流量=这一时段内含水层柱体的水量变化量；最终得到（2-4-3）式，代入（2-4-2）式得到布西涅斯克微分方程（2-4-3）'。（2-4-3）'方程是非线性方程，线性化如下（1）方法一：水位（含水层厚度）变化用均值代替hhm得到（2-4-4）式。（2）方法二：引入势函数（2-4-5），得到（2-4-6）式。2、三维流：布西涅斯克微分方程为（2-4-7）式（1）线性方程一为（2-

24、4-8）式。（2）线性方程二维（2-4-9）式。3、对于均质含水层，且无垂向交换量，由（2-4-9）式得到（2-4-10）式，满足4点假定条件，定义潜水含水层的导水系数和水位扩散系数为： （2-4-11）， （2-4-12）得到 （2-4-13）4、潜水完整井流、均质含水层，且无垂向交换量，坐标变换，（2-4-10）和（2-4-13）式变为（2-4-14）和（2-4-15） （2-4-14） （2-4-15）作业：34页17题。第五次课程内容一、定解条件及数学模型1、水文地质边界及计算的定解条件：1）水文地质边界：（1）水文地质边界，即地下水流动系统边界包括：隔水边界、透水边界（含有给水边界和

25、排泄边界）、自由边界（含不同水流系统之间的分水界面；潜水面；地下分水界面与潜水面的交线地下水位分水岭）。（2）上述水文地质边界按其表现形式分为：地形边界（分水岭）、地质边界（地层岩性边界和地质构造边界）、水文边界（地表水与地下水关系边界）和人工边界（抽、注水井，排水坑道，地下水库，潜流工程中的地下截水墙，坝基和坝底）。2）定解条件：（1）将水文地质边界简化为可计算边界条件分为：第一类边界条件（给定水头边界），特列为定水头边界，三维、二维表示的方程；第二类边界条件（已知流量边界）特列为隔水边界，三维、二维表示的方程；第三类边界，本书为潜水面边界，一些教科书为一类和二类边界的混合边界条件。（2）初

26、始条件，稳定流无初始条件。2、数学模型及其解法简述二、地下水向河渠的运动概述：分为2节内容：3.1均质含水层中地下水向河渠的运动；3.2非均质含水层中地下水向河渠的运动。本章第一节是基础，分为5个内容：1、承压含水层中地下水向河渠一维稳定运动；2、无入渗潜水含水层中地下水向河渠二维稳定运动；3、无入渗潜水含水层中地下水向河渠三维稳定运动；4、均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动；5、承压含水层中地下水向河渠一维不稳定运动。本章第二节为非均质含水层中地下水向河渠的运动，包括分段法、等效厚度法、吉林斯基势函数法和直接积分法4中计算方法。每一确定的水文地质问题都对应概念模型（一般为图示）数学模型数学

27、模型的解。解析解法。三、承压含水层中地下水向河渠一维稳定运动概念模型是指将水文地质模型简化成可以量化的模型。本内容概念模型图3-1-1，数学模型（3-1-1）、（3-1-2）和（3-1-3），其解水头线方程为（3-1-5）式；单宽流量方程为（3-1-7）式。求解方法一是一般性方法，二是定积分方法。特点：（1）水头线方程（3-1-5）式为直线，水头分布与渗透系数无关；（2）单宽流量为（3-1-7）式为达西定律。四、无越流潜水含水层中地下水向河渠二维稳定运动1、隔水底板水平的潜水运动：概念模型为图3-1-2，数学模型为（3-1-12）、（3-1-13）和（3-1-14）式，其解的水头线方程为（3-

