第3章34知能优化训练

1、1把长为 12 厘米的细铁丝锯成两断，各自围成一个正三角形，小的面积之和是_解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为那么这两个正三角形最(4x)cm ，两个三角形的面积和为S34232x 4 (4 x) 3 22 x 23x 43.令 S 3x 2 3 0，则 x 2，所以 Smin 2 3.答案： 2 3 cm22已知某生产厂家的年利润y(单位：万元 )与年产量x(单位：万件 )的函数关系式为 y13x 81x 234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_3解析： x>0 ， y x2 81 (9 x)(9 x)，令 y 0， x 9.x (0,9)， y >

2、;0；x (9， )， y <0， y 先增后减，x 9 时函数取最大值答案： 9 万件3要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为_解析： 设圆锥的高为h cm，V 圆锥 13(400 h2)× h，V (h) 13(400 3h2)令 V (h) 0，得 h2 400，h 20 3(cm) 33答案： 20 3 cm34某商品一件的成本为30 元，在某段时间内， 若以每件 x 元出售， 可卖出 (200 x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析： 利润为S(x) (x 30)(200 x) x2 230x 6000 ，S (x) 2x 230，

3、由 S (x) 0 得 x 115，这时利润达到最大答案： 115一、填空题1设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 _解析： 设底面边长为x，高为 h， 3x2 ·hV，h 4V 4 3V.423x23x323 243VS 表2· 3x·h2 xx，4xS (x) 3x423V，令 S (x) 0 可得3x4x23V，xx3 4V，x 34V.答案： 3 4V2某车间靠墙壁要盖一间矩形小屋，现有存砖只够砌20 m 长的墙壁， 则应围成与墙平行的边长为 _m ，与墙垂直的边长为_m 的矩形才能使小屋面积最大(门的大小忽略不计 )解析：

4、设与墙平行的一边长为x m，与墙垂直的一边长为 y m，则 x2y 20，y 10 x2(0< x<20) xx2S x·y x 10 2 10x 2 ， S 10 x，令 S 0，所以 x 10， y5.答案： 10 53一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为1000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 50 元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100 元维修费，则房租定为 _元时可获得最大收入解析： 设 x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x) (1000 50x)(50 x) 100(50 x)，f (x) 1600 100x，令 1

5、600 100x 0，得 x 16.当 x 16 时， f(x)取最大值，即把租金定为1000 16× 50 1800 元时，收入最大答案： 18004某工厂需要围建一个面积为512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_解析： 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则512长为x米，因此新墙总长度512L 2x x(x>0)，则L 2512x2 .令 L 0，得 x ±16.x>0，x16.当 x 16 时， L 极值 L min 64，512堆料场的长为

6、16 32(米 )答案： 32 米， 16 米5做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析： 设底面半径为r ，高为 h，r2·h27，27r 2·h 27，h r 2 .2542Sr r.表2 r·h r 2，令 S (r ) 0，S (r )2 r 54 rr 3.答案： 36已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y4 x2 在 x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形边长分别为_解析：设位于抛物线y 4x2( 2<x<2) 上的矩形的一个顶点坐标为(x，y)，其中 0<x<2，y

7、>0，则另一个在曲线上的顶点为( x，y)，在 x 轴上的两个顶点分别为( x,0)， (x,0)设矩2323形的面积为 S，则 S 2x(4x2 )(0< x<2) ，则 S 8 6x2，令 S 0，解得 x3 或 x 3(舍去 )当 0<x<233时， S >0；当 233<x<2 时， S <0.因此，当 x233时， S 取得极大值，也是最大值 此时， 2x438438，4 x23.所以这种矩形中面积最大的矩形边长分别为3和 .33438答案：3，37某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元 )与仓库到车站的距离成反比，而每月库存