28、1-11）式；单宽流量方程为（3-1-10）。特点：（1）（3-1-11）式水位线方程，不是直线，是以x轴为对称轴的剖物线上半支的一部分，它与渗透系数无关；（2）单宽流量方程（3-1-10）也是达西定律，只是厚度M取两断面潜水含水层厚度的平均值。2、隔水底板倾斜的潜水运动（隔水底板向上游倾斜）概念模型为图3-1-4，数学模型为 式中：其解的水头线方程为（3-1-17）式；单宽流量方程为（3-1-16）。特点：（1）水头线方程（3-1-17）表现出水头线形状与渗透系数无关，只与边界水头及坐标选取有关；（2）单宽流量方程（3-1-16）形式与（3-1-10）式一致。总结：上述承压含水层一维、潜水含

29、水层二维，地下水向河渠稳定运动，由稳定流决定的共同特点是：（1）它们的水头线方程，无论直线还是曲线，只由边界条件确定，而与多孔介质的渗透系数无关；（2）通过任意断面的流量都相等。第六次课程内容一、无入渗潜水含水层中地下水向河渠的三维稳定运动1、平面上流线呈辐射状的潜水运动：概念模型39页图3-1-5；数学模型为解：水头线方程（3-1-19）、流量方程（3-1-18）式。2、渗流断面复杂变化的潜水流动：概念模型40页图3-1-6；数学模型为 解：水头线方程（3-1-21），流量方程（3-1-20）式。计算时，可将A=f(x)近似视为单调函数关系，简化成线性关系式，即：二、均匀稳定入渗的潜水向河渠

30、二维稳定运动（一）概念模型、数学模型及其解：概念模型图3-1-7和3-1-8；数学模型为44页（3-1-33）、（3-1-34）和（3-1-35）式，因为（3-1-33）式为非线性方程，如采用第二种线性化方法：令，数学模型变为如下形式：用二次积分法求出水头线方程（3-1-26）式；求出流量方程为（3-1-24）式。（二）流量方程分析：流量方程为（3-1-24）式，当x=0时得到（3-1-23）式；当x=l时得到（3-1-25)式。1、无入渗补给时：断面1（3-1-23）式为达西定律，（1）该式和37页无入渗潜水含水层中地下水向河渠二维稳定运动的流量公式（3-1-10）式一样；（2）当断面1水位

31、高于断面2水位时，单宽流量为正数，表明水流方向与x方向一致，由1断面流向2断面。反之，水流向河渠左侧流动；（3）同理，分析2断面公式（3-1-25）也可得到同样结果。2、当有入渗补给时，且断面1和断面2水位相等，显示分水岭位于河间地块中心。3、有补给，且断面1水位高于断面2水位时：存在三种情况：一是地下水向断面1排泄，存在着分水岭；二是分水岭刚好位处河1断面；三是不存在分水岭，这是土坝坝体渗漏问题。这三个结论由（3-1-23）或（3-1-25）分析，可得到同样结论。4、河间地块满足裘布依假定的部位见图3-1-7，根据流线可将其划分为3部分：（1）地下水分水岭处不满足裘布依假定；（2）水平距离大

32、于1.52.0倍含水层厚度处满足裘布依假定；（3）两端断面处有“渗出面”，该处不满足裘布依假定。（三）水头线方程分析 1、水头线方程（3-1-26）：（1）均匀入渗时，为椭圆曲线上半支；（2）均匀蒸发时，为双曲线方程；（3）当无垂直交换量是为（3-1-11）式，它是以x轴为对称轴的抛物线上半支的一部分，且与渗透系数无关。2、有入渗时，在同一断面的位置上，比无入渗条件水位高；只是在断面1和断面2处水位保持不变，这是由边界条件决定的。河间地段的中间，水位抬高最大（分水岭处）。有蒸发时得到相反结论。3、水头线方程（3-1-26）中含有渗透系数，如果渗透系数小，则由入渗引起的水位抬升值则大，反之则小；