8、货物的运费y2(万元 )与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库， y1 和y2 分别为 2万元和8 万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：依题意可设每月土地占用费y1k1，每月库存货物的运费 y22 x k x，其中 x 是仓库到车站的距离， k12是比例系数， kk11224于是由 2 10，得 k 20；由 8 10k ，得 k 5.204x204因此，两项费用之和为y x 5 (x>0) ，y x2 5，令 y 0，得 x 5，或 x5(舍去 )当 0<x<5 时， y<0；当 x>5 时， y >0. 因此，当

9、 x 5 时， y 取得极小值，也是最小值故当仓库建在离车站5 千米处时，两项费用之和最小答案： 58横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是_解析： 如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y.由题意，知当xy2 取最大值时，横梁的强度最大y2 d2 x2，xy2 x( d2 x2 )(0< x<d)令 f(x) x( d2 x2)(0< x<d)，得 f (x) d2 3x2，令 f (x) 0，解得 xdd，或 x(舍去 )33当 0<x< d 时， f (x)>0

10、；当 d <x<d 时， f (x)<0 ，33d因此，当 x时， f(x)取得极大值，也是最大值3答案：33 d二、解答题9 (2011 年泰安模拟 )某种产品每件成本为6 元，每件售价为x 元 (x>6) ，年销量为 u 万件，若已知 585 u 与 (x21)2 成正比，且售价为10 元时，年销量为28 万件84(1)求年销售利润y 关于 x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润58521解： (1)设 8 u k(x 4 )2，售价为 10 元时，年销量为 28 万件，585212 8 28 k(104 )，解得 k 2.21 258

11、5u2(x 4 )8 2x2 21x 18.y ( 2x2 21x18)( x 6)322(2)y 6x 66x 1082 6(x 11x 18) 6(x 2)(x 9)令 y 0 得 x 2(x>6，舍去 )或 x9.显然，当 x (6,9)时， y >0；当 x (9， )时， y<0.函数 y 2x3 33x2 108x 108 在 (6,9)上是关于x 的增函数， 在 (9， )上是关于x的减函数，当 x 9 时， y 取最大值，且 ymax 135.售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为135 万元10某商场预计 2011 年从 1 月份起前 x 个月，顾客对某

12、种商品的需求总量p(x)件与月份 x 的近似关系是1p(x) x(x 1)(39 2x)(x N * ，且 x 12)2q(x)元与月份 x 的近似关系是该商品的进价q(x) 150 2x(x N* ，且 x 12)(1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)与月份 x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185 元，若不计其他费用且每年都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？解： (1)当 x1 时， f(1) p(1) 37；当 2x 12时， f(x) p(x) p(x 1)11 2x(x 1)(39 2x)2(x1)x(412x) 3x2 40x( x N *

13、 ，且 2 x 12)验证 x1 符合 f(x) 3x2 40x，f(x) 3x2 40x(x N* ，且 1 x 12)(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x) ( 3x2 40x)(185 150 2x) 6x3 185x21400x(x N* ，且 g (x) 18x2 370x 1400 ，1 x12)，令 g (x) 0，解得x 5， x1409 (舍去 )当 1x<5 时， g(x)>0；当 5<x12 时， g (x)<0 ，当 x 5 时， g(x)max g(5) 3125( 元 )综上 5 月份的月利润最大是3125 元11统计表明，某种型号的汽

14、车在匀速行驶时每小时的耗油量y(升 )关于行驶速度x(千1 3米/ 小时 )的函数解析式可以表示为： y 128000x380 x8(0<x 120)已知甲、乙两地相距100 千米(1) 当该种型号的汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地要耗油多少升？(2) 当该种型号的汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少？最少为多少升？解： (1)当 x 40 时，该种型号的汽车从甲地到乙地行驶了100÷40 2.5(小时 )，耗油量为1×403 3× 408×2.5 17.5(升) 12800080故当该种型号的汽车以40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5 升(2)当速度为 x 千米 /小时时， 该种型号的汽车从甲地到乙地行驶了100小时，则耗油量为13x100h(x)128000x3 80x 8 ·x1x280015x4(0< x120)1