33、如果渗透系数小，由蒸发引起的水位下降值大，反之则小。三、承压含水层中地下水向河渠一维不稳定运动矿山水平排水廊道，如果使排水量不变，则是定流量沟（渠）流；如果保持开采巷道降至某一确定水位，则是定降深沟（渠）流。1、定流量沟（渠）流：概念模型图3-1-10，为均质、各向同性、等厚承压含水层；计算坐标与巷道排水廊道走向垂直，属于一维不稳定流；数学模型如下：该数学模型的解为：，式中：Dq为费里斯定流量沟函数，见表3-1-1；q为排水廊道单位长度的单宽流量（排水时q>0）；s为任意点（x）任意时间(t)的水头降深；x为观测点至排水沟侧壁的距离；t为排水沟开始排水算起的时间；T为承压含水层的导水系数

34、。 （3-1-43）2、定降深沟（渠）流：矿山巷道采矿必须将地下水头降到设计标高，才能安全生产，巷道中的排水廊道放水属于这种情况。概念模型见图3-1-11，为均质、各向同性、等厚承压含水层。这里计算在确定降深条件下的排水量。该数学模型为斯托尔曼解： （3-1-49）。式中：Dx称为斯托尔曼定降深沟流函数，其中的变量同（3-1-43）式一样。对于排水沟一侧的单宽流量，计算公式为（3-1-53）式。求任意x断面的单宽流量，依据达西定律 （3-1-52）沟渠一侧单宽流量，令上式x0就可以获得，即 （3-1-53）第七次课程内容3.2非均质含水层中地下水向河渠的运动，包括：分段法、等效厚度法、吉林斯基

35、势函数法和直接积分法一、分段法：分为两种情况：一是水平层状、垂向上为非均质含水层中地下水运动；二是透水性沿流向突变岩层中地下水运动。即是按介质变化方向与流线方向不同划分：（1）透水性突变岩层与流向平行的地下水运动，称为并联方式；（2）透水性突变岩层与流向垂直的地下水运动，称为串联方式。1、透水性突变岩层与流向平行的地下水运动（并联方式）（1）实例分析及推广：实例概念模型见图3-2-1，根据渗透系数不同，将总水流线划分为三个互不干扰的均质岩层中的地下水流问题，为承压含水层。承压含水层中地下水单宽总流量：，其中每一均质含水层中的单宽流量为：，每一均质含水层的渗透系数和含水层厚度见图3-2-1。因为

36、1，2断面上各点水头相等，即,因此，该水平层状含水层的单宽流量公式为：，推广到n个水平层状均质含水层，得到单宽流量公式为（3-2-1）式。如果将上述层状非均质含水层假想成均质含水层，且该含水层的水力坡度及含水层厚度与原非均质含水层相等，可以得到（3-2-2）式，式中的Kh称为假想含水层的等效渗透系数。其计算公式为 （3-2-3），（2）应用：有了水平层状非均质含水层的水平方向的平均渗透系数，概念模型图3-2-1可以等效概念模型图3-1-1，这一简化对研究地下水流动系统意义重要。所以概念模型图3-2-1的水头线方程是（3-1-5）式，流量方程类似（3-1-7）式，即（3-2-2）式。如果是潜水含

37、水层，透水性突变岩层与流向平行的地下水运动，类似图3-2-1，先分层为n个均质含水层，最上部是均质潜水含水层，用（3-2-3）式计算出等效渗透系数，概念模型可转化为图3-1-2式，数学模型为(3-1-12)、（3-1-13）和（3-1-14）式；水头线方程为（3-1-11）式；流量方程为： （3-1-10）2、透水性突变岩层与流向垂直的地下水运动（串联方式）（1）实例分析及推广：常见断裂带两侧及滑坡地段。概念模型见图3-2-2，因为1s，s2分段上为均质含水层，单宽流量为37页（3-1-10）式，得到两个分段上的流量方程（*）、（*）式。这里任意断面的流量相等，并且水头线连续，得到单宽流量方程

38、为： 推广到具有几个垂向突变界面的含水层系统，其单宽流量为（3-2-4）式。得到hs方程为（3-2-5）式。对于图3-2-2如果令其等价为一潜水含水层，得到单宽流量37页3-1-10，即： （2-1-10），代入上式，得到图3-2-2等价图3-1-2的等效渗透系数：，这里l=l1+l2 ，推广到流向与透水性突变岩层垂直是多个岩层时，得到（3-2-8）式。（2）应用：可以用于分析地下水流动系统。3、小结：Kv是垂直非均质界面流动的平均渗透系数（垂直等效渗透系数）；Kh是平行非均质界面流动的平均渗透系数（水平等效渗透系数）。（1）何为分段法，（2）分段法的两个基本要求。（3）可用于突变型、均质承压

39、无压含水层和渐变含水层。（4）水利工程和误差分析（5）表3-2-1分段法分类及要素间的关系说明。上述方法也称等效渗透系数法。二、等效厚度法实例分析：概念模型图3-2-3，河漫滩、阶地常见的二元结构。将下层的渗透系数转化为上层渗透系数，改变含水层的厚度，用上层渗透系数代替下层渗透系数，变非均质为均质含水层来分析：为（3-2-9）式，注意Md是等效厚度，而M是下层含水层实际厚度。得到等效厚度的计算公式为（3-2-10）式。因此，假想均质含水层1、2断面的含水层厚度（水位值）分别是（3-2-11）和（3-2-12）式。可以写出其单宽流量方程为（3-2-13）式，比较（3-2-13）式与37页（3-1

40、-10）式，形式一致。所以可以写出与（3-1-11）式一致的水头线方程（3-2-14）式。假想均质含水层与图3-2-3之间的关系是 因此实际图3-2-3的水头线方程可以写成：三、总结：1、对于非均质含水层（体），分段法是改变渗透系数使之等价于一个均质含水层，而等效厚度法是改变含水层的厚度使之等价于均质含水层。其中不变的是含水层过水断面的过水能力不能改变，即导水系数不变： ，而且不能改变原水文地质问题的边界条件。也就是说不能使原问题的地下水流场发生改变。2、分段法改变渗透系数，引入等效渗透系数；等效厚度法改变原含水层厚度，引入等效厚度。在微观上，为解决水利工程、地下水断面计算等提供可以实施的方法

41、。在宏观上，为将非均质含水层（体）构成的地下水系统该系统都是非均质的转变称均质地下系统提供了方法依据。这样可以对一个确定的地下水系统进行水动力学特征及水化学特征分析研究，并且可以用三维数学模型进行演示，提出它在条件改变时的未来变化趋势，为地下水的开采或矿区疏干等问题对环境影响或改变提供量化依据。第八次课程内容一、吉林斯基势函数法（一）原理：1、流量势函数及其意义：概念模型见表3-2-1左图：在均质含水层中，为了得到承压无压含水层地下水向河渠运动的统一流动方程，提出了流量势的定义。对于均质等厚的含水层定义如下：承压含水层、一维流： （3-2-16）潜水、二维流，引入裘布依假定： （3-2-15）

42、那么，单宽流量可以表示如下：承压含水层：潜水含水层：可见，定义了流量势函数后，对于承压无压均质含水层，单宽流量公式在承压区段、无压区段都是一致的。表示为： （3-2-17、3-2-18）2、吉林斯基势函数（流量势函数）定义：受上述定义方法启发，吉林斯基对垂向上渗透系数渐变、包括承压、无压含水层，当平面上流线彼此平行时，定义流量势为：定义： （3-2-20）对于承压含水层b=M，对于潜水含水层b=h由莱布尼兹微分法则（无压含水层满足裘布依假定），对（3-2-20）式求导数：即： （3-2-18-1）由此可见，对于垂向上渗透系数渐变的含水层，流线彼此平行，无论潜水流还是承压水流，只要定义吉林斯基势

43、函数（3-2-20）式，单宽流量公式与均质含水层（3-1-18）式一样。3、对于垂向上渗透系数渐变的含水层，流线彼此不平行，无论潜水流还是承压水流，只要定义吉林斯基势函数（3-2-20）式，单宽流量公式与均质含水层（3-1-18）式一样。因为该定义是积分函数。4、如果把吉林斯基势函数应用到均质潜水含水层、承压含水层，潜水含水层中的吉林斯基势函数为： 同流量势函数定义公式（3-2-15）式完全一样。承压含水层中的吉林斯基势函数为： ，不同与（3-2-16）式。具体证明过程，见54页注解。总结：（1）地下水排水或疏干，通常排水渠或排水巷道水位会下降到承压含水层顶板之下，使承压含水层转变为承压无压流

44、。吉林斯基由流量势函数定义所得到的无论潜水还是承压含水层可用一个统一的流量公式表示，所启示，定义自己的吉林斯基势函数（流量势含数）（3-2-20）式。（2）有了这个定义公式，流线彼此平行的非均质潜水含水层、承压含水层、承压无压含水层；流线彼此不平行的非均质潜水含水层、承压含水层、承压无压含水层；均质承压含水层、潜水含水层，承压无压含水层都可以用（3-2-181）式来计算单宽流量。所以吉林斯基势函数法应用广泛。（二）吉林斯基势函数应用层状非均质含水层的计算公式概念模型参见图3-2-5，将层状非均质含水层划分为i层，每一层是均质含水层，且已知单层渗透系数Ki。由吉林斯基势函数定义得到：其中：M=M

45、1+M2+-+Mn，由隔水底板向上算起。而式中：Ki为i层的渗透系数；Mi为第i层的含水层厚度；zi为第i层含水层中点的高度；g计算断面的吉林斯基势函数。(三)算例：概念模型图3-2-5，为层状非均质承压无压含水层，说明见55页。根据（3-2-22）式，先求出断面1、断面2的吉林斯基势函数；而后，由（3-1-18-1）式求出单宽流量；第三计算出水头线方程。1、计算断面1和断面2的吉林斯基势函数断面1为承压含水层段，分为3层均质含水层：断面2为潜水含水层段，只有一层为均质含水层：也可以： 为均质含水层吉林斯基势函数。2、计算单宽流量：3、分段计算水头线，连接就是降落曲线。任意断面流量相等，用相同

46、方法，求出承压含水层顶板对应的渗径为112m，0112m属于承压段，水头线是直线。水头取在分层界面上，2、3层界面上的水头8m，对应渗径为448m；1、2层界面上的水头6m，对应渗径为540m，112600m范围内为抛物线，将这些点绘制在坐标纸上，就得到了水头线。H=13、12、8、6、4（m）对应图3-2-5水平距离R=0、112、448、540、600m。第九次课程内容一、直接积分法法：分为渗透系数呈线性变化和渗透系数变化复杂的含水层中地下水运动。1、渗透系数呈线性变化的含水层中地下水运动概念模型图3-2-6，由1到2断面含水层由中粗砂渐变为细沙，稳定的潜水河渠二维流。第四系松散山前、山间

47、堆积地层一般表现为这一特征。（1）流量方程：由于含水层是线性渐变，所以渗透系数为（3-2-23）式。稳定流，任意断面流量相等，引入裘布依方程（2-4-2）式，代入（3-2-23）式，得 （3-2-24）假设一均质含水层与图3-2-6等效，即是37页图3-1-2，令其含水层渗透系数为Km，由（3-1-10）式可以写出（3-2-25）式。比较（3-2-24）和（3-2-25）式得到渗透系数沿流线方向线性变化含水层的平均渗透系数，（3-2-26）式。（2）水头线方程：改变（*）式的积分上下线，由0x，对应h1h，得到水头线方程（3-2-27）式。注意：因为图3-2-6是潜水含水层地下水向河渠的稳定运

48、动，水头线方程只与x=0，x=l 断面的水头有关，而与渗透系数无关，所以图3-2-6的水头线方程可以直接用37页（3-1-11）式代替。2、渗透系数复杂的含水层中地下水运动概念模型图2-3-7，为隔水底板不水平，含有透镜体的含水层。（1）流量方程：引入裘布依方程，选择海拔高程为计算基准面。 （3-2-29）式中：b为含水层的厚度；K(z)渗透系数在垂向上的变化量。由于含水层的导水系数T=KM或T=Kh，所以，（3-2-29）式中的积分值是非均质含水层的导水系数定义： （3-2-30）于是（3-2-29）式可以写成 （3-2-31）对上式分离变量，由1断面到2断面积分。这里T是1断面至2断面，x

49、坐标的函数，是未知数，采用积分中值定理：式中的Tm是断面1到断面2之间的平均导水系数，于是上式可以写成：（3-2-34）认为导水系数由1到2断面是单调变化，所以Tm取T1和 T2和的平均值，它们分别是断面1和断面2位置的平均导水系数；可将断面1、断面2划分成层状含水层，求出每一分层的厚度（Mi）和渗透系数（Ki），求和（2）水头线方程：本概念模型是稳定流，任意断面的流量相等，水头线方程仅与两断面的水位有关，与渗透系数无关，选择计算基准面，方程由37页（3-1-11）式变为：二、第四章裘布依稳定井流概述：分类：地下水向垂直集水建筑物的运动井流；水平集水建筑物：集水廊道、排水沟、暗沟沟流。本章之后

50、的内容都为井流，第三章是沟流；抽水井、注水井；完整井、非完整井；承压、无压井流；稳定、非稳定井流。主要介绍：承压、无压完整稳定井流；承压完整非稳定井流；三种越流系统完整井流；潜水完整非稳定井流等。三、裘布依稳定潜水井流1、概念模型图4-1-2，为园岛模型；数学模型为：内边界条件为井径等于rw时水头是hw；外边界条件为园岛模型给水半径R，此处是定水头（水位）边界h0。下面分析渗流方程的来源：模型是均质潜水含水层、三维流，无入渗补给，稳定完整井流。基本微分方程是30页（2-4-7）式，满足裘布依假定的布西涅斯克方程的变形式： 第一种线性方法，将括号内的h用平均值hm代替，并视为常量，则方程可以写成

51、：概念模型4-1-2图，是轴对称流动井流，变成轴坐标，得2、解数学模型（1）流量方程：这里是稳定、定流量抽水，任意断面的流量相等并且等于井中的抽水量。见图4-1-2，坐标方向由井中向外，而地下水流向由外向内与坐标方向相反，出现一个负号，流量公式用梯度表示也有一个负号，负负为正。所以断面流量公式无负号。即： (*)式中：A=2rh为圆形过水断面面积。对（4-1-a）式积分，得（代入（*）式得到的）对上式分离变量，代入内、外边界条件，积分为： （*）得到任意断面（也是井中抽水量）的流量方程（4-1-1）式。 （4-1-1）用降深表示上述方程：sw=h0-hw，得到（4-1-2）利用抽水试验资料计算

52、渗透系数的公式 （4-1-3）若抽水试验有两个观测孔，则可得到相应计算过渗透系数的公式（4-1-4）（2）水头线方程：改变（*）式积分上下限，可求出降落漏斗曲线（侵润曲线）方程：（4-1-5）该式表明，降落漏斗曲线取决于内、外边界上的水位h0和hw，与含水层的渗透系数无关。第十次课程内容一、裘布依稳定潜水井流基本方程（4-1-1）、（4-1-2）(4-1-5)的讨论1、水跃及裘布依漏斗曲线方程的误差水跃现象：当水位下降很小时，井中水位与井壁水位基本一致；当水位下降较大时，井中水位明显低于井壁水位，这就是水跃现象。出渗段：图4-1-3，水渗出井壁后，沿着井的内壁向下流动，井壁水位与井中水位之间的

53、区段，称为出渗段。水跃值：图4-1-3，井壁水位与井中水位之差，称为水跃值。即出渗段水位差值就是水跃值。（1）水跃分析：当抽水井中水位降至隔水底板时（hw=0），抽水井仍可以抽出水。这是因为：潜水含水层在抽水井附近的流线曲率变大，由图4-1-3，通过侵润曲线与井壁的交点A作等水头线，即图中阴影部分。若抽水时不产生水跃，即井内和井壁的水位处在同一标高上，那么通过A点的等水头线与井中的水位是同一水头值，这样，通过A点的等水头线与井壁之间的地下水就不能流动，这与实际境况以及科增在实验室中的试验不吻合。结论：由于潜水含水层抽水井中存在着水跃值，当井中水位为零时，井中仍可以有水流出。（2）计算水跃值：博

54、尔顿根据松驰法和试验结果得到（4-1-6）式。（3）水头线方程：抽水井产生水跃（值）是流线弯曲和井壁水一定流入井中原因造成的。侵润曲线方程（4-1-5）引入了裘布依假定，在抽水井壁水头线低于潜水面实际值，且是没有考虑到水跃值的存在，所以有误差。图4-1-4，裘布依曲线为（4-1-4）式的计算曲线；自由水面线为实际井壁水位曲线；潜水层底面水头线为近似井中水位变化曲线。水跃值（h）是自由水面线与潜水层底面线在井壁垂向位置的差值。随着r的增大，等水头线（虚线）由曲率大逐渐变为曲率小曲线，最终变为垂直线，流速垂直分量变小，计算曲线（4-1-4）与实际曲线也逐渐趋于一致。即在r一定的范围内水头线方程（4

55、-1-4）存在着误差。2流量方程（4-1-1）、（4-1-2）的讨论问题的提出：（1）潜水井流数学模型的流量方程是忽略了垂直分量、不考虑水跃值，侵润曲线方程是近似的，那么流量方程是准确的吗？（2）抽水井中最大出水量：当hw0时 ，有人认为是不对的，应是在时，井中出水量最大。1951年恰尔内对裘布依稳定井流的涌水量公式做了严格的分析证明，在考虑到水跃值和剖面上等水头线为曲线的情况下，该流量公式仍是正确的，因此可用上式计算最大涌水量。二、裘布依稳定承压井流概念模型图4-1-5，说明64页。渗流的基本方程27页（2-3-19）式，这里是稳定流，包括边界条件，数学模型如下：1、解数学模型：稳定流，任意

56、过水断面的流量相等。任意过水断面为圆柱面，由于坐标轴方向与地下水流向相反，负负为正，则该断面流量为：对数学模型中的运动方程不定积分，得到常数（C），与上式相等。分离变量，代入内、外边界条件，定积分：则，得到流量方程（4-1-7）式。水头线方程只改变积分上限，得到（4-1-11）式。对于均质、等厚承压含水层，导水系数(T)是常量，所以有（4-1-8）、（4-1-9）式分别为无观测孔、有2个观测孔求导水系数公式。2、解的讨论：（1）水头线方程是准确的，它仅与边界条件有关，与含水层导水系数（包括渗透系数）无关；承压完整、稳定井流不存在水跃值。（2）流量方程正确，无误差。三、齐姆模型与裘布依模型的区别1、概念模型的区别：图4-2-1为齐姆模型，左图潜水完整井流、右图承压完整井流；对应裘布依模型：图4-1-2潜水完整裘布依模型、4-1-5承压水完整裘布依模型。两者最根本的区别是：齐姆模型无定水头（或定水位）边界，而裘布依模型有定水头边界。所以齐姆模型不可能形成稳定流，相应与定水头（水位）的所谓影响半径是不存在的。裘布依模型中的给水半径与定水头边界是对应的。2、概念模型不同，其数学模型一定不同。齐姆模